江苏省南京市鼓楼区学年九年级上学期期末数学试题含答案解析.docx
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江苏省南京市鼓楼区学年九年级上学期期末数学试题含答案解析
江苏省南京市鼓楼区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题
学校:
___________姓名:
___________班级:
___________考号:
___________
一、单选题
1.平面内,⊙O的半径为3,若点P在⊙O外,则OP的长可能为( )
A.4B.3C.2D.1
2.一元二次方程
的根的情况是( )
A.没有实数根B.有一个实数根
C.有两个不相等的实数根D.有两个相等的实数根
3.下列实际问题中的y与x之间的函数表达式是二次函数的是( )
A.正方体集装箱的体积ym3,棱长xm
B.高为14m的圆柱形储油罐的体积ym3,底面圆半径xm
C.妈妈买烤鸭花费86元,烤鸭的重量y斤,单价为x元/斤
D.小莉驾车以108km/h的速度从南京出发到上海,行驶xh,距上海ykm
4.如图,D,E分别是
的边AB,AC上的点,
,
,若
的周长为6,则
的周长等于( )
A.24B.18C.12D.9
5.在地球上同一地点,不同质量的物体从同一高度同时下落,如果除地球引力外不考虑其他外力的作用,那么它们的落地时间相同.物体的下落距离h(m)与下落时间t(s)之间的函数表达式为h=
gt2.其中g取值为9.8m/s2.小莉进行自由落体实验,她从某建筑物抛下一个小球,经过4s后落地,则该建筑物的高度约为( )
A.98mB.78.4mC.49mD.36.2m
6.平面直角坐标系内,已知点
,
,
.当
时,若
最大,则t的值为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题
7.已知
,则
_______.
8.点C是线段AB的黄金分割点,
.若
,则
______cm.
9.某汽车厂商经过两次增产,将汽车年产量由4.86万辆提升至6万辆,设平均每次增产的百分率是x,可列方程为______.
10.一个圆锥的底面圆半径是1,母线长是3,沿着一条母线将圆锥侧面剪开并展平,得到一个扇形,则这个扇形的圆心角度数为___°.
11.将二次函数
的图象向左平移1个单位,再向上平移1个单位,得到的新图象函数的表达式为______.
12.有3个样本如下图所示,关于它们的离散程度有下列几种说法:
①样本1与样本3的离散程度相同;②样本2的离散程度最小;③三组数据的离散程度从小到大依次为:
样本2、样本3、样本1.正确的序号为________________.
13.如图,AB是⊙O的直径,弦
于点E,若
,
,则OA长为______.
14.分别以等边
的三个顶点为圆心,边长为半径画弧得到的曲边三角形叫莱洛三角形.如图,等边
的边长为2cm,则图中阴影部分的面积为______
.
15.如图,夜晚路灯下,小莉在D处测得自己影长DE=4m,在点G处测得自己影长DG=3m.E、D、G、B在同一条自线上,已知小莉身高为1.6m,则灯杆AB的高度为__________m.
16.
中,
,
,点I是
的内心,点O是
的外心,则
______.
三、解答题
17.解下列一元二次方程.
(1)x2=-3x;
(2)x2-4
x+8=0
18.已知二次函数y=x2-(m+2)x+2m(m为常数).
(1)求证:
不论m取何值,该二次函数的图象与x轴总有公共点;
(2)若m=0,当x 时,y随x的增大而减小.
19.如图,
表示一个窗户的高,
和
表示射入室内的光线,窗户的下端到地面的距离
.已知某一时刻
在地面的影长
,
在地面的影长
,求窗户的高度.
20.近日,“复旦学霸图书馆”新闻引发网友热议,其中,“风雨无阻爱学习”的潘同学一年时间图书馆打卡301次,更是成为众多学子膜拜的对象.某大学图书馆为了更好服务学子,对某周来馆人数进行统计,统计数据如下(单位:
人):
时间
周一
周二
周三
周四
周五
周六
周日
人数
650
550
710
420
650
2320
3100
(1)该周到馆人数的平均数为______人,众数为______人,中位数为______人;
(2)周一至周五到馆人数相差不多,用这五天的数据估算该周的平均数合适吗?
为什么?
(3)选择合适的数据,估算该校一个月的到馆人数(一个月按30天计).
21.“三孩”政策实施后,甲、乙两个家庭有了各自的规划(假定生男生女的概率相同):
(1)甲家庭已有一个男孩和一个女孩,准备再生一个孩子,则第三个孩子是男孩的概率是______;
(2)乙家庭没有孩子,准备生三个孩子,求至少有两个孩子是女孩的概率.
