中考专题中考常见题型分类折叠问题.docx
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中考专题中考常见题型分类折叠问题
折叠问题
1.如图,在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,直线y=-x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B.
(Ⅰ)求点A,B的坐标;
(Ⅱ)在直线AB上是否存在点P,使△OAP是以OA为底边的等腰三角形?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(Ⅲ)若将Rt△AOB折叠,使OB边落在AB上,点O与点D重合,折痕为BC,求折痕BC所在直线的解析式.
第1题图
解:
(Ⅰ)在y=-x+4中,令x=0可得y=4,令y=0可求得x=4,
∴A(4,0),B(0,4);
(Ⅱ)如解图①,作线段OA的垂直平分线,交x轴于点E,交AB于点P,
则OP=PA,即P点即为满足条件的点,
∵OA=4,
∴OE=2,
在y=-x+4中,当x=2时,可得y=2,
∴P点坐标为(2,2);
(Ⅲ)如解图②,
设C(t,0),则AC=OA-OC=4-t,
∵OA=OB=4,
∴AB=4
由折叠的性质可得BD=OB=4,CD=OC=t,∠ADC=∠BOC=90°,
∴AD=AB-BD=4
-4,
在Rt△ACD中,由勾股定理可得AC2=AD2+CD2,即(4-t)2=t2+(4
-4)2,解得t=4
-4,
∴C(4
-4,0),
设直线BC解析式为y=kx+b,
∴
解得
∴折痕BC的解析式为y=-(1+
)x+4.
图①图②
第1题解图
2.如图,已知A(-3,0),C(0,
),点B在x轴正半轴上,且OB=
OA.
(Ⅰ)求出∠ABC的度数;
(Ⅱ)若点M、N同时从B点出发,均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动,其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动,当运动时间为t秒时,连接MN,将△BMN沿MN翻折,B点恰好落在AC边上的P处,求t的值;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的情况下,直接写出点P的坐标.
第2题图
解:
(Ⅰ)∵A(-3,0),C(0,
),
∴OA=3,OC=
点B在x轴正半轴上,且OB=
OA.
∴OB=1,
∴tan∠ABC=
∴∠ABC=60°;
(Ⅱ)∵OA=3,OB=1,OC=
∴BC=2,AB=4,
∴∠B=60°,BM=BN,
∴△BMN是等边三角形,
∴△PMN也是等边三角形,
∴PN=BN=t,∠PNM=∠NMB=60°,
∴PN∥AB,
∴
即
∴t=
;
(Ⅲ)P点的坐标是(−1,
).
【解法提示】如解图,过点P作PD⊥AB,垂足为D,
∵t=
∴BM=PM=
∠PMD=∠CBA=60°,
∴PD=
DM=
∴OD=1,
∴P点的坐标是(−1,
).
第2题解图
3.如图,在平面直角坐标系中,正方形OBCD的点B的坐标为(2,0),E,F分别为边BC,CD上的点,且BE=CF,连接OE,BF,交点为G,将△BCF沿BF对折,得到△BPF,延长FP交x轴于点Q.
(Ⅰ)求证:
OE⊥BF;
(Ⅱ)若E为BC的中点,求点Q的坐标;
(Ⅲ)设点E的坐标为(2,n),点Q的坐标为(-m,0),请写出m关于n的函数关系式.
第3题图
解:
(Ⅰ)在△BEO和△CFB中,
∴△BEO≌△CFB,
∴∠BEO=∠CFB,
∵∠CFB+∠CBF=90°,
∴∠BEO+∠CBF=90°,
∴∠EGB=180°-90°=90°,
∴OE⊥BF;
(Ⅱ)如解图,由折叠的性质得∠1=∠2,BP=BC=2,
FP=FC=BE=1,
∵CD∥OB,
∴∠2=∠FBQ,
∴∠1=∠FBQ,
∴QF=QB,
设QB=x,则PQ=x-1,
在Rt△BPQ中,QB2=PB2+PQ2,
即x2=22+(x-1)2,
解得x=
∴QO=QB-OB=
-2=
∴点Q的坐标是(-
0);
(Ⅲ)如解图,过点F作FH⊥OB于点H,
则四边形BCFH为矩形,即CF=BH,
∵点E的坐标为(2,n),BE=CF,
∴CF=BH=BE=n,
由折叠的性质可得BC=BP=2,BP⊥QF,
∵S△FBQ=
QB·FH=
QF·BP,
∴QB=QF,
∵QB=OB+OQ=m+2,
在Rt△QFH中,由勾股定理得QF2=FH2+QH2,即(m+2)2=(m+2-n)2+22,
∴m=
.
