高考文科数学二轮复习专题二第三讲 平面向量.docx
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高考文科数学二轮复习专题二第三讲平面向量
2020年高考文科数学二轮复习:
专题二第三讲 平面向量
一、选择题
1.设a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若b⊥c,则实数k的值等于( )
A.-
B.-
C.
D.
解析:
因为c=a+kb=(1+k,2+k),又b⊥c,所以1×(1+k)+1×(2+k)=0,解得k=-
.
答案:
A
2.(2017·山西四校联考)已知|a|=1,|b|=
,且a⊥(a-b),则向量a与向量b的夹角为( )
A.
B.
C.
D.
解析:
∵a⊥(a-b),∴a·(a-b)=a2-a·b=1-
cos〈a,b〉=0,∴cos〈a,b〉=
,∴〈a,b〉=
.
答案:
B
3.已知A,B,C三点不共线,且点O满足
+
+
=0,则下列结论正确的是( )
A.
=
+
B.
=
+
C.
=
-
D.
=-
-
解析:
∵
+
+
=0,∴O为△ABC的重心,∴
=-
×
(
+
)=-
(
+
)=-
(
+
+
)=-
(2
+
)=-
-
,故选D.
答案:
D
4.设向量a=(cosα,-1),b=(2,sinα),若a⊥b,则tan
=( )
A.-
B.
C.-1D.0
解析:
由已知可得,a·b=2cosα-sinα=0,∴tanα=2,tan
=
=
,故选B.
答案:
B
5.(2017·贵州模拟)若单位向量e1,e2的夹角为
,向量a=e1+λe2(λ∈R),且|a|=
,则λ=( )
A.-
B.
-1
C.
D.
解析:
由题意可得e1·e2=
,|a|2=(e1+λe2)2=1+2λ×
+λ2=
,化简得λ2+λ+
=0,解得λ=-
,选项A正确.
答案:
A
6.在△ABC中,(
+
)·
=|
|2,则△ABC的形状一定是( )
A.等边三角形B.等腰三角形
C.直角三角形D.等腰直角三角形
解析:
由(
+
)·
=|
|2得(
+
-
)·
=0,
则2
·
=0,即BA⊥AC,故选C.
答案:
C
7.已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则
·
=( )
A.-
a2B.-
a2
C.
a2D.
a2
解析:
·
=(
+
)·
=
·
+
2=
a2+a2=
a2.
答案:
D
8.已知点A(-1,1)、B(1,2)、C(-2,-1)、D(3,4),则向量
在
方向上的投影为( )
A.
B.
C.-
D.-
解析:
=(2,1),
=(5,5),|
|=5
,
故
在
上的投影为
=
=
.
答案:
A
9.已知向量a,b,c中任意两个向量都不共线,但a+b与c共线,b+c与a共线,则a+b+c=( )
A.aB.b
C.cD.0
解析:
∵a+b与c共线,b+c与a共线,∴可设a+b=λc,b+c=μa,两式作差整理后得到(1+λ)c=(1+μ)a,∵向量a,c不共线,∴1+λ=0,1+μ=0,即λ=-1,μ=-1,∴a+b=-c,即a+b+c=0.故选D.
答案:
D
10.(2017·山西质检)已知a,b是单位向量,且a·b=-
.若平面向量p满足p·a=p·b=
,则|p|=( )
A.
B.1
C.
D.2
解析:
由题意,不妨设a=(1,0),b=
,p=(x,y),
∵p·a=p·b=
,∴
解得
∴|p|=
=1,故选B.
答案:
B
11.(2017·辽宁沈阳质检)在△ABC中,|
+
|=|
-
|,AB=2,AC=1,E,F为BC的三等分点,则
·
=( )
A.
B.
C.
D.
解析:
由|
+
|=|
-
|,化简得
·
=0,又因为AB和AC为三角形的两条边,它们的长不可能为0,所以
与
垂直,所以△ABC为直角三角形.以AC所在直线为x轴,以AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系,如图所示,则A(0,0),B(0,2),C(1,0).不妨令E为BC的靠近C的三等分点,则E
,F
,所以
=
,
=
,所以
·
=
×
+
×
=
.
答案:
B
12.设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则|a+b|=( )
A.
B.
C.2
D.10
解析:
由
⇒
⇒
∴a=(2,1),b=(1,-2),a+b=(3,-1),
∴|a+b|=
,故选B.
答案:
B
二、填空题
13.已知向量a,b满足|a|=1,b=(2,1),且λa+b=0(λ∈R),则|λ|=________.
解析:
∵λa+b=0,即λa=-b,∴|λ||a|=|b|.
∵|a|=1,|b|=
,∴|λ|=
.
答案:
14.已知向量
⊥
,|
|=3,则
·
=________.
解析:
∵
⊥
,∴
·
=0,
即
·(
-
)=0,
∴
·
=
=9.
答案:
9
15.(2017·兰州模拟)已知m∈R,向量a=(m,1),b=(2,-6),且a⊥b,则|a-b|=________.
解析:
∵a⊥b,∴a·b=2m-6=0,m=3,∴a-b=(1,7),∴|a-b|=
=5
.
答案:
5
16.(2017·合肥质检)已知等边△ABC的边长为2,若
=3
,
=
,则
·
=________.
解析:
如图所示,
·
=(
-
)·(
+
)=
·
=
·
=
-
=
×4-
×4=-2.
