八年级因式分解难题.docx

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八年级因式分解难题

2017年05月21日数学（因式分解难题）2

一．填空题（共10小题）

1．已知x+y=10，xy=16，则x2y+xy2的值为　　．

2．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9）；另一位同学因看错了常数项分解成2（x﹣2）（x﹣4），请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：

　　．

3．若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是　　．

4．分解因式：

4x2﹣4x﹣3=　　．

5．利用因式分解计算：

2022+202×196+982=　　．

6．△ABC三边a，b，c满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，则△ABC的形状是　　．

7．计算：

12﹣22+32﹣42+52﹣62+…﹣1002+1012=　　．

8．定义运算a★b=（1﹣a）b，下面给出了关于这种运算的四个结论：

①2★（﹣2）=3

②a★b=b★a

③若a+b=0，则（a★a）+（b★b）=2ab

④若a★b=0，则a=1或b=0．

其中正确结论的序号是　　（填上你认为正确的所有结论的序号）．

9．如果1+a+a2+a3=0，代数式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=　　．

10．若多项式x2﹣6x﹣b可化为（x+a）2﹣1，则b的值是　　．

二．解答题（共20小题）

11．已知n为整数，试说明（n+7）2﹣（n﹣3）2的值一定能被20整除．

12．因式分解：

4x2y﹣4xy+y．

13．因式分解

（1）a3﹣ab2

（2）（x﹣y）2+4xy．

14．先阅读下面的内容，再解决问题，

例题：

若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值．

解：

∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0

∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0

∴（m+n）2+（n﹣3）2=0

∴m+n=0，n﹣3=0

∴m=﹣3，n=3

问题：

（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求xy的值．

（2）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，请问△ABC是怎样形状的三角形？

15．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20这三个数都是和谐数．

（1）36和2016这两个数是和谐数吗？

为什么？

（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗？

为什么？

（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和为　　．

16．如图1，有若干张边长为a的小正方形①、长为b宽为a的长方形②以及边长为b的大正方形③的纸片．

（1）如果现有小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，请你将它们拼成一个大长方形（在图2虚线框中画出图形），并运用面积之间的关系，将多项式a2+3ab+2b2分解因式．

（2）已知小正方形①与大正方形③的面积之和为169，长方形②的周长为34，求长方形②的面积．

（3）现有三种纸片各8张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），求可以拼成多少种边长不同的正方形．

17．

（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2．

①用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积；

②由此，你可以得出的一个等式为：

　　　　　　．

（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示．

①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；

②请你用拼图等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图．

18．已知a+b=1，ab=﹣1，设s1=a+b，s2=a2+b2，s3=a3+b3，…，sn=an+bn

（1）计算s2；

（2）请阅读下面计算s3的过程：

因为a+b=1，ab=﹣1，

所以s3=a3+b3=（a+b）（a2+b2）﹣ab（a+b）=1×s2﹣（﹣1）=s2+1=　　

你读懂了吗？

请你先填空完成

（2）中s3的计算结果，再用你学到的方法计算s4．

（3）试写出sn﹣2，sn﹣1，sn三者之间的关系式；

（4）根据（3）得出的结论，计算s6．

19．

（1）利用因式分解简算：

+×+

（2）分解因式：

4a（a﹣1）2﹣（1﹣a）

20．阅读材料：

若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．

解：

∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0

∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．

根据你的观察，探究下面的问题：

（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1=0，求x﹣y的值．

（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣8b+25=0，求△ABC的最大边c的值．

（3）已知a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，则a﹣b+c=　　．

21．仔细阅读下面例题，解答问题：

例题：

已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．

解：

设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n），则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n

∴n+3=﹣4

m=3n解得：

n=﹣7，m=﹣21

∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．

问题：

（1）若二次三项式x2﹣5x+6可分解为（x﹣2）（x+a），则a=　　；

（2）若二次三项式2x2+bx﹣5可分解为（2x﹣1）（x+5），则b=　　；

（3）仿照以上方法解答下面问题：

已知二次三项式2x2+5x﹣k有一个因式是（2x﹣3），求另一个因式以及k的值．

22．分解因式：

（1）2x2﹣x；

（2）16x2﹣1；

（3）6xy2﹣9x2y﹣y3；

（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2．

23．已知a，b，c是三角形的三边，且满足（a+b+c）2=3（a2+b2+c2），试确定三角形的形状．

24．分解因式

（1）2x4﹣4x2y2+2y4

（2）2a3﹣4a2b+2ab2．

25．图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．

（1）图②中的阴影部分的面积为　　；

（2）观察图②请你写出三个代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之间的等量关系是　　．

（3）若x+y=7，xy=10，则（x﹣y）2=　　．

（4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．

如图③，它表示了　　．

（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2．

26．已知a、b、c满足a﹣b=8，ab+c2+16=0，求2a+b+c的值．

27．已知：

一个长方体的长、宽、高分别为正整数a、b、c，且满足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，

求：

这个长方体的体积．

28．（x2﹣4x）2﹣2（x2﹣4x）﹣15．

29．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：

1+x+x（x+1）+x（x+1）2

=（1+x）[1+x+x（x+1）]

