全等三角形证明中考题精选有答案解析.docx
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全等三角形证明中考题精选有答案解析
七年级数学下---全等三角形证明题
1.如图,已知AD是△ABC的中线,分别过点B、C作BE⊥AD于点E,CF⊥AD交AD的延长线于点F,求证:
BE=CF.
2.如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置,其中∠C=90°,∠B=∠E=30°.
(1)操作发现:
如图2,固定△ABC,使△DEC绕点C旋转,当点D恰好落在AB边上时,填空:
①线段DE与AC的位置关系是 _________ ;
②设△BDC的面积为S1,△AEC的面积为S2,则S1与S2的数量关系是 _________ .
(2)猜想论证
当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时,小明猜想
(1)中S1与S2的数量关系仍然成立,并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高,请你证明小明的猜想.
(3)拓展探究
已知∠ABC=60°,点D是角平分线上一点,BD=CD=4,DE∥AB交BC于点E(如图4).若在射线BA上存在点F,使S△DCF=S△BDE,请直接写出相应的BF的长.
3.如图,把一个直角三角形ACB(∠ACB=90°)绕着顶点B顺时针旋转60°,使得点C旋转到AB边上的一点D,点A旋转到点E的位置.F,G分别是BD,BE上的点,BF=BG,延长CF与DG交于点H.
(1)求证:
CF=DG;
(2)求出∠FHG的度数.
4.如图所示,在△ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,DE∥BC,如图①,然后将△ADE绕A点顺时针旋转一定角度,得到图②,然后将BD、CE分别延长至M、N,使DM=
BD,EN=
CE,得到图③,请解答下列问题:
(1)若AB=AC,请探究下列数量关系:
①在图②中,BD与CE的数量关系是 _________ ;
②在图③中,猜想AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系,并证明你的猜想;
(2)若AB=k•AC(k>1),按上述操作方法,得到图④,请继续探究:
AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系,直接写出你的猜想,不必证明.
4.
(1)如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°.
①当点D在AC上时,如图1,线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系?
直接写出你猜想的结论;
②将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角(0°<α<90°),如图2,线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系?
请说明理由.
(2)当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时,使线段BD、CE在
(1)中的位置关系仍然成立?
不必说明理由.甲:
AB:
AC=AD:
AE=1,∠BAC=∠DAE≠90°;
乙:
AB:
AC=AD:
AE≠1,∠BAC=∠DAE=90°;丙:
AB:
AC=AD:
AE≠1,∠BAC=∠DAE≠90°.
6.CD经过∠BCA顶点C的一条直线,CA=CB.E,F分别是直线CD上两点,且∠BEC=∠CFA=∠α.
(1)若直线CD经过∠BCA的内部,且E,F在射线CD上,请解决下面两个问题:
①如图1,若∠BCA=90°,∠α=90°,则BE _________ CF;EF _________ |BE﹣AF|(填“>”,“<”或“=”);②如图2,若0°<∠BCA<180°,请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件 _________ ,使①中的两个结论仍然成立,并证明两个结论成立.
(2)如图3,若直线CD经过∠BCA的外部,∠α=∠BCA,请提出EF,BE,AF三条线段数量关系的合理猜想(不要求证明).
7.如图,已知AB=AC,
(1)若CE=BD,求证:
GE=GD;
(2)若CE=m•BD(m为正数),试猜想GE与GD有何关系.(只写结论,不证明)
8.
(1)已知:
如图①,在△AOB和△COD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=60°,求证:
①AC=BD;②∠APB=60度;
(2)如图②,在△AOB和△COD中,若OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=α,则AC与BD间的等量关系式为 _________ ;∠APB的大小为 _________ ;
(3)如图③,在△AOB和△COD中,若OA=k•OB,OC=k•OD(k>1),∠AOB=∠COD=α,则AC与BD间的等量关系式为 _________ ;∠APB的大小为
10.已知:
EG∥AF,AB=AC,DE=DF;求证:
BE=CF
参考答案与试题解析
2.
