大学高等数学下考试题库附答案.docx
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大学高等数学下考试题库附答案
《高等数学》试卷1(下)
一.选择题(3分10)
1.点M12,3,1到点M22,7,4的距离M1M2().
A.3B.4C.5D.6
2.向量ai2jk,b2ij,则有().
A.a∥bB.a⊥bC.
a,bD.
3
a,b
4
3.函数
1
22
y2xy的定义域是().
22
xy1
2y2y
22
A.x,y1x2B.x,y1x2
2y2y
22
C.x,y1x2Dx,y1x2
4.两个向量a与b垂直的充要条件是().
A.ab0B.ab0C.ab0D.ab0
33
5.函数zxy3xy
的极小值是().
A.2B.2C.1D.1
6.设zxsiny,则
z
y
1,
4
=().
A.
2
2
B.
2
2
C.2D.2
7.若p级数
n1
1
p
n
收敛,则().
A.p1B.p1C.p1D.p1
8.幂级数
n1
n
x
n
的收敛域为().
A.1,1B1,1C.1,1D.1,1
9.幂级数
n
x
02
n
在收敛域内的和函数是().
1221
A.B.C.D.
1x2x1x2
x
10.微分方程xyylny0的通解为().
A.
x
yceB.
x
yeC.
x
ycxeD.
y
cx
e
二.填空题(4分5)
1.一平面过点A0,0,3且垂直于直线AB,其中点B2,1,1,则此平面方程为______________________.
2.函数zsinxy的全微分是______________________________.
3yxyxy
23
3.设zx31,则
2
z
xy
_____________________________.
1
的麦克劳林级数是___________________________.4.
2x
5.微分方程y4y4y0的通解为_________________________________.
三.计算题(5分6)
zz
usin,而uxy,vxy,求,.
1.设zev
xy
zz
2yz2xz
2
2.已知隐函数zzx,y由方程x24250确定,求,.
xy
22
3.计算sinxyd,其中
D
24
222
D:
xy.
4.如图,求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积(R为半径).
5.求微分方程
y
2x
3ye在yx00条件下的特解.
四.应用题(10分2)
1.要用铁板做一个体积为2
3
m的有盖长方体水箱,问长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?
2..曲线yfx上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2倍,且曲线过点
1
1,,
3
求此曲线方程
.
试卷1参考答案
一.选择题CBCADACCBD
二.填空题
1.2xy2z60.
2.cosxyydxxdy.
3.6x91.
2yy2
4.
n0
n
1
n1
2
n
x
.
5.
y
2x
CCxe
1.
2
三.计算题
zxyzxy
1.eysinxycosxy,exsinxycosxy.
xy
2.
z
x
2
z
x
1
z
y
2
z
y
1
.
3.
2
0
2
dsind
2
6.
4.
16
3
3
R.
5.
y
3.
xe2x
e
四.应用题
1.长、宽、高均为m
32时,用料最省.
12
2.yx.
3
《高数》试卷2(下)
一.选择题(3分10)
1.点M14,3,1,M27,1,2的距离M1M2().
A.12B.13C.14D.15
2.设两平面方程分别为x2y2z10和xy50,则两平面的夹角为().
A.B.C.D.
6432
3.函数
22
zarcsinxy的定义域为().
2y2
2y2
A.x,y0x1B.x,y0x1
C.
2y
2
x,y0xD.
2
x,
y
0
x
2y2
2
4.点P1,2,1到平面x2y2z50的距离为().
A.3B.4C.5D.6
5.函数
222
z2xy3xy的极大值为().
A.0B.1C.1D.
1
2
6.设
z
23xyy2
zx,则1,2
x
().
A.6B.7C.8D.9
7.若几何级数
n
ar是收敛的,则().
n0
A.r1B.r1C.r1D.r1
8.幂级数
n
n0
n
1x的收敛域为().
A.1,1B.1,1C.1,1D.1,1
9.级数
sin
nn
1
na
4
是().