=（1+x）2（1+x）

=（1+x）3

（1）上述分解因式的方法是　　，共应用了　　次．

（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2004，则需应用上述方法　　次，结果是　　．

（3）分解因式：

1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．

30．对于多项式x3﹣5x2+x+10，如果我们把x=2代入此多项式，发现多项式x3﹣5x2+x+10=0，这时可以断定多项式中有因式（x﹣2）（注：

把x=a代入多项式能使多项式的值为0，则多项式含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：

x3﹣5x2+x+10=（x﹣2）（x2+mx+n），

（1）求式子中m、n的值；

（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法分解多项式x3﹣2x2﹣13x﹣10的因式．

2017年05月21日数学（因式分解难题）2

参考答案与试题解析

一．填空题（共10小题）

1．（2016秋•望谟县期末）已知x+y=10，xy=16，则x2y+xy2的值为　160　．

【分析】首先提取公因式xy，进而将已知代入求出即可．

【解答】解：

∵x+y=10，xy=16，

∴x2y+xy2=xy（x+y）=10×16=160．

故答案为：

160．

【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．

2．（2016秋•新宾县期末）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9）；另一位同学因看错了常数项分解成2（x﹣2）（x﹣4），请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：

　2（x﹣3）2　．

【分析】根据多项式的乘法将2（x﹣1）（x﹣9）展开得到二次项、常数项；将2（x﹣2）（x﹣4）展开得到二次项、一次项．从而得到原多项式，再对该多项式提取公因式2后利用完全平方公式分解因式．

【解答】解：

∵2（x﹣1）（x﹣9）=2x2﹣20x+18；

2（x﹣2）（x﹣4）=2x2﹣12x+16；

∴原多项式为2x2﹣12x+18．

2x2﹣12x+18=2（x2﹣6x+9）=2（x﹣3）2．

【点评】根据错误解法得到原多项式是解答本题的关键．二次三项式分解因式，看错了一次项系数，但二次项、常数项正确；看错了常数项，但二次项、一次项正确．

3．（2015春•昌邑市期末）若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是　±4　．

【分析】利用完全平方公式（a+b）2=（a﹣b）2+4ab、（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab计算即可．

【解答】解：

∵x2+mx+4=（x±2）2，

即x2+mx+4=x2±4x+4，

∴m=±4．

故答案为：

±4．

【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟记有关完全平方的几个变形公式是解题关键．

4．（2015秋•利川市期末）分解因式：

4x2﹣4x﹣3=　（2x﹣3）（2x+1）　．

【分析】ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解，这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：

ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2），进而得出答案．

【解答】解：

4x2﹣4x﹣3=（2x﹣3）（2x+1）．

故答案为：

（2x﹣3）（2x+1）．

【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解各项系数是解题关键．

5．（2015春•东阳市期末）利用因式分解计算：

2022+202×196+982=　90000　．

【分析】通过观察，显然符合完全平方公式．

【解答】解：

原式=2022+2x202x98+982

=（202+98）2

=3002

=90000．

【点评】运用公式法可以简便计算一些式子的值．

6．（2015秋•浮梁县校级期末）△ABC三边a，b，c满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，则△ABC的形状是　等边三角形　．

【分析】分析题目所给的式子，将等号两边均乘以2，再化简得（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2=0，得出：

