高中数学第2章函数24幂函数课时作业苏教版必修.docx
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高中数学第2章函数24幂函数课时作业苏教版必修
2019-2020年高中数学第2章函数2.4幂函数课时作业苏教版必修
课时目标 1.通过具体问题,了解幂函数的概念.2.从描点作图入手,画出y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1的图象,总结出幂函数的共性,巩固并会加以应用.
1.一般地,把形如________的函数叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
2.在同一平面直角坐标系中,画出幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1的图象.
3.结合2中图象,填空.
(1)所有的幂函数图象都过点__________,在(0,+∞)上都有定义.
(2)若α>0时,幂函数图象过点________________,且在第一象限内______;当0<α<1时,图象上凸,当α>1时,图象______.
(3)若α<0,则幂函数图象过点________,并且在第一象限内单调______,在第一象限内,当x从+∞趋向于原点时,函数在y轴右方无限地逼近于y轴,当x趋于+∞时,图象在x轴上方无限逼近x轴.
(4)当α为奇数时,幂函数图象关于______对称;当α为偶数时,幂函数图象关于______对称.
(5)幂函数在第____象限无图象.
一、填空题
1.下列函数是幂函数的是________.(填序号)
①y=
;②y=x3;③y=2x;④y=x-1.
2.幂函数f(x)的图象过点(4,
),那么f(8)的值为________.
3.下列是y=的图象的是________.(填序号)
4.图中曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象,已知n取±2,±
四个值,则相应于曲线C1,C2,C3,C4的n依次为________.
5.设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是________.
6.函数f(x)=xα,x∈(-1,0)∪(0,1),若不等式f(x)>|x|成立,则在α∈{-2,-1,0,1,2}的条件下,α可以取值的个数是________.
7.给出以下结论:
①当α=0时,函数y=xα的图象是一条直线;
②幂函数的图象都经过(0,0),(1,1)两点;
③若幂函数y=xα的图象关于原点对称,则y=xα在定义域内y随x的增大而增大;
④幂函数的图象不可能在第四象限,但可能在第二象限.
则正确结论的序号为________.
8.函数y=+x-1的定义域是________.
9.已知函数y=x-2m-3的图象过原点,则实数m的取值范围是____________________.
二、解答题
10.比较、、的大小,并说明理由.
11.如图,幂函数y=x3m-7(m∈N)的图象关于y轴对称,且与x轴、y轴均无交点,求此函数的解析式.
能力提升
12.已知函数f(x)=(m2+2m)·,m为何值时,函数f(x)是:
(1)正比例函数;
(2)反比例函数;(3)二次函数;(4)幂函数.
13.点(
,2)在幂函数f(x)的图象上,点(-2,
)在幂函数g(x)的图象上,问当x为何值时,有:
(1)f(x)>g(x);
(2)f(x)=g(x);(3)f(x) 1.幂函数在第一象限内指数变化规律: 在第一象限内直线x=1的右侧,图象从上到下,相应的指数由大变小;在直线x=1的左侧,图象从下到上,相应的指数由大变小. 2.求幂函数的定义域时要看指数的正负和指数 中的m是否为偶数;判断幂函数的奇偶性时要看指数 中的m、n是奇数还是偶数.y=xα,当α= (m、n∈N*,m、 n互质)时,有: n m y=的奇偶性 定义域 奇数 偶数 非奇非偶函数 [0,+∞) 偶数 奇数 偶函数 (-∞,+∞) 奇数 奇数 奇函数 (-∞,+∞) 3.幂函数y=的单调性,在(0,+∞)上, >0时为增函数, <0时为减函数. §2.4 幂函数 知识梳理 1.y=xα 3. (1)(1,1) (2)(0,0),(1,1) 递增 下凸 (3)(1,1) 递减 (4)原点 y轴 (5)四 作业设计 1.①②④ 解析 根据幂函数的定义: 形如y=xα的函数称为幂函数,③中自变量x的系数是2,不符合幂函数的定义,所以③不是幂函数. 2. 解析 设幂函数为y=xα,依题意, =4α, 即22α=2-1,∴α=- . ∴幂函数为y=,∴f(8)== = = . 3.② 解析 y== ,∴x∈R,y≥0,f(-x)= = =f(x),即y=是偶函数,又∵ <1,∴图象上凸. 4.2, ,- ,-2 解析 作直线x=t(t>1)与各个图象相交,则交点自上而下的排列顺序恰好是按幂指数的降幂排列的. 5.a>c>b 解析 根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来,y=在x>0时是增函数,所以a>c,y=( )x在x>0时是减函数,所以c>b. 6.2 解析 因为x∈(-1,0)∪(0,1), 所以0<|x|<1. 