第3题解图
4.在平面直角坐标系中,一张矩形纸片OBCD按图①所示放置,已知OB=10,BC=6,将这张纸片折叠,使点O落在边CD上,记作点A,折痕与边OD(含端点)交于点E,与边OB(含端点)或其延长线交于点F.
(Ⅰ)如图①,若点E的坐标为(0,4),求点A的坐标;
(Ⅱ)将矩形沿直线y=-
x+n折叠,求点A的坐标;
(Ⅲ)将矩形沿直线y=kx+n折叠,点F在边OB上(含端点),直接写出k的取值范围.
第4题图
解:
(Ⅰ)∵点E的坐标为(0,4),
∴OE=AE=4,
∵四边形OBCD是矩形,
∴OD=BC=6,
∴DE=2,
∴AD=
=2
∴点A的坐标为(2
6);
(Ⅱ)由于直线EF解析式是y=-
x+n,
∴OE=n,点F的坐标为(2n,0),
连接OA,如解图①,则EF垂直平分OA,
易得△AOD∽△EFO,
∴
则AD=
OD=3,
∴点A的坐标为(3,6);
(Ⅲ)-1≤k≤-
.
【解法提示】当点F与点B重合时,AB=OB=10,
∴AC=
=8,则AD=2,
易得△ADE∽△BCA,则
即
∴DE=
∴OE=
∴n=
直线EF的解析式为y=kx+
令x=10,则y=0,即0=10k+
∴k=;
当点E与点D重合时,如解图②,点F(6,0),
易得直线EF的解析式为y=-x+6,此时k=-1,
综上所述,k的取值范围是-1≤k≤-
.
第4题解图
5.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A在第一象限,点B在x轴的正半轴上,∠AOB=45°,线段OA,AB的长满足|OA-
|+(AB-
)2=0,点C在OA边上,将△OBC沿x轴折叠,使点C落在点D上,连接BC.
(Ⅰ)求∠A的度数;
(Ⅱ)当OC:
OA=1:
时,求BD所在直线的解析式;
(Ⅲ)当OC:
CA=1:
2时,在平面内是否存在点N,使以点N,O,D,M(点M为坐标轴上一点)为顶点的四边形为正方形?
若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
第5题图
解:
(Ⅰ)∵|OA-
|+(AB-
)2=0,
∴OA-
=0,AB-
=0,
∴OA=
AB=
如解图①,过点A作AM⊥x轴,垂足为M,
又∵∠AOB=45°,
∴△AOM为等腰直角三角形,
∴∠OAM=45°,
∴OM=AM=
OA=3,
∴MB=
=
∴MB=
AB,
∴∠MAB=30°,
∴∠OAB=∠OAM+∠MAB=75°;
(Ⅱ)如解图②,连接CD交x轴于点N,
∵OC:
OA=1:
OA=
∴OC=
∵∠DON=∠CON=45°,
∴△COD为等腰直角三角形,
∴CN=ND=
ON=
∴D(
-
),
又∵OB=OM+BM=3+
设直线BD的解析式为y=kx+b,
将B(3+
0),D(
-
)代入得
解得
∴直线BD的解析式为y=
x-
-1;
(Ⅲ)满足条件的点N的坐标有4个,N点坐标为N(1,1),N(-1,-10,N(0,-1),N(1,0).
第5题解图
6.如图①,以矩形OABC的顶点O为原点,OA所在的直线为x轴,OC所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系,已知OA=3,OC=2,点E是AB的中点,在OA上取一点D,将△BDA沿BD翻折,使点A落在BC边上的点F处.