A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.不能确定
10.微分方程xyylny0的通解为().
A.
cx
yeB.
x
yceC.
x
yeD.
y
x
cxe
二.填空题(4分5)
x3t
1.直线l过点A2,2,1且与直线yt
平行,则直线l的方程为__________________________.
z12t
2.函数
xy
ze的全微分为___________________________.
3.曲面
24
2
z2xy在点2,1,4处的切平面方程为_____________________________________.
4.
1
1
2
x
的麦克劳林级数是______________________.
5.微分方程xdy3ydx0在yx11条件下的特解为______________________________.
三.计算题(5分6)
1.设ai2jk,b2j3k,求ab.
2.设
zz
2
zu,而uxcosy,vxsiny,求,.
2vuv
xy
zz
3xyz
3.已知隐函数zzx,y由x32确定,求,.
xy
4.如图,求球面
2yz24a222
2
x与圆柱面xy2ax
(a0)所围的几何体的体积.
5.求微分方程y3y2y0的通解.
四.应用题(10分2)
1.试用二重积分计算由yx,y2x和x4所围图形的面积.
2
dx
2.如图,以初速度v0将质点铅直上抛,不计阻力,求质点的运动规律xxt.(提示:
g
2
dt
.当t0
时,有
dx
x,v0
x
0
dt
)
试卷2参考答案
一.选择题CBABACCDBA.
二.填空题
1.
x
2y2z
112
1
.
xy
2.eydxxdy
.
3.8x8yz4.
4.
1
n
2n
x.
n0
5.
3
yx.
三.计算题
1.8i3j2k.
z2z3333
2.3xsinycosycosysiny,2xsinycosysinycosyxsinycosy.
xy
3.
z
x
xy
yz
z
2,
z
y
xy
xz
2
z
.
4.
3232
a.
323
5.
2xCex
yCe2
1.
四.应用题
1.
16
3
.
1
2
xgtvtx.2.00
2
《高等数学》试卷3(下)
一、选择题(本题共10小题,每题3分,共30分)
1、二阶行列式2-3的值为()
45
A、10B、20C、24D、22
2、设a=i+2j-k,b=2j+3k,则a与b的向量积为()
A、i-j+2kB、8i-j+2kC、8i-3j+2kD、8i-3i+k
3、点P(-1、-2、1)到平面x+2y-2z-5=0的距离为()
A、2B、3C、4D、5
4、函数z=xsiny在点(1,
)处的两个偏导数分别为()
4
2
A、,
2
2
2
2
B、,
2
2
2
C、
2
2
2
2
D、
2
2
2
2
5、设x2+y2+z2=2Rx,则
2+y2+z2=2Rx,则
z
x
z
分别为()
y
A、
xR
z
yx
B、
z
z
R
yxRy
,
CD、、
zzz
x
z
R
y
z
6、设圆心在原点,半径为R,面密度为
2y
2
x的薄板的质量为()(面积A=
2
R)
1
A、R
2AB、2R2AC、3R2AD、R2A
2
n
xn
(1)7、级数
的收敛半径为()
nn1
A、2B、
1
2
C、1D、3
8、cosx的麦克劳林级数为()
A、
(
n0
n
1)
(
2n
x
2n)!
B、
(1)
n1
n
2n
x
(2n)!
C、
n
0
(
1)
n
2n
x
(2n)!
D、
n
0
(
1)
n
(
2n
x
2n
1
1)!