22.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c是常数,a≠0)的两个实数根分别为x1,x2,用两种方法证明:
x1+x2=-
,x1·x2=
.
23.图中是抛物线形拱桥,P处有一照明灯,水面OA宽4m.以O为原点,OA所在直线为x轴建立直角坐标系,若点P的坐标为
.
(1)求拱桥所在抛物线的函数表达式;
(2)因降暴雨水位上升1m,此时水面宽为多少?
(结果保留根号)
24.如图,AB是⊙O的弦,AC是⊙O的切线,
,BC交⊙O于点D,E是
的中点.
(1)求证:
;
(2)判断四边形ACDE的形状,并说明理由.
25.定义:
我们把三边之比为
的三角形叫做奇妙三角形.
(1)初步运用:
如图是
的正方形网格(每个小正方形的边长均为1),请分别在图①、图②中画出顶点在格点上最小、最大的奇妙三角形;所画三角形中最大内角度数为______°.
(2)再思探究:
如图③,点A为坐标原点,点C坐标
,点D坐标
,在坐标平面上取一点
,使得AB平分
,直接写出m的值并说明理由.
26.某商店销售甲、乙两种礼品,每件利润分别为20元、10元,每天卖出件数分别为40件、80件.为适应市场需求,该店决定降低甲种礼品的售价,同时提高乙种礼品的售价.售卖时发现,甲种礼品单价每降1元可多卖4件,乙种礼品单价每提高1元就少卖2件.若每天两种礼品共卖出140件,则每天销售的最大利润是多少?
(1)分析:
设甲种礼品每件降低了x元,填写表格(用含x的式子表示,并化简);
调价后的每件利润
调价后的销售量
甲种礼品
①
乙种礼品
③
②
(2)解答:
27.问题呈现:
探究二次函数
(其中
,m为常数)的图像与一次函数
的图像公共点.
(1)问题可转化为:
二次函数
的图像与一次函数
______的图像的公共点.
(2)问题解决:
在如图平面直角坐标系中画出
的图像.
(3)请结合
(2)中图像,就m的取值范围讨论两个图像公共点的个数.
(4)问题拓展:
若二次函数
(其中
,m为常数)的图像与一次函数
的图像有两个公共点,则m的取值范围为______.
参考答案:
1.A
【解析】
【分析】
根据点与圆的位置关系得出OP>3即可.
【详解】
解:
∵⊙O的半径为3,点P在⊙O外,
∴OP>3,
故选:
A.
【点睛】
本题考查点与圆的位置关系,解答的关键是熟知点与圆的位置关系:
设平面内的点与圆心的距离为d,圆的半径为r,则点在圆外
d>r,点在圆上
d=r,点在圆内
d<r.
2.D
【解析】
【分析】
整理后得出
,求出△
,再根据根的判别式的内容得出答案即可.
【详解】
解:
,
整理,得
,
△
,
方程有两个相等的实数根,
故选:
D.
【点睛】
本题考查了根的判别式,解题的关键是能熟记根的判别式的内容.
3.B
【解析】
【分析】
根据二次函数的定义逐项判断即可.
【详解】
解:
A.正方体集装箱的体积ym3,棱长xm,则y=x3,故不是二次函数;
B.高为14m的圆柱形储油罐的体积ym3,底面圆半径xm,则y=14πx2,故是二次函数;
C.妈妈买烤鸭花费86元,烤鸭的重量y斤,单价为x元/斤,则
,故不是二次函数;
D.小莉驾车以108km/h的速度从南京出发到上海,行驶xh,距上海ykm,则y=南京与上海之间的距离-108x,故不是二次函数.
故选:
B.
【点睛】
本题考查二次函数的定义,解答本题的关键是明确题意,写出相应的函数解析式,利用二次函数的定义去判断.
4.B
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定定理可得
,利用其性质,相似三角形的周长比等于相似比即可得出.
【详解】
解:
∵
,
∴
,
∵
,
∴
,
∵
,
∴
,
故选:
B.
【点睛】
题目主要考查相似三角形的判定和性质,熟练掌握运用相似三角形的性质是解题关键.
5.B
【解析】
【分析】
把t=4代入h=
gt2可得答案.
【详解】
解:
把t=4代入h=
gt2得,
故选:
B.