a=b=c，即选出答案．

【解答】解：

等式a2+b2+c2=ab+bc+ac等号两边均乘以2得：

2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac，

即a2﹣2ab+b2+a2﹣2ac+c2+b2﹣2bc+c2=0，

即（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2=0，

解得：

a=b=c，

所以，△ABC是等边三角形．

故答案为：

等边三角形．

【点评】此题考查了因式分解的应用；利用等边三角形的判定，化简式子得a=b=c，由三边相等判定△ABC是等边三角形．

7．（2015秋•鄂托克旗校级期末）计算：

12﹣22+32﹣42+52﹣62+…﹣1002+1012=　5151　．

【分析】通过观察，原式变为1+（32﹣22）+（52﹣42）+（1012﹣1002），进一步运用高斯求和公式即可解决．

【解答】解：

12﹣22+32﹣42+52﹣62+…﹣1002+1012

=1+（32﹣22）+（52﹣42）+（1012﹣1002）

=1+（3+2）+（5+4）+（7+6）+…+（101+100）

=（1+101）×101÷2

=5151．

故答案为：

5151．

【点评】此题考查因式分解的实际运用，分组分解，利用平方差公式解决问题．

8．（2015秋•乐至县期末）定义运算a★b=（1﹣a）b，下面给出了关于这种运算的四个结论：

①2★（﹣2）=3

②a★b=b★a

③若a+b=0，则（a★a）+（b★b）=2ab

④若a★b=0，则a=1或b=0．

其中正确结论的序号是　③④　（填上你认为正确的所有结论的序号）．

【分析】根据题中的新定义计算得到结果，即可作出判断．

【解答】解：

①2★（﹣2）=（1﹣2）×（﹣2）=2，本选项错误；

②a★b=（1﹣a）b，b★a=（1﹣b）a，故a★b不一定等于b★a，本选项错误；

③若a+b=0，则（a★a）+（b★b）=（1﹣a）a+（1﹣b）b=a﹣a2+b﹣b2=﹣a2﹣b2=﹣2a2=2ab，本选项正确；

④若a★b=0，即（1﹣a）b=0，则a=1或b=0，本选项正确，

其中正确的有③④．

故答案为③④．

【点评】此题考查了整式的混合运算，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．

9．（2015春•张掖校级期末）如果1+a+a2+a3=0，代数式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=　0　．

【分析】4项为一组，分成2组，再进一步分解因式求得答案即可．

【解答】解：

∵1+a+a2+a3=0，

∴a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8，

=a（1+a+a2+a3）+a5（1+a+a2+a3），

=0+0，

=0．

故答案是：

0．

【点评】此题考查利用因式分解法求代数式的值，注意合理分组解决问题．

10．（2015春•昆山市期末）若多项式x2﹣6x﹣b可化为（x+a）2﹣1，则b的值是　﹣8　．

【分析】利用配方法进而将原式变形得出即可．

【解答】解：

∵x2﹣6x﹣b=（x﹣3）2﹣9﹣b=（x+a）2﹣1，

∴a=﹣3，﹣9﹣b=﹣1，

解得：

a=﹣3，b=﹣8．

故答案为：

﹣8．

【点评】此题主要考查了配方法的应用，根据题意正确配方是解题关键．

二．解答题（共20小题）

11．已知n为整数，试说明（n+7）2﹣（n﹣3）2的值一定能被20整除．

【分析】用平方差公式展开（n+7）2﹣（n﹣3）2，看因式中有没有20即可．

【解答】解：

（n+7）2﹣（n﹣3）2=（n+7+n﹣3）（n+7﹣n+3）=20（n+2），

∴（n+7）2﹣（n﹣3）2的值一定能被20整除．

【点评】主要考查利用平方差公式分解因式．公式：

a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．

12．（2016秋•农安县校级期末）因式分解：

4x2y﹣4xy+y．

【分析】先提取公因式y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．

【解答】解：

4x2y﹣4xy+y

=y（4x2﹣4x+1）

=y（2x﹣1）2．

【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

13．（2015秋•成都校级期末）因式分解

（1）a3﹣ab2

（2）（x﹣y）2+4xy．

【分析】

（1）原式提取a，再利用平方差公式分解即可；

（2）原式利用完全平方公式分解即可．

【解答】解：

（1）原式=a（a2﹣b2）=a（a+b）（a﹣b）；

（2）原式=x2﹣2xy+y2+4xy=x2+2xy+y2=（x+y）2．

【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

14．（2015春•甘肃校级期末）先阅读下面的内容，再解决问题，

例题：

若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值．

解：

∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0

∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0

∴（m+n）2+（n﹣3）2=0

∴m+n=0，n﹣3=0

∴m=﹣3，n=3

问题：

（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求xy的值．

（2）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，请问△ABC是怎样形状的三角形？

【分析】

（1）首先把x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，配方得到（x﹣y）2+（y+2）2=0，再根据非负数的性质得到x=y=﹣2，代入求得数值即可；

（2）先把a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，配方得到（a﹣3）2+（b﹣3）2+|3﹣c|=0，根据非负数的性质得到a=b=c=3，得出三角形的形状即可．

【解答】解：

（1）∵x2+2y2﹣2xy+4y+4=0

∴x2+y2﹣2xy+y2+4y+4=0，

∴（x﹣y）2+（y+2）2=0

∴x=y=﹣2

∴；

（2）∵a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，

∴a2﹣6a+9+b2﹣6b+9+|3﹣c|=0，

∴（a﹣3）2+（b﹣3）2+|3﹣c|=0

∴a=b=c=3

∴三角形ABC是等边三角形．

【点评】此题考查了配方法的应用：

通过配方，把已知条件变形为几个非负数的和的形式，然后利用非负数的性质得到几个等量关系，建立方程求得数值解决问题．

15．（2015秋•太和县期末）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20这三个数都是和谐数．

