椭圆典型题型归纳总结.docx
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椭圆典型题型归纳总结.docx
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椭圆典型题型归纳总结
椭圆典型题型归纳
题型一.定义及其应用
例1:
已知一个动圆与圆
相内切,且过点
,求这个动圆圆心M的轨迹方程;
练习:
1.方程
对应的图形是()
A.直线B.线段C.椭圆D.圆
2.方程
对应的图形是()
A.直线B.线段C.椭圆D.圆
3.方程
成立的充要条件是()
A.
B.
C.
D.
4.如果方程
表示椭圆,则
的取值范围是
5.过椭圆
的一个焦点
的直线与椭圆相交于
两点,则
两点与椭圆的另一个焦点
构成的
的周长等于;
6.设圆
的圆心为
,
是圆内一定点,
为圆周上任意一点,线段
的垂直平分线与
的连线交于点
,则点
的轨迹方程为;
题型二.椭圆的方程
(一)由方程研究曲线
例1.方程
的曲线是到定点和的距离之和等于的点的轨迹
(二)分情况求椭圆的方程
例2.已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的3倍,并且过点
,求椭圆的方程;
(三)用待定系数法求方程
例3.已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点
、
,求椭圆的方程;
例4.求经过点
且与椭圆
有共同焦点的椭圆方程;
(四)定义法求轨迹方程;
例5.在
中,
所对的三边分别为
,且
,求满足
且
成等差数列时顶点
的轨迹;
练习:
1、动圆P与圆
内切与圆
外切,求动圆圆心的P的轨迹方程。
2、已知动圆C过点A
,且与圆
相内切,则动圆圆心的轨迹方程为;
(五)相关点法求轨迹方程;
例6.已知
轴上一定点
,
为椭圆
上任一点,求
的中点
的轨迹方程;
(六)直接法求轨迹方程;
例7.设动直线
垂直于
轴,且与椭圆
交于
两点,点
是直线
上满足
的点,求点
的轨迹方程;
(七)列方程组求方程
例8.中心在原点,一焦点为
的椭圆被直线
截得的弦的中点的横坐标为
,求此椭圆的方程;
题型三.焦点三角形问题
椭圆中的焦点三角形:
通常结合定义、正弦定理、余弦定理、勾股定理来解决;
椭圆
上一点
和焦点
,
为顶点的
中,
,则当
为短轴端点时
最大,且
①
;
②
;
③
=
。
(
短轴长)
例:
知椭圆
上一点
的纵坐标为
,椭圆的上下两个焦点分别为
、
,求
、
及
;
练习:
1、椭圆
的焦点为
、
,点
在椭圆上,若
,则
;
的大小为;
2、
是椭圆
上的一点,
和
为左右焦点,若
。
(1)求
的面积;
(2)求点
的坐标。
题型四.椭圆的几何性质
例1.已知
是椭圆
上的点,的纵坐标为
,
、
分别为椭圆的两个焦点,椭圆的半焦距为
,则
的最大值与最小值之差为
例2.椭圆
的四个顶点为
,若四边形
的内切圆恰好过焦点,则椭圆的离心率为;
例3.若椭圆
的离心率为
,则
;
例4.若
为椭圆
上一点,
、
为其两个焦点,且
,
,则椭圆的离心率为
题型五.求范围
例1.方程
焦点在
轴的椭圆,求实数
的取值范围;
题型六.求离心率
例1.椭圆
的左焦点为
,
,
是两个顶点,如果
到直线
的距离为
,则椭圆的离心率
例2.若
为椭圆
上一点,
、
为其两个焦点,且
,
,则椭圆的离心率为
例3.
、
为椭圆的两个焦点,过
的直线交椭圆于
两点,
,且
,则椭圆的离心率为;
练习
1、(2010南京二模)以椭圆
的右焦点为圆心的圆经过原点
,且与该椭圆的右准线交于
、
两点,已知
是正三角形,则该椭圆的离心率是;
2、已知
分别为椭圆
的右顶点、上顶点、和左焦点,若
,则该椭圆的离心率为;
3、(2012年新课标)设
是椭圆
的左、右焦点,
为直线
上一点,
是底角为
的等腰三角形,则
的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
4、椭圆
(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为______
题型七.直线与椭圆的关系
(1)直线与椭圆的位置关系
例1.当
为何值时,直线
与椭圆
相切、相交、相离?
例2.曲线
(
)与连结
,
的线段没有公共点,求
的取值范围。
例3.过点
作直线
与椭圆
相交于
两点,
为坐标原点,求
面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。
例4.求直线
和椭圆
有公共点时,
的取值范围
(二)弦长问题
例1.已知椭圆
,
是
轴正方向上的一定点,若过点
,斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为
,求点
的坐标。
例2.椭圆
与直线
相交于
两点,
是
的中点,
若
,
为坐标原点,
的斜率为
,求
的值。
例3.椭圆
的焦点分别是
和
,过中心
作直线与椭圆交于
两点,若
的面积是20,求直线方程。
(三)弦所在直线方程
例1.已知椭圆
,过点
能否作直线
与椭圆相交所成弦的中点恰好是
;
例2.已知一直线与椭圆
相交于
两点,弦
的中点坐标为
,求直线
的方程;
例3.椭圆
中心在原点
,焦点在
轴上,其离心率
过点
的直线
与椭圆
相交于
两点,且C分有向线段
的比为2.
(1)用直线
的斜率
表示
的面积;
(2)当
的面积最大时,求椭圆E的方程.
