数学选修23讲义第2章24 正态分布含答案.docx
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数学选修23讲义第2章24正态分布含答案
2.4 正态分布
学习目标:
1.了解正态分布的意义.2.能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质.(重点)3.了解正态曲线的意义和性质.4.会利用φ(x),F(x)的意义求正态总体小于X的概率.(难点)
教材整理1 正态曲线及正态分布
阅读教材P65~P66,完成下列问题.
1.正态变量的概率密度函数
正态变量概率密度曲线的函数表达式为
f(x)=
e
,x∈R.
其中μ,σ是参数,且σ>0,-∞<μ<+∞,μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差.
2.正态分布的记法
期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作N(μ,σ2).
3.正态曲线
正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线.
4.标准正态分布
数学期望为0,标准差为1的正态分布叫做标准正态分布,记做N(0,1).
判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)正态变量函数表达式中参数μ,σ的意义分别是样本的均值与方差.( )
(2)服从正态分布的随机变量是连续型随机变量.( )
(3)正态曲线是一条钟形曲线.( )
(4)离散型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线描述,连续型随机变量的概率分布用分布列描述.( )
【解析】
(1)× 因为正态分布变量函数表达式中参数μ是随机变量取值的平均水平的特征数,可以用样本的均值去估计,而σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数,用样本的标准差去估计.
(2)√
(3)√ 由正态分布曲线的形状可知该说法正确.
(4)× 因为离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述,连续型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线(函数)描述.
【答案】
(1)×
(2)√ (3)√ (4)×
教材整理2 正态曲线的性质及3σ原则
阅读教材P66~P67习题以上部分,完成下列问题.
1.正态曲线的性质
(1)曲线在x轴的上方,并且关于直线x=μ对称;
(2)曲线在x=μ时处于最高点,并由此处向左右两边延伸时,曲线逐渐降低,呈现“中间高,两边低”的形状;
(3)曲线的形状由参数σ确定,σ越大,曲线越“矮胖”;σ越小,曲线越“高瘦”.
2.正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
若X~N(μ,σ2),则
P(μ-σ P(μ-2σ P(μ-3σ 上述结果可用图表示如下: 3.3σ原则 由P(μ-3σ 1.把一条正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位,得到一条新的曲线b,下列说法中不正确的是______.(填序号) ①曲线b仍然是正态曲线; ②曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等; ③以曲线b为正态分布的总体的方差比以曲线a为正态分布的总体的方差大2; ④以曲线b为正态分布的总体的均值比以曲线a为正态分布的总体的均值大2. 【解析】 正态曲线向右平移2个单位,σ不发生变化,故③错误. 【答案】 ③ 2.关于正态分布N(μ,σ2),下列说法正确的是________.(填序号) ①随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件; ②随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件; ③随机变量落在(-3σ,3σ)之外是一个小概率事件; ④随机变量落在(μ-3σ,μ+3σ)之外是一个小概率事件. 【解析】 ∵P(μ-3σ<X<μ+3σ)=0.9974, ∴P(X>μ+3σ或X<μ-3σ)=1-P(μ-3σ<X<μ+3σ)=1-0.9974=0.0026, ∴随机变量落在(μ-3σ,μ+3σ)之外是一个小概率事件. 【答案】 ④ 3.在某项测量中,测量结果X服从正态分布N(1,σ2)(σ>0).若X在(0,1)内取值的概率为0.4,则X在(0,2)内取值的概率为________. 【解析】 ∵X服从正态分布(1,σ2), ∴X在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同,均为0.4. ∴X在(0,2)内取值的概率为0.4+0.4=0.8. 【答案】 0.8 正态分布的概念及正态曲线的性质 【例1】 如图所示是一个正态曲线,试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式,求出总体随机变量的期望和方差. 【精彩点拨】 给出了一个正态曲线,就给出了该曲线的对称轴和最大值,从而就能求出总体随机变量的期望、标准差及解析式. 【解】 从给出的正态曲线可知,该正态曲线关于直线x=20对称,最大值是 ,所以μ=20. 由 = ,得σ= . 于是概率密度函数的解析式是 f(x)= ·e- ,x∈(-∞,+∞), 总体随机变量的期望是μ=20,方差是σ2=( )2=2. 利用正态曲线的性质可以求参数μ,σ,具体方法如下: (1)正态曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称,由此性质结合图象求μ. (2)正态曲线在x=μ处达到峰值 ,由此性质结合图象可求σ. 1. (1)设两个正态分布N(μ1,σ )(σ1>0)和N(μ2,σ )(σ2>0)的密度函数图象如图所示,则有( ) A.μ1<μ2,σ1<σ2B.μ1<μ2,σ1>σ2 C.μ1>μ2,σ1<σ2D.μ1>μ2,σ1>σ2 【解析】 根据正态分布的性质: 对称轴方程x=μ,σ表示正态曲线的形状.由题图可得,选A. 【答案】 A (2) 如图所示是正态分布N(μ,σ ),N(μ,σ ),N(μ,σ )(σ1,σ2,σ3>0)相应的曲线,那么σ1,σ2,σ3的大小关系是( ) A.σ1>σ2>σ3B.σ3>σ2>σ1 C.σ1>σ3>σ2D.σ2>σ1>σ3 【解析】 由σ的意义可知,图象越瘦高,数据越集中,σ2越小,故有σ1>σ2>σ3. 【答案】 A 服从正态分布变量的概率问题 【例2】 (1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,则P(0<ξ<2)=( ) A.0.6B.0.4 C.0.3D.0.2 (2)在某项测量中,测量结果服从正态分布N(1,4),求正态总体X在(-1,1)内取值的概率. 【精彩点拨】 (1)根据正态曲线的性质对称性进行求解; (2)题可先求出X在(-1,3)内取值的概率,然后由正态曲线关于x=1对称知,X在(-1,1)内取值的概率就等于在(-1,3)内取值的概率的一半. 【解】 (1)∵随机变量X服从正态分布N(2,σ2), ∴μ=2,对称轴是x=2.∵P(ξ<4)=0.8, ∴P(ξ≥4)=P(ξ<0)=0.2, ∴P(0<ξ<4)=0.6,∴P(0<ξ<2)=0.3.故选C. 【答案】 C (2)由题意得μ=1,σ=2, 所以P(-1<X<3)=P(1-2<X<1+2)=0.6826. 又因为正态曲线关于x=1对称, 所以P(-1<X<1)=P(1<X<3)= P(-1<X<3)=0.3413. 利用正态分布求概率的两个方法 1.对称法: 由于正态曲线是关于直线x=μ对称的,且概率的和为1,故关于直线x=μ对称的区间上概率相等.如:
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