(Ⅰ)直接写出点E、F的坐标;
(Ⅱ)如图②,若点P是线段DA上的一个动点,过P作PH⊥DB于H点,设OP的长为x,△DPH的面积为S,试用关于x的代数式表示S;
(Ⅲ)如图③,在x轴、y轴上是否分别存在点M、N,使得四边形MNFE的周长最小?
如果存在,求出周长的最小值.(直接写出结果即可)
第6题图
解:
(Ⅰ)由题意可求,AE=1,CF=1,
故:
E(3,1),F(1,2);
(Ⅱ)∵将△BDA沿BD翻折,使点A落在BC边上的点F处,
∴BF=AB=2,
∴OD=CF=3-2=1,
若设OP的长为x,
则PD=x-1,
在Rt△ABD中,AB=2,AD=2,
∴∠ADB=45°,
在Rt△PDH中,PH=DH=DP×
=
(x-1),
∴S=
×DH×PH=
×
(x-1)×
(x-1)=
-
+
;
(Ⅲ)如解图,作点F关于y轴的对称点F′,点E关于x轴的对称点E′,连接E′F′交y轴于点N,交x轴于点M,此时四边形MNFE的周长最小,
可求,点F(1,2)关于y轴的对称点F′(-1,2),点E(3,1)关于x轴的对称点E′(3,-1),
用两点法可求直线E′F′的解析式为:
y=−
当x=0时,y=
当y=0时,x=
∴N(0,
),M(
0),
此时,四边形MNFE的周长=E′F′+EF=
+
=5+
;
∴在x轴、y轴上分别存在点M、N,使得四边形MNFE的周长最小,最小为:
5+
.
第6题解图
7.如图①,在平面直角坐标系中,有一张矩形纸片OABC,已知O(0,0),A(8,0),C(0,4),点P是OA边上的动点(与点O、A不重合),将△PAB沿PB翻折,得到△PDB,
(Ⅰ)如图①,当∠BPA=30°时,求点D的坐标;
(Ⅱ)现在OC边上选取适当的点E,再将△POE沿PE翻折,得到△PEF.并使直线PD、PF重合.如图②,设P(x,0),E(0,y),求y关于x的函数关系式,并求y的最大值;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,当点F恰好落在边CB上时,求点P的坐标.(直接写出结果即可).
第7题图
解:
(Ⅰ)如解图①,过点D作x轴的垂线,垂足为点Q,
根据题意,在Rt△PAB中,∠PAB=90°,∠BPA=30°,
AB=4,PB=8,AP=4
在Rt△PBD中,由题意得∠PDB=90°,∠DPA=2∠BPA
=60°,∠PDQ=30°,
所以PQ=
PA=2
=AQ,
DQ=PQ×
=2
×
=6,
OQ=8-AQ=8-2
所以D点的坐标为(8-2
6)
(Ⅱ)如解图②,由已知得PB平分∠APD,PE平分∠OPF,且BP,PE垂直,则∠BPE=90°,
∴∠OPE+∠APB═90°,
又∵∠APB+∠ABP=90°,
∴∠OPE=∠PBA,
∴Rt△POE∽Rt△BAP,
∴
即
∴y=
x(8-x)=-
x2+2x=-
(x-4)2+4,(0<x<8)
且当x=4时,y有最大值为4;
(Ⅲ)P点的坐标为(4,0),(
0),
过点P作PN⊥CB于点N,如解图②,
∴∠ECF=∠FNP=90°,
∴∠CEF+∠EFC=90°,
∵∠EFC+∠PFN=90°
∴∠CEF=∠PFN,
∴△CEF∽△NFP,
∴
CF=
=
=2
∴
即2y-4=
将y=-
x2+2x代入得:
8(-
x2+2x)-16=x2-16x+64,
整理得3x2-32x+80=0,
解得x1=4,x2=
∴P点的坐标为(4,0),(
0).
图①图②
第7题解图
8
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