要使f(x)=xα>|x|,xα在(-1,0)∪(0,1)上应大于0, 所以α=-1,1显然是不成立的. 当α=0时,f(x)=1>|x|; 当α=2时,f(x)=x2=|x|2<|x|; 当α=-2时,f(x)=x-2=|x|-2>1>|x|. 综上,α的可能取值为0或-2,共2个. 7.④ 解析 当α=0时,函数y=xα的定义域为{x|x≠0,x∈R},故①不正确;当α<0时,函数y=xα的图象不过(0,0)点,故②不正确;幂函数y=x-1的图象关于原点对称,但其在定义域内不是增函数,故③不正确.④正确. 8.(0,+∞) 解析 y=的定义域是[0,+∞),y=x-1的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),再取交集. 9.m<- 解析 由幂函数的性质知-2m-3>0, 故m<- . 10.解 考查函数y=1.1x,∵1.1>1, ∴它在(0,+∞)上是增函数. 又∵ > ,∴>. 再考查函数y=,∵ >0, ∴它在(0,+∞)上是增函数. 又∵1.4>1.1,∴>, ∴>>. 11.解 由题意,得3m-7<0. ∴m< . ∵m∈N,∴m=0,1或2, ∵幂函数的图象关于y轴对称, ∴3m-7为偶数. ∵m=0时,3m-7=-7, m=1时,3m-7=-4, m=2时,3m-7=-1. 故当m=1时,y=x-4符合题意.即y=x-4. 12.解 (1)若f(x)为正比例函数,则 ⇒m=1. (2)若f(x)为反比例函数, 则 ⇒m=-1. (3)若f(x)为二次函数,则 ⇒m= . (4)若f(x)为幂函数,则m2+2m=1, ∴m=-1± . 13.解 设f(x)=xα,则由题意,得 2=( )α,∴α=2,即f(x)=x2. 设g(x)=xβ,由题意,得 =(-2)β, ∴β=-2,即g(x)=x-2. 在同一平面直角坐标系中作出f(x)与g(x)的图象,如图所示. 由图象可知: (1)当x>1或x<-1时, f(x)>g(x); (2)当x=±1时,f(x)=g(x); (3)当-1 f(x) 2019-2020年高中数学第2章函数2.5.1函数的零点课时作业苏教版必修 课时目标 1.能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数,理解二次函数的图象与x轴的交点和相应的一元二次方程根的关系.2.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的联系.3.掌握函数零点的存在性定理. 1.函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点和相应的ax2+bx+c=0(a≠0)的根的关系 函数图象 判别式 Δ>0 Δ=0 Δ<0 与x轴交 点个数 方程的根 无解 一般地,我们把使函数y=f(x)的值为0的实数x称为函数y=f(x)的______. 3.函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的________,也就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的______. 4.方程f(x)=0有实数根 ⇔函数y=f(x)的图象与x轴有______ ⇔函数y=f(x)有______. 函数零点的存在性的判断方法 若函数f(x)在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线,且f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点. 一、填空题 1.二次函数y=ax2+bx+c中,a·c<0,则函数的零点个数是________. 2.若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象为一条连续不断的曲线,则下列说法不正确的是________.(填序号) ①若f(a)f(b)>0,不存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0; ②若f(a)f(b)<0,存在且只存在一个实数c∈(a,b)使得f(c)=0; ③若f(a)f(b)>0,有可能存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0; ④若f(a)f(b)<0,有可能不存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0. 3.若函数f(x)=ax+b(a≠0)有一个零点为2,那么函数g(x)=bx2-ax的零点是________. 4.已知函数y=f(x)是偶函数,其部分图象如图所示,则这个函数的零点至少有________个. 5.函数f(x)= 零点的个数为________. 6.已知函数y=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示,则实数b的取值范围是________. 7.