数模 最优订货方案的确定.docx
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数模最优订货方案的确定
2013数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为,我们将受到严肃处理。
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A
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1.
2.
3.
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日期:
2013年8月30日
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2013数学建模竞赛
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全国统一编号(由赛区组委会送交全国前编号):
全国评阅编号(由全国组委会评阅前进行编号):
最优订货方案的确定
摘要
本文要解决的问题是以超市商品的订购方案为背景而提出的。
对于大中型超市,根据其所售商品的销售形势及超市条件适当地选择每种商品的订货数量及批次是降低超市成本从而增加收益的重要方面。
所以,超市商品的最优订货方案的确定就显得尤其重要。
鉴于订货方案的多样性,我们没有用穷举法来寻找最优方案,
针对问题一,我们采用了初等数学法建立存贮模型来寻找最优方案。
其基本思想为:
假设出进货周期,利用面积法求出一个周期的存贮量,令订购费和保管费相等,从而求出总费用最少的方案,即最优订购方案。
通过模型的求解,我们证明出了任意一件商品,不考虑运输的费用,使该商品全年订货总费用最小的最优订货量是存在的。
最优订货方案的订货量和订货次数如下表所示(各个字母所代表的含义在符号说明中申明):
订货量
订货次数
订货总费用最小值为
R/
+Rv
针对问题二,我们沿用第一问的结论,计算出了最优订货方案下的每种商品的订货量和订货次数。
具体数据结论在模型的建立与求解内容中表现。
针对问题三,我们计算出了在考虑运输费用下的两种(一种为每15天进货一次,另一种为每30天进货一次)的进货方式的总费用,通过比较,我们得出了每30天进货一次的方式比每15天进货一次的方式更好。
这种订货方式与问题二的最优订货量情况下超市成本增加的数额为746549.305元。
针对问题四,我们是假设了30种商品每年的订货次数、每种商品每次的订货量都是一样的,列出总费用的表达式,建立基本不等式模型来求解的。
其结果为:
每年运输18次,总费用为814922.646元。
针对问题五,我们综合分析了前四问的结果,同时又考虑其它有可能出现的情况,对模型进行了修改。
关键字:
最优订货方案初等数学法基本不等式模型
1、问题重述
对于大中型超市,根据其所售商品的销售形势及超市条件适当地选择每种商品的订货数量及批次是降低超市成本从而增加收益的重要方面。
我们知道,库存在超市的商品需要一定的库存成本。
因此,超市每次对某件商品的订货量一方面不能太大,否则库存成本将增加;另一方面,由于每次订货将花费一定的订货费用,因此每次订货的数量也不能太小,否则订货次数增加,订货的花费增加。
这样根据某件商品的需求,选择每次订货时最好的订货数量将降低次数的成本。
此外,对于一些大中型超市,其所售商品的品种规模很大,由于每件产品的需求量,库存成本,订货成本,重量等有可能都不一样,因此不同品种商品的订货数量和时间也不一样。
并且由于订货后,需要将商品运到超市,考虑到运输成本,需要结合不同商品的订货量、重量、订货时间等,且要使车辆尽可能满载。
为了使超市降低成本增加收益,我们必须确定一种最优订货方案。
这种最优方案的核心是通过调整商品每次的订购量,从而改变商品的库存成本和运输费用,使得商品的订货总费用最少。
我们需要解决的问题有:
1.考虑一件商品,不考虑运输的费用,建立数学模型说明使得该商品全年订货总费用最小的最优订货量是存在的,并且求出这个订货量。
2.对给出的30种商品,不考虑运输的费用及载重限制,利用问题1的结论分别求出每种商品的订货量和订货次数。
3.在实际中,供应点实际上允许每个超市每两周(15天)或者每个月(30天)订货一次。
比较30种商品的订货方式,选择出较好的那一种。
同时计算出这种订货方式与问题2的最优订货量情况下超市成本增加的数额。
4.考虑运输的费用与限制,供应点可以随时订货。
给出这30种商品的最优订购方案。
5.对于更一般的情形,完善数学模型。
2、问题分析
要确定超市商品最优订货方案,实质上就是通过调整商品每次的订购量,从而改变商品的库存成本和运输费用,使得商品的订货总费用最少。
针对此问题,我们需要确定商品的每次订购量,从而以订购量为核心量,以订购量来影响订购次数以及运输费用,从而使得商品的订货总费用最少。
问题一的本质是需要我们不考虑商品的运输费用,普遍化地考虑一种商品的订购,证明出使一种商品订货总费用最少的每次订购量实际存在。
我们可以建立初等数学的模型来解决存贮问题。
问题二便是在依旧不考虑商品的运输费用的前提下,利用问题一中的结论,计算出30种商品每种商品的最优订货量和订货次数。
问题三即要求考虑商品的运输,同时提出了每15天进一次货和每30天进一次货两种进货方式,要求我们找出两者之中更好的一种运输方式。
并且需要我们计算出问题二的最优订货量情况下超市成本增加的数额。
问题四也是在考虑运输的费用与限制,并提供了供应点可以随时订货这一条件。
需要我们给出30种商品的最优订购方案,我们可以假设30种商品每年的订货次数都是一样的,并且每种商品每次的订货量也是一样的,列出总费用的表达式,其约束条件是每辆卡车运输时的载重量为4吨,利用用线性规划来求解。
问题五是建立在前四问的基础上,需要我们综合考虑各种情况,进一步提升模型的可信性。
3、符号说明
1.Q:
每次订货量。
2.s:
最小库存量。
3.n:
进货次数。
4.k:
库存费用与价格比例。
5.v:
每件价格。
6.R:
年总需求量。
7.C:
全年订货总费用。
8.w:
每一次的订购费用。
9.
