史上最全椭圆二级结论大全.docx
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史上最全椭圆二级结论大全
专题118—史上最全椭圆二级结论大全
1.PF1
PF2
2a
x2
y2
1
3.
PF1
e
1
2.标准方程
2
b2
d1
a
4.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.
5.PT平分△PF1F2在点P处的外角,则焦点在直线
PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,
除去长轴
的两个端点.
6.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离
.
7.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内
切.
8.设A1、A2为椭圆的左、右顶点,则△
PF1F2在边PF2(或PF1)上的旁切圆,必与
A1A2所在的直线切于
A2(或A1).
9.椭圆
x2
y2
1(a>b>0)的两个顶点为
A1(
a,0),A2(a,0),与y轴平行的直线交椭圆于
P1、P2时A1P1
2
2
a
b
2
y2
与A2P2交点的轨迹方程是
x
1.
a
2
b2
10.若P0(x0,y0)在椭圆
x2
y2
1上,则过
x0x
y0y
1.
a2
b2
P0的椭圆的切线方程是
b2
a2
11.若P0(x0,y0)
在椭圆
x2
y2
1外,则过Po作椭圆的两条切线切点为
P1、P2,则切点弦P1P2的直线方
a2
b2
程是x0x
y0y
1.
a2
b2
x2
y2
b2
12.AB是椭圆
1的不平行于对称轴的弦,
M为AB的中点,则kOM
kAB
a
2
b
2
a
2.
13.若P0(x0,y0)在椭圆
x2
y2
1内,则被Po所平分的中点弦的方程是
x0xy0yx02
y02
a
2
b
2
a
2
b
2
a
2
b
2.
14.若P0(x0,y0)
在椭圆
x2
y2
1内,则过
Po的弦中点的轨迹方程是
x2
y2
x0xy0y
a
2
b
2
a
2
b
2
a
2
2.
b
15.若PQ是椭圆
x2
y2
1(a>b>0)上对中心张直角的弦,
1
1
1
1
|OQ|).
a
2
b
2
则2
2
a
2
b
2(r1|OP|,r2
r1
r2
16.若椭圆
x2
y2
1(a>b>0)上中心张直角的弦L
所在直线方程为
Ax
By
1(AB
0),则
(1)
a2
b2
11
2
2
;
(2)
L
2a4A2
b4B2
.
a2b2
A
B
a2A2
b2B2
a2
b2
22
22
22
22
22
(
2
17.给定椭圆C1:
bx
a
yab
(a>b>0),C2:
bx
ay
2
2
ab)
则(i)对C1上任意给
2
2
2
a
2
b
定的点P(x0,y0),它的任一直角弦必须经过C2
上一定点M(a2
b
2x0,
a2
b
2y0).
上任一点P'(x0
',y0
')在C1上存在唯一的点
a
b
a
b
(ii)对C2
M',使得M'的任一直角弦都经过
P'点.
18.设P(x0,y0)为椭圆(或圆)C:
x2
y2
1(a>0,.b>0)上一点,P1P2为曲线C的动弦,且弦PP1,PP2斜
a
2
2
b
精品文库
k1,k2,则直线P1P2通过定点M(mx0,
my0)(m
1)
的充要条件是k1
1
m
b2
率存在,记为
k2
m
a
2.
1
x2
y2
1(a>0,b>0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于
B,C两点,
19.过椭圆
2
b2
a
则直线BC有定向且kBC
b2x0(常数).
a2y0
x2
y2
1(a>b>0)的左右焦点分别为
F1,F2,点P为椭圆上任意一点
F1PF2
20.椭圆2
2
,则椭圆的
a
b
焦点三角形的面积为
SF1PF2
b2tan,P(
a
c2
b2tan2
b2
tan
).
2
c
2
c
2
x2
21.若P为椭圆a2
则actantan
ac
2
x2
y2
22.椭圆
2
b2
a
y
2
1(a>b>0)上异于长轴端点的任一点
F1,F2是焦点,
PF1F2
PF2F1,
b2
2
.
