学年高中数学新人教版选修22课时作业第一章 导数及其应用133函数的最大小值与导数.docx
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学年高中数学新人教版选修22课时作业第一章导数及其应用133函数的最大小值与导数
1.3.3 函数的最大(小)值与导数
明目标、知重点
1.理解函数最值的概念,了解其与函数极值的区别与联系.
2.会求某闭区间上函数的最值.
1.函数f(x)在闭区间a,b]上的最值
函数f(x)在闭区间a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,则该函数在a,b]上一定能够取得最大值与最小值,函数的最值必在端点处或极值点处取得.
2.求函数y=f(x)在a,b]上的最大值与最小值的步骤:
(1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值;
(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
3.在开区间(a,b)内连续的函数不一定有最大值与最小值;若函数f(x)在开区间I上只有一个极值,且是极大(小)值,则这个极大(小)值就是函数f(x)在区间I上的最大(小)值.
4.极值与最值的意义:
(1)最值是在区间a,b]上的函数值相比较最大(小)的值;
(2)极值是在区间a,b]上的某一个数值x0附近相比较最大(小)的值.
情境导学]
极值反映的是函数在某一点附近的局部性质,而不是函数在整个定义域内的性质,但是我们往往更关心函数在某个区间上哪个值最大,哪个值最小?
函数的极值与最值有怎样的关系?
这就是本节我们要研究的问题.
探究点一 求函数的最值
思考1 如图,观察区间a,b]上函数y=f(x)的图象,你能找出它的极大值、极小值吗?
答 f(x1),f(x3),f(x5)是函数y=f(x)的极小值;
f(x2),f(x4),f(x6)是函数y=f(x)的极大值.
思考2 观察思考1的函数y=f(x),你能找出函数f(x)在区间a,b]上的最大值、最小值吗?
若将区间改为(a,b),f(x)在(a,b)上还有最值吗?
由此你得到什么结论?
答 函数y=f(x)在区间a,b]上的最大值是f(a),最小值是f(x3).若区间改为(a,b),则f(x)有最小值f(x3),无最大值.
小结 一般地,如果在区间a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值,且最值必在端点处或极值点处取得.
思考3 函数的极值和最值有什么区别和联系?
答 函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的,函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的,函数的极值可以有多个,但最值只能有一个;极值只能在区间内取得,最值则可以在端点处取得;有极值的未必有最值,有最值的未必有极值;极值有可能成为最值,最值只要不在端点处取得必定是极值,所以在开区间(a,b)上若存在最值,则必是极值.
小结 求一个函数在闭区间上的最值步骤:
1.求导,确定函数在闭区间上的极值点.
2.求出函数的各个极值和端点处的函数值.
3.比较大小,确定结论.
例1 求下列函数的最值:
(1)f(x)=2x3-12x,x∈-2,3];
(2)f(x)=
x+sinx,x∈0,2π].
解
(1)f(x)=2x3-12x,
∴f′(x)=6x2-12=6(x+
)(x-
),
令f′(x)=0,解得x=-
或x=
.
当x变化时,f′(x)与f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,-
)
-
(-
,
)
(
,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-
),(
,+∞),单调递减区间为(-
,
).
因为f(-2)=8,f(3)=18,f(
)=-8
,
f(-
)=8
;
所以当x=
时,f(x)取得最小值-8
;
当x=3时,f(x)取得最大值18.
(2)f′(x)=
+cosx,令f′(x)=0,又x∈0,2π],
解得x=
π或x=
π.
计算得f(0)=0,f(2π)=π,f(
π)=
+
,
f(
π)=
π-
.
∴当x=0时,f(x)有最小值f(0)=0;
当x=2π时,f(x)有最大值f(2π)=π.
反思与感悟
(1)求函数的最值,显然求极值是关键的一环.但仅仅是求最值,可用下面简化的方法求得.
①求出导数为零的点.
②比较这些点与端点处函数值的大小,就可求出函数的最大值和最小值.
(2)若函数在闭区间a,b]上连续且单调,则最大、最小值在端点处取得.
跟踪训练1 求下列函数的最值:
(1)f(x)=
x3-4x+4,x∈0,3];
(2)f(x)=ex(3-x2),x∈2,5].
解
(1)∵f(x)=
x3-4x+4,
∴f′(x)=x2-4.
令f′(x)=0,得x1=-2,x2=2.
∵f
(2)=-
,f(0)=4,f(3)=1,
∴函数f(x)在0,3]上的最大值为4,最小值为-
.
(2)∵f(x)=3ex-exx2,
∴f′(x)=3ex-(exx2+2exx)=-ex(x2+2x-3)
=-ex(x+3)(x-1),
∵在区间2,5]上,f′(x)=-ex(x+3)(x-1)<0,
即函数f(x)在区间2,5]上单调递减,
∴x=2时,函数f(x)取得最大值f
(2)=-e2;
x=5时,函数f(x)取得最小值f(5)=-22e5.
探究点二 含参数的函数的最值问题
例2 已知a是实数,函数f(x)=x2(x-a).
(1)若f′
(1)=3,求a的值及曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程.
(2)求f(x)在区间0,2]上的最大值.
解
(1)f′(x)=3x2-2ax.
因为f′
(1)=3-2a=3,
所以a=0.又当a=0时,f
(1)=1,f′
(1)=3,
所以曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程为3x-y-2=0.
(2)令f′(x)=0,解得x1=0,x2=
.
当
≤0,即a≤0时,f(x)在0,2]上单调递增,
从而f(x)max=f
(2)=8-4a.
当
≥2,即a≥3时,f(x)在0,2]上单调递减,
从而f(x)max=f(0)=0.
当0<
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