:
每次进货周期
10.V(t):
一个进货周期
内,t时刻的存贮量。
11.m:
商品的重量。
12.a:
表示无穷大的一个常数。
4、模型假设
1.商品的需求是均匀分布于全年的。
2.最小库存量和每次订货量是常量。
3.商品的库存费用都与该商品的价格成正比。
4.每件商品的价格在全年保持不变。
5.每次的订货费用也相等。
6.问题一中的商品年总需求量、价格、库存费用与价格比例均已知。
五、模型的建立与求解
模型一:
对于问题一,由于假定需求是连续的,均匀的,当存储量降至最小存储量时,可以立即得到补充,这个模型的的变化情况如下图所示(其中
表示周期)。
以一年时间计,每隔
进一次货,订货量为Q,共进n次,则有n
=1,nQ=R,从而得:
n=R/Q,
=Q/R。
在一个周期
内,t时刻的存贮量V(t)应满足:
V(t)=kt+b(0≦t≦
)
V(0)=Q+s,V(
)=s
解之,V(t)=Q+s-Rt(0≦t≦
)
由图形直观的解释理解,V(t)下方的三角形面积与最小存贮量s的和就是第一个周期的存贮量(如图所示)。
因为
=Q
/2,从而得到一个周期内的平均存贮量为(Q/2+s)。
我们把一年分成n个周期,并且每个周期内的平均存贮变化都是一样的,这样年内的平均存贮量都是(Q/2+s)。
从而知,一年的保管费为:
(Q/2+s)k×v;一年的订购费为:
nw=(R/Q)×w;一年的订货总费用为:
C(Q)=(R/Q)×w+(Q/2+s)k×v+Rv。
随着批量Q的增加,年订购费减少,但保管费增加;批量Q减少,年订购费用增加,但保管费减少。
因为商品成本Rv是定值,所以要想使年总订购费用达到最小,必须使订购费和保管费相等。
因为最小存贮量s满足大于0,为了本题的方便求解,我们可以令s趋近于0。
此时,令(Q/2+s)k×v=(R/Q)×w,即(Q/2)k×v=(R/Q)×w。
解之得,Q=
,一年的订货总费用最小值为:
C(Q)=
+Rv。
对于问题二,我们对附件2给出的30种商品,不考虑运输的费用及载重限制,利用问题一的结论分别求出了每种商品的订货量和订货次数,结果如下表所示。
商品序号
订货量
订货次数
1
528
19
2
64
10
3
96
9
4
44
22
5
1225
13
6
164
13
7
283
29
8
28
18
9
584
15
10
571
10
11
267
10
12
250
27
13
82
44
14
60
14
15
67
14
16
152
14
17
198
16
18
249
25
19
190
9
20
168
20
21
679
7
22
151
20
23
175
12
24
124
7
25
57
9
26
53
8
27
188
36
28
287
56
29
332
30
30
419
25
对于问题三,由于当前市场需求是均匀的,为了能够满足市场要求,店家进货时每个月也应该是均匀的,即每个月进货的数量与重量相等,所以通过进货次数与市场需求即可以求出每个月的进货数量与重量,又由附件2可知全年进货总量为3080790kg,即:
当店家以每隔两周(15天)的方式进货,每个月的进货重量为3080790/24=128366.25kg。
为了保证进货时运输成本最少,要尽量考虑满载的情况。
因此,每个月进货所用的货车数量为128366.25/4000≈33(辆),从而得出此种情况下进货的运输费用。
同样,当店家以每隔一个月(30天)的方式进货时,每个月的进货量为3080790/12=256732.5kg。
可知每个月所用货车数为256732.5/4000≈65(辆),求出进货时的运输费用。
由于两种条件情况下,进货总量不变,因此一年内的存货费用与货物费用相等,比较两者的总费用只需要通过比较两者的运输费用即可。
两者的运输费用如下表所示。
所隔天数
全年订货运输费用
15
792000
30
780000
计算问题二的最优进货方案下进货成本时,在问题二计算出的最优进货数量和进货次数的情况下,将其作为已知条件在不计运输成本的前提下分别计算货物的价格成以及全年的订购价格与货存费用,全部总和相加即可近似看作是问题二下最优进货成本。
相同的,考虑每隔15天进货以及每隔30天进货时,同样全年进货成本近似看做由货物成本、运输成本、订购费用以及货存费用组成,同时,由于考虑到超市盈利与库存的合理性,市场年需求量应与超市进货数量相差不大,所以将各种货物的需求量即可近似看做全年的进货数量,通过单价、每次订购费用、每次的运输费用以及价格与货存费用的比例系数即可求出这两种情况的年进货费用,具体数据如下:
问题二30种商品的最优订货方案
订货量
订货次数
年订货成本
528
19
20159.04
64
10
9696
96
9
21744
44
22
65298.2
1225
13
159862.5
164
13
75050.5
283
29
328959.2
28
18
258825
584
15
219876
571
10
200849.25
267
10
110619.435
250
27
399430
82
44
245790.08
60
14
60066
67
14
43702.76
152
14
213484
198
16
127630.8
249
25
311997
190
9
110230.4
168
20
134937.6
679
7
269019.8
151
20
139475.68
175
12
80232.25
124
7
22761.44
57
9
23264.55
53
8
64315.5
188
36
135717.2
287
56
418319.72
332
30
399728
419
25
733983.25
全年订货总成本
5405025.155
每隔15天以及每隔30天情况下30种商品的的费用情况
货存费用(每隔15天)
货物费用
货存费用(每隔30天)
货物费用
75.06
20120
150.12
20060
37.5
9240
75
9120
51
20408
100.5
20204
402
64130
804
63890
312.5
151200
625
150600
220.5
70840
438.375
70420
801.6
320576
1600.8
320288
1338.75
257352
2677.5
256176
532.5
213940
1063.5
213220
416.5
201900
831.25
200700
469.245
107704
934.185
107152
1283.84
385760
2567.68
385220
816
245040
1632
244920
241.4
57568
475.7
57184
314.64
42384
621
41892
378
201248
751.5
200624
575
121440
1150
120720
777
310720
1551
310360
278.72
103024
557.44
102712
428.8
128912
854.4
128456
806.4
258296
1612.8
257948
460
138672
920
138336
217.36
80664
432.25
80232
53.04
21520
104.52
21160
66.15
22980
132.3
22740
229.5
62208
459
61104
532
134240
1062.1
134120
1040.52
416192
2081.04
416096
1636
393080
3268
392540
743.75
714720
1487.5
714360
总贮存费:
15535.275
31020.46
总货物费用:
5276078
5262554
总成本:
6162813.75
6151574.46
模型二:
我们假设30种商品每年的订货次数、每种商品每次的订货量是一样的。
利用线性规划来解决。
其基本不等式的模型为:
订货费用与贮存费用的和为
;
运用基本不等式,可以知道当
使得订货费用与贮存费用的和取得最小值;
此时可以求得货车运输的次数为
根据基本不等式,求得最小费用:
若供应点可以随时供货,每年运输18次可以达到最优解,总费用为814922.646元。
6、模型优化
对于以上的问题,我们建立的模型是基于30种商品,但实际情况中,一个大中型超市不可能仅仅只有30种商品。
由此,我们将我们所建立的模型推广到更一般的情况中。
模型修改为:
订货费用与贮存费用的和为
;
最优订货次数为
。
7、参考文献
[1]张亚杭运用初等数学建立存贮模型2002年第1期;
[2]朱建青张国梁数学建模方法郑州:
郑州大学出版社2003。
- 配套讲稿:
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