9、微分方程(y``)
4+(y`)5+y`+2=0的阶数是()
A、一阶B、二阶C、三阶D、四阶
10、微分方程y``+3y`+2y=0的特征根为()
A、-2,-1B、2,1C、-2,1D、1,-2
二、填空题(本题共5小题,每题4分,共20分)
x1y3
1、直线L1:
x=y=z与直线L2:
z的夹角为
21
___________。
x1y2z
直线L3:
与平面3x2y6z0之间的夹角为
212
____________。
2.03的近似值为________,sin100的近似值为___________。
2、(0.98)
3、二重积分
2___________。
2
d,D:
xy1的值为
D
n
4、幂级数n!
x的收敛半径为__________,
n0
n
x
0n!
n
的收敛半径为__________。
5、微分方程y`=xy的一般解为___________,微分方程xy`+y=y
2的解为___________。
三、计算题(本题共6小题,每小题5分,共30分)
1、用行列式解方程组-3x+2y-8z=17
2x-5y+3z=3
x+7y-5z=2
2、求曲线x=t,y=t
2,z=t3在点(1,1,1)处的切线及法平面方程.
3、计算
xyd,其中D由直线y1,x2及yx围成.
D
4、问级数
n1
(1)
n?
,?
1
n
sin
收敛吗若收敛则是条件收敛还是绝对收敛
5、将函数f(x)=e
3x展成麦克劳林级数
6、用特征根法求y``+3y`+2y=0的一般解
四、应用题(本题共2小题,每题10分,共20分)
2而体积最大的长方体体积。
1、求表面积为a
2、放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素,铀的含量就不断减小,这种现象叫
做衰变。
由原子物理学知道,铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比,(已知比例系数为k)
已知t=0时,铀的含量为M0,求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t变化的规律。
参考答案
一、选择题
1、D2、C3、C4、A5、B6、D7、C8、A9、B
10,A
二、填空题
1、
28
arcos,arcsin2、0.96,0.17365
21
18
3、л4、0,+
5、
yce
2
x1
2cx1
y
三、计算题
1、-32-8
解:
△=2-53=(-3)×-53-2×23+(-8)2-5=-138
17-57-51-5
172-8
△x=3-53=17×-53-2×33+(-8)×3-5=-138
27-57-52-527
同理:
-317-8
△y=233=276,△z=414
12-5
xyz
所以,方程组的解为x1,y2,z3
2、解:
因为x=t,y=t
2,z=t3,
所以xt=1,yt=2t,zt=3t
2,
所以xt|t=1=1,yt|t=1=2,zt|t=1=3
故切线方程为:
x
1y1z
123
1
法平面方程为:
(x-1)+2(y-1)+3(z-1)=0
即x+2y+3z=6
3、解:
因为D由直线y=1,x=2,y=x围成,
所以
D:
1≤y≤2
y≤x≤2
故:
D
xyd
3
y
222
[xydx]dy(2y)dy
1y1
2
1
8
1
4、解:
这是交错级数,因为
Vnsin
1
n
0
,所以
,Vn
Vn,且lim
1
sin
1
n
,
0所以该级数为莱布尼兹型级数
,。
故收敛
又
n1
sin
1
n
当x趋于0时,sinx
~
x,所以
,
lim
n
sin
1
1
n
1,
又级数
n1
1
n
发散,从而
n1
sin
1
n
发散。
5
n
所以,原级数条件收敛。
、解:
因为
w
e
1x
1
2!
x
2
1
3!
3
x
1
n!
x
n
x(,)
用2x代x,得:
2
e
x
1(2x)
1
2!
(
2x)
2
1
3!
(2x)
3
1
n!
(2
x)
n
12x
2
2
2!
2
x
3
2
3!
x
3
n
2
n!