【点睛】
本题考查二次函数的实际应用,根据题意把t=4代入是解题关键
6.C
【解析】
【分析】
过A、B作与y轴相切的圆,设圆心为M,切点为C,连接AC、BC,取C1为y轴上相异于C的一点,连接C1A、C1B,设C1B交圆于D,利用圆周角定理和三角形外角性质可证得∠ACB最大,过M作MN⊥AB于N,根据垂径定理证得AN=BN=
AB,可证明四边形MNOC为矩形,则有MA=MC=ON,t=MN,利用勾股定理求解MN即可解答.
【详解】
解:
过A、B作与y轴相切的圆,设圆心为M,切点为C,连接AC、BC,取C1为y轴上相异于C的一点,连接C1A、C1B,设C1B交圆于D,如图,
则∠ADB=∠ACB,
∵∠ADB是△ADC1的外角,
∴∠ADB>∠AC1B,
∴∠ACB>∠AC1B,即∠ACB就是所求的最大角,
过M作MN⊥AB于N,连接MC、MA,则MA=MC,AN=BN=
AB,MC⊥y轴,
∴四边形MNOC为矩形,
∴MC=ON,OC=MN,
∵
,
,
,t>0,
∴AB=4,OC=t,OA=1,
∴AN=
AB=2,
∴MC=ON=OA+AN=3,
在Rt△AMN中,MA=MC=3,
由勾股定理得:
,
∴OC=MN=
,即t=
,
故选:
C.
【点睛】
本题考查切线性质、圆周角定理、三角形外角性质、矩形的判定与性质、垂径定理、坐标与图形、勾股定理,熟练掌握相关知识的联系与运用,得出过A、B、C三点的圆与y轴相切时∠ACB最大是解答的关键.
7.
.
【解析】
【分析】
由
得到
,然后代入计算,即可得到答案.
【详解】
解:
∵
,
∴
,
∴
;
故答案为:
.
【点睛】
本题考查了求代数式的值,解题的关键是掌握运算法则,正确得到
.
8.
##
【解析】
【分析】
根据黄金分割的定义得到
,把
代入计算即可.
【详解】
解:
点
是线段
的黄金分割点
,
,
而
,
.
故答案为:
.
【点睛】
本题考查了黄金分割的定义,解题的关键是掌握线段上一点把线段分为较长线段和较短,若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项,即较长线段是整个线段的
倍,则这个点叫这条线段的黄金分割点,难度适中.
9.4.86(1+x)2=6
【解析】
【分析】
根据等量关系:
增产前的产量×(1+x)2=增产后的产量列出方程即可.
【详解】
解:
根据题意,得:
4.86(1+x)2=6,
故答案为:
4.86(1+x)2=6.
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用,理解题意,找准等量关系是解答的关键.
10.120
【解析】
【分析】
利用圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到
=2π•1,然后解关于θ的方程即可.
【详解】
解:
设扇形的圆心角为θ°,
根据题意得
=2π•1,
解得θ=120.
故答案为:
120.
【点睛】
本题考查了圆锥的计算:
圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长.
11.
【解析】
【分析】
根据二次函数图象平移规律“左加右减,上加下减”解答即可.
【详解】
解:
将二次函数
的图像向左平移1个单位,再向上平移1个单位,得到的新图像函数的表达式为
,
故答案为:
.
【点睛】
本题考查二次函数的平移,熟练掌握二次函数图象平移规律是解答的关键.
12.②③##③②
【解析】
【分析】
根据离散程度的定义一一判断即可.
【详解】
解:
样本2的离散程度最小;三组数据的离散程度从小到大依次为:
样本2、样本3、样本1.
故②③正确,样本1的离散程度比样本3的离散程度大,故①错误,
故答案为:
②③.
【点睛】
本题考查了样本的离散程度,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.
13.3.4
【解析】
【分析】
连接OC,根据垂径定理可得
,然后设
,则
,在
中,利用勾股定理求解即可得
利用垂径定理,勾股定理解决问题即可.
【详解】
解:
连接OC,
∵
,
,
∴
,
设
,则
,
在
中,
∵
,
∴
,
解得:
,
故答案为:
3.4.
【点睛】
题目主要考查垂径定理及勾股定理的应用,学会利用参数构建方程解决问题是解题关键.
14.
【解析】
【分析】
图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成,其阴影面积
三块扇形的面积相加,再减去三个等边三角形的面积,求出即可.
【详解】
解:
过
作
于
,
是等边三角形,
,
,
,
,
,
的面积为
,
,
阴影部分的面积
,
故答案为:
.