(四)关于直线对称问题
例1.已知椭圆
,试确定
的取值范围,使得椭圆上有两个不同的点关于直线
对称;
例2.已知中心在原点,焦点在
轴上,长轴长等于6,离心率
,试问是否存在直线
,使
与椭圆交于不同两点
,且线段
恰被直线
平分?
若存在,求出直线
倾斜角的取值范围;若不存在,请说明理由。
题型八.最值问题
例1.若
,
为椭圆
的右焦点,点M在椭圆上移动,求
的最大值和最小值。
结论1:
设椭圆
的左右焦点分别为
为椭圆内一点,
为椭圆上任意一点,则
的最大值为
最小值为
;
例2.
为椭圆
的右焦点,点M在椭圆上移动,求
的最大值和最小值。
结论2设椭圆
的左右焦点分别为
,
为椭圆外一点,
为椭圆上任意一点,则
的最大值为
,最小值为
;
2.二次函数法
例3.求定点
到椭圆
上的点之间的最短距离。
结论3:
椭圆
上的点
到定点A(m,0)或B(0,n)距离的最值问题,可以用两点间距离公式表示︱MA︱或︱MB︱,通过动点在椭圆上消去y或x,转化为二次函数求最值,注意自变量的取值范围。
3.三角函数法
例4.求椭圆
上的点
到直线
的距离的最值;
4.判别式法
例4的解决还可以用判别式法
结论5:
椭圆上的点到定直线l距离的最值问题,可转化为与l平行的直线m与椭圆相切的问题,利用判别式求出直线m方程,再利用平行线间的距离公式求出最值。
题型九.轨迹问题
例1.到两定点
,
的距离之和为定值5的点的轨迹是
例2.已知点
,点
在圆
的上半圆周上(即y>0),∠AOP的平分线交
于Q,求点Q的轨迹方程。
例3.已知圆
及点
,
是圆C上任一点,线段
的垂直平分线l与PC相交于Q点,求Q点的轨迹方程。
椭圆典型题型归纳
题型一.定义及其应用
椭圆定义:
平面内一动点到两定点
,
的距离和等于常数
(大于
=
)点的集合叫椭圆;即
注:
当
时轨迹为椭圆;当
时轨迹为线段
;当
时无轨迹。
例1:
已知一个动圆与圆
相内切,且过点
,求这个动圆圆心
的轨迹方程;
练习:
1.方程
对应的图形是()
A.直线B.线段C.椭圆D.圆
2.方程
对应的图形是()
A.直线B.线段C.椭圆D.圆
3.方程
成立的充要条件是()
A.
B.
C.
D.
4.如果方程
表示椭圆,则
的取值范围是
5.过椭圆
的一个焦点
的直线与椭圆相交于
两点,则
两点与椭圆的另一个焦点
构成的
的周长等于;
6.设圆
的圆心为
,
是圆内一定点,
为圆周上任意一点,线段
的垂直平分线与
的连线交于点
,则点
的轨迹方程为;
题型二.椭圆的方程
(一)由方程研究曲线
例1.方程
的曲线是到定点和的距离之和等于的点的轨迹;
(二)分情况求椭圆的方程
例2.已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的3倍,并且过点
,求椭圆的方程;
(三)用待定系数法求方程
例3.已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点
、
,求椭圆的方程;
例4.求经过点
且与椭圆
有共同焦点的椭圆方程;
注:
一般地,与椭圆
共焦点的椭圆可设其方程为
;
(四)定义法求轨迹方程;
例5.在
中,
所对的三边分别为
,且
,求满足
且
成等差数列时顶点
的轨迹;
练习1、动圆P与圆
内切与圆
外切,求动圆圆心的P的轨迹方程。
练习2、已知动圆C过点A
,且与圆
相内切,则动圆圆心的轨迹方程为;
(五)相关点法求轨迹方程;
例6.已知
轴上一定点
,
为椭圆
上任一点,求
的中点
的轨迹方程;
(六)直接法求轨迹方程;
例7.设动直线
垂直于
轴,且与椭圆
交于
两点,点
是直线
上满足
的点,求点
的轨迹方程;
(七)列方程组求方程
例8.中心在原点,一焦点为
的椭圆被直线
截得的弦的中点的横坐标为
,求此椭圆的方程;
题型三.焦点三角形问题
椭圆中的焦点三角形:
通常结合定义、正弦定理、余弦定理、勾股定理来解决;
椭圆
上一点
和焦点
,
为顶点的
中,
,则当
为短轴端点时
最大,且
①
;
②
;
③
=
。
(
短轴长)
例:
知椭圆
上一点
的纵坐标为
,椭圆的上下两个焦点分别为
、
,求
、
及
;
练习:
1、(2009北京)椭圆
的焦点为
、
,点
在椭圆上,若
,则
;
的大小为;
2、
是椭圆
上的一点,
和
是焦点,若
,则
的面积等于()
3、
是椭圆
上的一点,
和
为左右焦点,若
。
(1)求
的面积;
(2)求点
的坐标。
题型四.椭圆的几何性质
例1.已知
是椭圆
上的点,的纵坐标为
,
、
分别为椭圆的两个焦点,椭圆的半焦距为
,则
的最大值与最小值之差为
例2.椭圆
的四个顶点为
,若四边形
的内切圆恰好过焦点,则椭圆的离心率为;
例3.若椭圆
的离心率为
,则
;
例4.若
为椭圆
上一点,
、
为其两个焦点,且
,
,则椭圆的离心率为
题型五.求范围
例1.方程
焦点在
轴的椭圆,求实数
的取值范围;
题型六.求离心率
例1.椭圆
的左焦点为
,
,
是两个顶点,如果
到直线
的距离为
,则椭圆的离心率
例2.若
为椭圆
上一点,
、
为其两个焦点,
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