1(a>b>0)的焦半径公式:
|MF1|a
ex0,|MF2|a
ex0(F1
(
c,0)
F2(c,0),
M(x0,y0)).
x2
y2
1(a>b>0)的左、右焦点分别为
F1、F2,左准线为L,则当
23.若椭圆
b2
a2
2
1e1时,可在椭圆上求一点
P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
x
2
y2
1(a>b>0)上任一点,F1,F2为二焦点,A为椭圆内一定点,则
24.P为椭圆
2
b2
a
2a
|AF2||PA|
|PF1|2a|AF2|,当且仅当A,F2,P三点共线时,等号成立.
x2
y2
2
(a2
b2)2
25.椭圆a2
b2
1(a>b>0)上存在两点关于直线l:
yk(xx0)对称的充要条件是x0
a2
b2k2.
26.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
27.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
x
acos
(a>b>0)上一点,则点
P对椭圆两焦点张直角的充要条件是
2
1
28.P是椭圆
y
bsin
e
1sin2
.
x2
y2
x
2
y2
29.设A,B为椭圆a2
b2
k(k0,k
1)上两点,其直线AB与椭圆a
2
b2
1相交于P,Q,则AP
BQ.
30
.在椭圆
x2
y
2
1
中,定长为
2m(o<m≤a)的弦中点轨迹方程为
a2
b
2
2
1
x2
y2
2
2
22
其中tan
bx
0
时,
90.
m
(
2
2)
acos
bsin
当y
a
b
ay
31.设S为椭圆
x2
y2
1(a>b>0)的通径,定长线段L的两端点A,B在椭圆上移动,记|AB|=l,M(x0,y0)
a2
b2
是AB
中点,则当l
a2
l
2
2
2
c
S时,有
S时,有(x0)max
(c
a
b,e
);当l
a
c
2e
a
(x0)max
4b2
l2
(x0)min
0.
2b
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32.椭圆
x2
y2
1与直线Ax
By
C0有公共点的充要条件是
2
a
2
22
C
2
a2
b2
A
Bb
.
2
(yy0)2
33.椭圆
(xx0)
0有公共点的充要条件是
a2
b2
1与直线AxByC
A2a2Bb2
(2Ax0
By0
C)
.
x2
y
2
1(a>b>0)的两个焦点为
F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点,在△
PF1F2
34.设椭圆
2
b2
a
sin
c
中,记
F1PF2
PF1F2
F1F2P
,则有
e.
sin
sin
a
35.经过椭圆b2x2
a2y2
a2b2(a>b>0)的长轴的两端点
A1和A2的切线,与椭圆上任一点的切线相交
于P1和P2,则|P1A1||P2A2|b2.
36.已知椭圆
x2
y2
1(a>b>0),O
为坐标原点,
P、Q
为椭圆上两动点,且
OP
OQ.
(1)
a2
b2
4a2b2
a2b2
1
1
1
1
2
2
2.
2
2
a
2
b
2
;
(2)|OP|+|OQ|
的最小值为
a
2
b
2;(3)SOPQ的最小值是
a
2
b
|OP||OQ|
37.MN是经过椭圆b2x2
a2y2
a2b2
(a>b>0)焦点的任一弦,若AB是经过椭圆中心
O且平行于MN
的弦,则|AB|2
2a|MN|
.
38.MN是经过椭圆b2x2
a2y2
a2b2
(a>b>0)焦点的任一弦,若过椭圆中心
O的半弦OP
MN,则
2
1
1
1
a|MN|
|OP|
2
a
2
b
2.
x2
y2
1(a>b>0),M(m,o)
或(o,
m)为其对称轴上除中心,顶点外的任一点,过
M引一条
39.设椭圆
2
b2
a
a2
直线与椭圆相交于
P、Q两点,则直线A1
2
Q(A
1,2为对称轴上的两顶点
)的交点N在直线l:
x
P、A
A
(或
m
y
b2
)上.
m
40.设过椭圆焦点
F作直线与椭圆相交
P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结
AP和AQ分别交相应
于焦点F的椭圆准线于
M、N两点,则MF⊥NF.
41.过椭圆一个焦点
F的直线与椭圆交于两点
P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点,
A1P和A2Q交于点M,
A2P和A1Q交于点
N,则MF⊥NF.
x2
y2
l:
y
'
42.设椭圆方程a2
b2
1,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线
kx的共轭直线ykx上,而且
2
kk'
b2.
a
x2
y2
1上四点,AB、CD所在直线的倾斜角分别为
,直线AB与CD相
43.设A、B、C、D为椭圆
b2
a2
b2cos2
a2sin2
交于P,且P不在椭圆上,则
PA
PB
.
PC
PD
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