解:
(1)①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上,
∴AC=CD,∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°,∴△ACD是等边三角形,
∴∠ACD=60°,又∵∠CDE=∠BAC=60°,∴∠ACD=∠CDE,∴DE∥AC;
②∵∠B=30°,∠C=90°,∴CD=AC=
AB,∴BD=AD=AC,
根据等边三角形的性质,△ACD的边AC、AD上的高相等,
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等),
即S1=S2;故答案为:
DE∥AC;S1=S2;
(2)如图,∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到,
∴BC=CE,AC=CD,∵∠ACN+∠BCN=90°,∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°,
∴∠ACN=∠DCM,∵在△ACN和△DCM中,
,
∴△ACN≌△DCM(AAS),∴AN=DM,
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等),即S1=S2;
3、解答:
(1)证明:
∵在△CBF和△DBG中,
,
∴△CBF≌△DBG(SAS),∴CF=DG;
(2)解:
∵△CBF≌△DBG,∴∠BCF=∠BDG,
又∵∠CFB=∠DFH,∴∠DHF=∠CBF=60°,
∴∠FHG=180°﹣∠DHF=180°﹣60°=120°.
4、
解答:
解:
(1)①结论:
BD=CE,BD⊥CE;
②结论:
BD=CE,BD⊥CE;理由如下:
∵∠BAC=∠DAE=90°
∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC,即∠BAD=∠CAE在△ABD与△ACE中,
∵
∴△ABD≌△ACE(SAS)∴BD=CE
延长BD交AC于F,交CE于H.
在△ABF与△HCF中,∵∠ABF=∠HCF,∠AFB=∠HFC;∴∠CHF=∠BAF=90°
∴BD⊥CE
(2)结论:
乙.AB:
AC=AD:
AE,∠BAC=∠DAE=90°
解答:
解:
(1)①BD=CE;②AM=AN,∠MAN=∠BAC,∵∠DAE=∠BAC,∴∠CAE=∠BAD,
在△BAD和△CAE中
∵
∴△CAE≌△BAD(SAS),
∴∠ACE=∠ABD,∵DM=
BD,EN=
CE,∴BM=CN,
在△ABM和△ACN中,
∵
∴△ABM≌△ACN(SAS),∴AM=AN,∴∠BAM=∠CAN,即∠MAN=∠BAC;
(2)AM=k•AN,
∠MAN=∠BAC.
5.
6.
解答:
解:
(1)①∵∠BCA=90°,∠α=90°,∴∠BCE+∠CBE=90°,∠BCE+∠ACF=90°,
∴∠CBE=∠ACF,∵CA=CB,∠BEC=∠CFA;∴△BCE≌△CAF,∴BE=CF;EF=|BE﹣AF|.
②所填的条件是:
∠α+∠BCA=180°.
证明:
在△BCE中,∠CBE+∠BCE=180°﹣∠BEC=180°﹣∠α.∵∠BCA=180°﹣∠α,
∴∠CBE+∠BCE=∠BCA.又∵∠ACF+∠BCE=∠BCA,∴∠CBE=∠ACF,
又∵BC=CA,∠BEC=∠CFA,∴△BCE≌△CAF(AAS)∴BE=CF,CE=AF,
又∵EF=CF﹣CE,∴EF=|BE﹣AF|.
(2)EF=BE+AF.
7.解答:
证明:
(1)过D作DF∥CE,交BC于F,
则∠E=∠GDF.∵AB=AC,∴∠ACB=∠ABC∵DF∥CE,∴∠DFB=∠ACB,
∴∠DFB=∠ACB=∠ABC.∴DF=DB.∵CE=BD,∴DF=CE,在△GDF和△GEC中,
,
∴△GDF≌△GEC(AAS).∴GE=GD.
(2)GE=m•GD.
9.解答:
解:
(1)①∵∠AOB=∠COD=60°,∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC.即:
∠AOC=∠BOD.
又∵OA=OB,OC=OD,∴△AOC≌△BOD.∴AC=BD.
②由①得:
∠OAC=∠OBD,
∵∠AEO=∠PEB,∠APB=180°﹣(∠BEP+∠OBD),∠AOB=180°﹣(∠OAC+∠AEO),
∴∠APB=∠AOB=60°.
(2)AC=BD,α(3)AC=k•BD,180°﹣α.
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