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算,解题的关键是能根据图形得出阴影部分的面积
三块扇形的面积相加、再减去三个等边三角形的面积.
15.6.4
【解析】
【分析】
由题意知
,
,
,有
,
,可得
,求出
的值,然后根据
计算求解即可得到
的值.
【详解】
解:
由题意知
,
,
∴
,
∴
∴
解得
∵
∴
解得
故答案为:
6.4.
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用.解题的关键在于正确的计算求解.
16.14.3
【解析】
【分析】
如图,过点A作
交于点D,由等腰三角形得点I、点O都在直线AD上,连接OB、OC,过点I作
交于点E,设
,
,根据勾股定理求出
,则
,
,由勾股定理求出R的值,证明
由相似三角形的性质得
,求出r的值,即可计算
.
【详解】
如图,过点A作
交于点D,
∵
,
,
∴
是等腰三角形,
∴
,
∵点I是
的内心,点O是
的外心,
∴点I、点O都在直线AD上,
连接OB、OC,过点I作
交于点E,
设
,
,
在
中,
,
∴
,
,
在
中,
,
解得:
,
∵
,
,
∴
,
∴
,即
,
解得:
,
∴
,
∴
.
故答案为:
14.3.
【点睛】
本题考查内切圆与外接圆,等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质,掌握内切圆的圆心为三角形三条角平分线的交点,外接圆圆心为三角形三条垂直平分线的交点是解题的关键.
17.
(1)x1=0,x2=-3;
(2)x1=x2=
.
【解析】
【分析】
(1)先整理成一般式,再将左边利用提公因式法因式分解,继而可得两个关于x的一元一次方程,分别求解即可得出答案;
(2)利用公式法求解即可.
(1)
解:
∵x2=-3x,
∴x2+3x=0,
∴x(x+3)=0,
∴x=0或x+3=0.
∴x1=0,x2=-3;
(2)
(2)∵a=1,b=-4
,c=8,
∴Δ=b2-4ac=
0,
∴x=
,
∴x1=x2=
.
【点睛】
本题主要考查了解一元二次方程,熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:
直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法,结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.
18.
(1)见解析
(2)<1
【解析】
【分析】
(1)令y=0得到关于x的二元一次方程,然后证明Δ=b2-4ac≥0即可;
(2)根据二次函数的性质作答.
(1)
证明:
当y=0时,x2-(m+2)x+2m=0.
∵b2-4ac=
-8m=(m-2)2≥0,
∴方程总有两个实数根,
∴该二次函数的图象与x轴总有公共点;
(2)
解:
若m=0,y=x2-2x=(x-1)2-1,
所以该抛物线的顶点坐标是(1,-1),
由于a=1>0,
所以当x<1时,y随x的增大而减小.
故答案是:
<1.
【点睛】
本题主要考查的是抛物线与x轴的交点、二次函数的性质,将函数问题转化为方程问题是解答问题
(1)的关键,掌握二次函数的性质是解答问题
(2)的关键.
19.
【解析】
【分析】
阳光可认为是一束平行光,由光的直线传播特性可知透过窗户后的光线
与
仍然平行,由此可得出一对相似三角形,由相似三角形性质可进一步求出
的长,即窗户的高度.
【详解】
解:
,
,
,
即
,解得
,
,
即窗户的高度为:
.
【点睛】
本题考查相似三角形性质的应用,解题的关键是找出相似的三角形,然后根据对应边成比例,建立适当的数学模型来解决问题.
20.
(1)1200,650,650;
(2)不合适,理由见解析;
(3)36000人
【解析】
【分析】
(1)根据平均数、众数、中位数的求法解答即可;
(2)根据表格中的数据解答即可;
(3)可利用平均数求解即可.
(1)
解:
平均数为(650+550+710+420+650+2320+3100)÷7=1200(人),
众数为650人,
将七个数据从小到大顺序排列:
420,550,650,650,710,2320,3100,则中位数为650人,
故答案为:
1200,650,650;
(2)
解:
周一至周五到馆人数相差不多,用这五天的数据估算该周的平均数不合适,因为该图书馆周六、周日到馆人数明显高于其他五天的人数,所以去掉周六、周天到馆人数对平均数影响较大,故用这前五天的数据估算该周的平均数不合适;
(3)
解:
用该周到馆人数的平均数1200人估算该校一个月的到馆人数,
则该校一个月的到馆人数为1200×30=36000人.
【点睛】
本题考查平均数、中位数、众数、用样本估计总体,理解平均数、中位数、众数的特点,并会求解是解答的关键.