（1）36和2016这两个数是和谐数吗？

为什么？

（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗？

为什么？

（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和为　2500　．

【分析】

（1）利用36=102﹣82；2016=5052﹣5032说明36是“和谐数”，2016不是“和谐数”；

（2）设两个连续偶数为2n，2n+2（n为自然数），则“和谐数”=（2n+2）2﹣（2n）2，利用平方差公式展开得到（2n+2+2n）（2n+2﹣2n）=4（2n+1），然后利用整除性可说明“和谐数”一定是4的倍数；

（3）介于1到200之间的所有“和谐数”中，最小的为：

22﹣02=4，最大的为：

502﹣482=196，将它们全部列出不难求出他们的和．

【解答】解：

（1）36是“和谐数”，2016不是“和谐数”．理由如下：

36=102﹣82；2016=5052﹣5032；

（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（n为自然数），

∵（2k+2）2﹣（2k）2=（2k+2+2k）（2k+2﹣2k）

=（4k+2）×2

=4（2k+1），

∵4（2k+1）能被4整除，

∴“和谐数”一定是4的倍数；

（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和，

S=（22﹣02）+（42﹣22）+（62﹣42）+…+（502﹣482）=502=2500．

故答案是：

2500．

【点评】本题考查了因式分解的应用：

利用因式分解把所求的代数式进行变形，从而达到使计算简化．

16．（2015春•兴化市校级期末）如图1，有若干张边长为a的小正方形①、长为b宽为a的长方形②以及边长为b的大正方形③的纸片．

（1）如果现有小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，请你将它们拼成一个大长方形（在图2虚线框中画出图形），并运用面积之间的关系，将多项式a2+3ab+2b2分解因式．

（2）已知小正方形①与大正方形③的面积之和为169，长方形②的周长为34，求长方形②的面积．

（3）现有三种纸片各8张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），求可以拼成多少种边长不同的正方形．

【分析】

（1）根据小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，直接画出图形，利用图形分解因式即可；

（2）由长方形②的周长为34，得出a+b=17，由题意可知：

小正方形①与大正方形③的面积之和为a2+b2=169，将a+b=17两边同时平方，可求得ab的值，从而可求得长方形②的面积；

（3）设正方形的边长为（na+mb），其中（n、m为正整数）由完全平方公式可知：

（na+mb）2=n2a2+2nmab+m2b2．因为现有三种纸片各8张，

n2≤8，m2≤8，2mn≤8（n、m为正整数）从而可知n≤2，m≤2，从而可得出答案．

【解答】解：

（1）如图：

拼成边为（a+2b）和（a+b）的长方形

∴a2+3ab+2b2=（a+2b）（a+b）；

（2）∵长方形②的周长为34，

∴a+b=17．

∵小正方形①与大正方形③的面积之和为169，

∴a2+b2=169．

将a+b=17两边同时平方得：

（a+b）2=172，整理得：

a2+2ab+b2=289，

∴2ab=289﹣169，

∴ab=60．

∴长方形②的面积为60．

（3）设正方形的边长为（na+mb），其中（n、m为正整数）

∴正方形的面积=（na+mb）2=n2a2+2nmab+m2b2．

∵现有三种纸片各8张，

∴n2≤8，m2≤8，2mn≤8（n、m为正整数）

∴n≤2，m≤2．

∴共有以下四种情况；

①n=1，m=1，正方形的边长为a+b；

②n=1，m=2，正方形的边长为a+2b；

③n=2，m=1，正方形的边长为2a+b；

④n=2，m=2，正方形的边长为2a+2b．

【点评】此题考查因式分解的运用，要注意结合图形解决问题，解题的关键是灵活运用完全平方公式．

17．（2014秋•莱城区校级期中）

（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2．

①用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积；

②由此，你可以得出的一个等式为：

　a2+2a+1　　=　　（a+1）2　．

（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示．

①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；

②请你用拼图等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图．

【分析】

（1）要能根据所给拼图运用不同的计算面积的方法，来推导公式；

（2）要能根据等式画出合适的拼图．

【解答】解：

（1）①长方形的面积=a2+2a+1；长方形的面积=（a+1）2；

②a2+2a+1=（a+1）2；

（2）①如图，可推导出（a+b）2=a2+2ab+b2；

②2a2+5ab+2b2=（2a+b）（a+2b）．

【点评】本题考查运用正方形或长方形的面积计算推导相关的一些等式；运用图形的面积计算的不同方法得到多项式的因式分解．

18．（2013秋•海淀区校级期末）已知a+b=1，ab=﹣1，设s1=a+b，s2=a2+b2，s3=a3+b3，…，sn=an+bn

（1）计算s2；

（2）请阅读下面计算s3的过程：

因为a+b=1，ab=﹣1，

所以s3=a3+b3=（a+b）（a2+b2）﹣ab（a+b）=1×s2﹣（﹣