x
n
x(,)
2
6、解:
特征方程为r+4r+4=0
所以,(r+2)
2=0
-2x,y2=xe-2x得重根r1=r2=-2,其对应的两个线性无关解为y1=e
-2x
所以,方程的一般解为y=(c1+c2x)e
四、应用题
1、解:
设长方体的三棱长分别为x,y,z
2
则2(xy+yz+zx)=a
构造辅助函数
2
F(x,y,z)=xyz+(2xy2yz2zxa)
求其对x,y,z的偏导,并使之为0,得:
yz+2(y+z)=0
xz+2(x+z)=0
xy+2(x+y)=0
与2(xy+yz+zx)-a
2
=0联立,由于x,y,z均不等于零
可得x=y=z
代入2(xy+yz+zx)-a
2=0得x=y=z=
6a
6
所以,表面积为a2而体积最大的长方体的体积为
2而体积最大的长方体的体积为
Vxyz
3
6a
36
2、解:
据题意
dM
dt
M
其中0为常数
初始条件MM
t00
对于
dM
dt
M
式
dM
M
dt
两端积分得lnMtlnC
t
所以,Mce
又因为MM
t00
所以,MC
0
t
所以,MMe
0
由此可知,铀的衰变规律为:
铀的含量随时间的增加而按指数规律衰减。
《高数》试卷4(下)
一.选择题:
31030
1.下列平面中过点(1,1,1)的平面是.
(A)x+y+z=0(B)x+y+z=1(C)x=1(D)x=3
2.在空间直角坐标系中,方程x2y22表示.
(A)圆(B)圆域(C)球面(D)圆柱面
3.二元函数z(1x)2(1y)2的驻点是.
(A)(0,0)(B)(0,1)(C)(1,0)(D)(1,1)
4.二重积分的积分区域D是1x2y24,则
dxdy.
D
(A)(B)4(C)3(D)15
5.交换积分次序后
1
0
dx
x
0
f(x,y)dy.
(A)
11
0dy(,)
fxydx
y
(B)
1
dy
0
1
0
f(x,y)dx
(C)
1
dy
0
y
0
f
(x,
y)dx
(D)
x
dy
0
1
0
f
(x,y)dx
6.n阶行列式中所有元素都是1,其值是.
(A)n(B)0(C)n!
(D)1
~
7.对于n元线性方程组,当r(ArA)r时,它有无穷多组解,则.
)(
(A)r=n(B)r<n(C)r>n(D)无法确定
8.下列级数收敛的是.
(A)
n
n
1
(
1)
(B)
n1
nn
1
n
3
n
12
(C)
n
1
(
n
1)
n
1
(D)
1
nn
1
9.正项级数
n
u和
n
1
n
v满足关系式unvn,则.
n
1
(A)若
u收敛,则
n
v收敛(B)若
n
v收敛,则
n
u收敛
n
n1n1n1n1
(C)若
v发散,则
n
u发散(D)若
n
u收敛,则
n
v发散
n
n1n1n1n1
1
10.已知:
12
xx
1x
,则
1
1
2
x
的幂级数展开式为.
(A)1x2x4(B)1x2x4(C)1x2x4(D)1x2x4
二.填空题:
4520
1.数zx2y21ln(2x2y2)的定义域为.
y
2.若f(x,y)xy,则f(,1).
x
3.已知(x0,y0)是f(x,y)的驻点,若fxx(x0,,y0)3,fyy(x0,y0)12,fxy(x0,y0)a则
当时,(x0,y0)一定是极小点.
4.矩阵A为三阶方阵,则行列式3AA
5.级数
n
u收敛的必要条件是.
n
1
三.计算题
(一):
6530
1.已知:
zxy,求:
z,
x
z.
y
2.计算二重积分4xd,其中D{(x,y)|0y4x2,0x2}.
2
D
1
2
2
0
1
1
,B=
1
0
0
2
1
0
3
2
1
3.已知:
XB=A,其中A=,求未知矩阵X.
n
xn1
4.求幂级数
(1)的收敛区间.
nn1
5.求f(x)ex的麦克劳林展开式(需指出收敛区间).
四.计算题
(二):
10220
1.求平面x-2y+z=2和2x+y-z=4的交线的标准方程.
xyz1
2.设方程组xyz1
,试问:
分别为何值时,方程组无解、有唯一解、有无穷多组解.
xyz1
参考答案
一.1.C;2.D;3.D;4.D;5.A;6.B;7.B;8.C;9.B;10.D.
二.1.(x,y)|1x2y222.
y
x
3.6a64.275.limun0
n
zyyln
z
四.1.解:
yxxy
1
xy
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