21.
(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)直接利用概率公式求解;
(2)画树状图展示所有8种等可能的结果数,再找出至少有一个孩子是女孩的结果数,然后根据概率公式求解.
(1)
解:
第三个孩子是男孩的概率
;
故答案为
;
(2)
解:
画树状图为:
共有8种等可能的结果数,其中至少有两个孩子是女孩的结果数为4,
所以至少有一个孩子是女孩的概率
.
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法,解题的关键是利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果
,再从中选出符合事件
或
的结果数目
,然后利用概率公式计算事件
或事件
的概率.
22.见解析
【解析】
【分析】
证法一:
利用求根公式表示出方程的两个根,进而求出两根之和与两根之积,即可即可得证.
证法二:
方程为a(x-x1)(x-x2)=0,再去括号,比较相同次数的项的系数从而得出结论.
【详解】
解:
证法一:
由求根公式可得:
x1=
,x2=
,
∴ x1+x2=
=
=-
.
x1·x2=
·
=
=
=
.
证法二:
设方程为a(x-x1)(x-x2)=0,
展开得ax2-a(x1+x2)x+ax1x2=0,
∵ax2+bx+c=0,
∴-a(x1+x2)=b,ax1x2=c.
∵a≠0,
∴x1+x2=-
,x1·x2=
.
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系的推导过程,掌握求根公式是解题的关键.
23.
(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)利用待定系数法求解可得;
(2)在所求函数解析式中求出
时
的值即可得.
(1)
解:
设抛物线的解析式为
,
将点
、
代入,得:
,
解得:
,
所以抛物线的解析式为
;
(2)
当
时,
,即
,
解得:
,
则水面的宽为
.
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用,解题的关键是将实际问题转化为二次函数的问题求解,并熟练掌握待定系数法求函数解析式.
24.
(1)见解析;
(2)四边形ACDE是平行四边形,理由见解析
【解析】
【分析】
(1)根据等腰三角形的性质和圆周角定理即可证得结论;
(2)根据切线性质和圆周角定理、等角的余角相等证得∠F=∠C=∠CAD,,再根据三角形的外角性质和等弧所对的圆周角相等证得∠C=∠BDE,根据平行线的判定证明AC∥DE,AE∥CD,进而可证明四边形ACDE是平行四边形.
(1)
证明:
∵AB=AC,
∴∠C=∠B,
∵∠B=∠E,
∴∠C=∠E;
(2)
解:
四边形ACDE是平行四边形,
理由:
如图,连接AO并延长,交⊙O于F,连接AD、DF,
则∠ADF=90°,即∠F+∠DAF=90°,
∵AC是⊙O的切线,
∴∠CAF=90°,即∠CAD+∠DAF=90°,
∴∠F=∠CAD,
∵∠F=∠E,∠C=∠E,
∴∠F=∠C,
∴∠C=∠CAD,
∴∠ADB=∠C+∠CAD=2∠C,
∵E是
的中点,
∴
,
∴∠ADE=∠BDE,
∴∠ADB=2∠BDE,
∴∠C=∠BDE,
∴AC∥DE,
∵∠C=∠E,∠C=∠BDE,
∴∠E=∠BDE,
∴AE∥CD,
∴四边形ACDE是平行四边形.
【点睛】
本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、切线性质、等角的余角相等、三角形的外角性质、平行线的判定、平行四边形的判定,熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键.
25.
(1)见解析,
(2)
,理由见解析
【解析】
【分析】
(1)直接利用网格结合勾股定理得出符合题意的图形;直接利用相似三角形的判定与性质得出尾翼三角形的最大角;
(2)
,利用网格结合勾股定理求出
和
各边的长.证明
,直接利用相似三角形的性质即可得出结论.
(1)
解:
解:
(1)如图所示:
由网格可得:
,
,
,
,
的三边比为
,
,
,
,
,
的三边比为
,
,
,
.
故答案为:
135;
(2)
解:
,
理由:
连接
、
,
由网格可得:
,
,
,
,
的三边比为
,
由网格可得:
,
,
,
,
的三边比为
,
,
,
平分
.
【点睛】
此题是三角形综合题,主要考查了应用设计与作图,相似三角形的判定与性质,勾股定理,解题的关键是正确借助网格分析.
26.
(1)①
,②
,③
(2)每天获得的最大利润为
元.
【解析】
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- 江苏省 南京市 鼓楼 学年 九年级 学期 期末 数学试题 答案 解析