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,-2是它的一个零点,且在(0,+∞)上是增函数,则该函数有______个零点,这几个零点的和等于______. 8.函数f(x)=lnx-x+2的零点个数为________. 9.根据表格中的数据,可以判定方程ex-x-2=0的一个实根所在的区间为(k,k+1)(k∈N),则k的值为________. x -1 0 1 2 3 ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09 x+2 1 2 3 4 5 二、解答题 10.证明: 方程x4-4x-2=0在区间[-1,2]内至少有两个实数解. 11.关于x的方程mx2+2(m+3)x+2m+14=0有两实根,且一个大于4,一个小于4,求m的取值范围. 能力提升 12.设函数f(x)= 若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则方程f(x)=x的解的个数是_______________________. 13.若方程x2+(k-2)x+2k-1=0的两根中,一根在0和1之间,另一根在1和2之间,求k的取值范围. 1.方程的根与方程所对应函数的零点的关系 (1)函数的零点是一个实数,当自变量取该值时,其函数值等于零. (2)根据函数零点定义可知,函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的根,因此判断一个函数是否有零点,有几个零点,就是判断方程f(x)=0是否有实根,有几个实根. (3)函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的实数根,也就是函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象交点的横坐标. 2.并不是所有的函数都有零点,如函数y= . 3.对于任意的一个函数,即使它的图象是连续不断的,当它通过零点时,函数值也不一定变号.如函数y=x2有零点x0=0,但显然当它通过零点时函数值没有变号. §2.5 函数与方程 2.5.1 函数的零点 知识梳理 1.2个 1个 0个 2个 1个 2.零点 3.实数根 横坐标 4.交点 零点 作业设计 1.2个 解析 方程ax2+bx+c=0中,∵ac<0,∴a≠0, ∴Δ=b2-4ac>0, 即方程ax2+bx+c=0有2个不同实数根, 则对应函数的零点个数为2个. 2.①②④ 解析 对于①,可能存在根; 对于②,必存在但不一定唯一; ④显然不成立. 3.0,- 解析 ∵a≠0,2a+b=0, ∴b≠0, =- . 令bx2-ax=0,得x=0或x= =- . 4.4 解析 由图象可知,当x>0时,函数至少有2个零点,因为偶函数的图象关于y轴对称,故此函数的零点至少有4个. 5.2 解析 x≤0时,令x2+2x-3=0,解得x=-3. x>0时,f(x)=lnx-2在(0,+∞)上递增, f (1)=-2<0,f(e3)=1>0,∴f (1)f(e3)<0, ∴f(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点. 综上,f(x)在R上有2个零点. 6.(-∞,0) 解析 设f(x)=ax3+bx2+cx+d,则由f(0)=0可得d=0,f(x)=x(ax2+bx+c)=ax(x-1)(x-2)⇒b=-3a,又由x∈(0,1)时f(x)>0,可得a>0,∴b<0. 7.3 0 解析 ∵f(x)是R上的奇函数,∴f(0)=0,又∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,由奇函数的对称性可知,f(x)在(-∞,0)上也单调递增,由f (2)=-f(-2)=0.因此在(0,+∞)上只有一个零点,综上f(x)在R上共有3个零点,其和为-2+0+2=0. 8.2 解析 该函数零点的个数就是函数y=lnx与y=x-2图象的交点个数.在同一坐标系中作出y=lnx与y=x-2的图象如下图: 由图象可知,两个函数图象有2个交点,即函数f(x)=lnx-x+2有2个零点. 9.1 解析 设f(x)=e2-(x+2),由题意知f(-1)<0,f(0)<0,f (1)<0,f (2)>0,所以方程的一个实根在区间(1,2)内,即k=1. 10.证明 设f(x)=x4-4x-2,其图象是连续曲线. 因为f(-1)=3>0,f(0)=-2<0,f (2)=6>0. 所以在(-1,0),(0,2)内都有实数解. 从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解. 11.解 令f(x)=mx2+2(m+3)x+2m+14. 依题意得 或 , 即 或 ,解得- 12.3 解析 由已知 得 ∴f(x)= 当x≤0时,方程为x2+4x+2=x, 即x2+3x+2=0, ∴x=-1或x=-2; 当x>0时,方程为x=2, ∴方程f(x)=x有3个解. 13.解 设f(x)=x2+(k-2)x+2k-1. ∵方程f(x)=0的两根中,一根在(0,1)内,一根在(1,2)内, ∴ ,即 ∴ .
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