答案:
-2
B组——12+4高考提速练
一、选择题
1.已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量
同方向的单位向量为( )
A.
B.
C.
D.
解析:
∵A(1,3),B(4,-1),
∴
=(3,-4),又∵|
|=5,
∴与
同向的单位向量为
=
.故选A.
答案:
A
2.若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量a+b与a-b的夹角为( )
A.
B.
C.
D.
解析:
由|a+b|=|a-b|可知a⊥b,设
=b,
=a,作矩形ABCD,可知
=a+b,
=a-b,设AC与BD的交点为O,结合题意可知OA=OD=AD,∴∠AOD=
,∴∠DOC=
,又向量a+b与a-b的夹角为
与
的夹角,故所求夹角为
,选D.
答案:
D
3.A,B,C是圆O上不同的三点,线段CO与线段AB交于点D,若
=λ
+μ
(λ∈R,μ∈R),则λ+μ的取值范围是( )
A.(0,1)B.(1,+∞)
C.(1,
]D.(-1,0)
解析:
由题意可得
=k
=kλ
+kμ
(0<k<1),又A,D,B三点共线,所以kλ+kμ=1,则λ+μ=
>1,即λ+μ的取值范围是(1,+∞),选项B正确.
答案:
B
4.已知向量a=(1,
),b=(3,m),若向量a,b的夹角为
,则实数m=( )
A.2
B.
C.0D.-
解析:
∵a=(1,
),b=(3,m),
∴|a|=2,|b|=
,a·b=3+
m,
又a,b的夹角为
,
∴
=cos
,即
=
,
∴
+m=
,解得m=
.
答案:
B
5.设向量a=(1,cosθ)与b=(-1,2cosθ)垂直,则cos2θ等于( )
A.
B.
C.0D.-1
解析:
∵a⊥b,∴1×(-1)+cosθ·2cosθ=0,
即2cos2θ-1=0.
∴cos2θ=2cos2θ-1=0,故选C.
答案:
C
6.已知向量a是与单位向量b夹角为60°的任意向量,则对任意的正实数t,|ta-b|的最小值是( )
A.0B.
C.
D.1
解析:
∵a·b=|a||b|cos60°=
|a|,
∴|ta-b|=
=
,
设x=t|a|,x>0,
∴|ta-b|=
=
≥
=
.
故|ta-b|的最小值为
,选C.
答案:
C
7.已知平面向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),若|a|=2,|b|=3,a·b=-6,则
的值为( )
A.
B.-
C.
D.-
解析:
由已知得向量a=(x1,y1)与b=(x2,y2)反向,则3a+2b=0,即3(x1,y1)+2(x2,y2)=(0,0),解得x1=-
x2,y1=-
y2,故
=-
.
答案:
B
8.△ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,若2
=
+
且|
|=|
|,则向量
在
方向上的投影为( )
A.
B.
C.-
D.-
解析:
由2
=
+
可知O是BC的中点,即BC为△ABC外接圆的直径,所以|
|=|
|=|
|,由题意知|
|=|
|=1,故△OAB为等边三角形,所以∠ABC=60°.所以向量
在
方向上的投影为|
|cos∠ABC=1×cos60°=
.故选A.
答案:
A
9.在平面直角坐标系中,点A与B关于y轴对称.若向量a=(1,k),则满足不等式
2+a·
≤0的点A(x,y)的集合为( )
A.{(x,y)|(x+1)2+y2≤1}
B.{(x,y)|x2+y2≤k2}
C.{(x,y)|(x-1)2+y2≤1}
D.{(x,y)|(x+1)2+y2≤k2}
解析:
由A(x,y)可得B(-x,y),则
=(-2x,0),不等式(
)2+a·
≤0可化为x2+y2-2x≤0,即(x-1)2+y2≤1,故选C.
答案:
C
10.已知△ABC中,|
|=10,
·
=-16,D为边BC的中点,则|
|等于( )
A.6B.5
C.4D.3
解析:
由题知
=
(
+
),∵
·
=-16,∴|
|·|
|cos∠BAC=-16.
在△ABC中,|
|2=|
|2+|
|2-2|
||
|·cos∠BAC,
∴102=|A
|2+|
|2+32,|
|2+|
|2=68,
∴|
|2=
(
2+
2+2
·
)=
(68-32)=9,
∴|
|=3.
答案:
D
11.(2017·广州五校联考)已知Rt△AOB的面积为1,O为直角顶点,设向量a=
,b=
,
=a+2b,则
·
的最大值为( )
A.1B.2
C.3D.4
解析:
如图,设A(m,0),B(0,n),∴mn=2,则a=(1,0),b=(0,1),
=a+2b=(1,2),
=(m-1,-2),
=(-1,n-2),
·
=5-(m+2n)≤5-2
=1,当且仅当m=2n,即m=2,n=1时,等号成立.
答案:
A
12.已知a,b是单位向量,a·b=0.若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的取值范围是( )
A.[
-1,
+1]B.[
-1,
+2]
C.[1,
+1]D.[1,
+2]
解析:
由a,b为单位向量且a·b=0,可设a=(1,0),b=(0,1),又设c=(x,y),代入|c-a-b|=1得(x-1)2+(y-1)2=1,又|c|=
,故由几何性质得
-1≤|c|≤
+1,即
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