离散数学结构 第十二章 环与域.docx
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离散数学结构第十二章环与域
第十二章环与域
12.1环的定义与性质
一、环的定义
1.环的定义
定义12.1设
如果满足以下条件:
(1)
(2)
(3)·运算关于+运算适合分配律,
则称
为了区别环中的两个运算,通常称+运算为环中的加法,·运算为环中的乘法。
2.环的实例
例12.1
(1)整数集、有理数集、实数集和复数集关于普通的加法和乘法构成环,分别称为整数环Z,有理数Q,实数环R和复数环C.
(2)n(n≥2)阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵的加法和乘法构成环,称为n阶实矩阵环。
(3)集合的幂集P(B)关于集合的对称差运算和交运算构成环。
(4)设Zn={0,1,...,n-1},
和
分别表示模n的加法和乘法,则 >构成环,称为模n的整数环。 二.环的运算性质 为了今后叙述上的方便,将环中加法的单位元记作0,乘法的单位元记作1(对于某些环中的乘法不存在单位元)。 对任何环中的元素x,称x的加法逆元为负元,记作-x.若x存在乘法逆元的话,则将它称为逆元,记作x-1.类似地,针对环中的加法,用x-y表示x+(-y),nx表示 即x的n次加法幂,并且用-xy表示xy的负元。 定理12.1设 (1) a∈R, a0=0a=0 (2) a,b∈R,(-a)b=a(-b)=-ab (3) a,b,c∈R, a(b-c)=ab-ac,(b-c)a=ba-ca (4) a1,a2,...,an,b1,b2,...,bm∈R(n,m≥2) 证只证 (1), (2)和(4).(3)留作练习。 (1) a∈R有 a0=a(0+0)=a0+a0 由环中加法的消去律得a0=0.同理可证0a=0. (2) a,b∈R,有 (-a)b+ab=(-a+a)b=0b=0 ab+(-a)b=(a+(-a))b=0b=0 因此(-a)b是ab的负元.由负元的唯一性可知(-a)b=-ab,同理可证a(-b)=-ab. (4)先证 a1,a2,...,an有 对n进行归纳。 当n=2时,由环中乘法对加法的分配律,等式显然成立。 假设 ,则有 由归纳法命题得证。 同理可证, b1,b2,...,bm有 于是 例12.2在环中计算(a+b)3,(a-b)2 解(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b) =(a2+ba+ab+b2)(a+b) =a3+ba2+aba+b2a+a2b+bab+ab2+b3 (a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ba-ab+b2 三.子环 1.子环的定义 定义12.2设R是环,S是R的非空子集。 若S关于环R的加法和乘法也构成一个环,则称S为R的子环.若S是R的子环,且S R,则称S是R的真子环。 例如整数环Z,有理数环Q都是实数环R的真子环。 {0}和R也是实数环R的子环,称为平凡子环。 2.子环的判定定理 根据子群和子半群的判定定理可以直接得到子环的判定定理。 定理12.2(子环判定定理) 设R是环,S是R的非空子集,若 (1) a,b∈S,a-b∈S (2) a,b∈S,ab∈S 则S是R的子环。 证由 (1)S关于环R中的加法构成群。 由 (2)S关于环R中的乘法构成半群。 显然R中关于加法的交换律以及乘法对加法的分配律在S中也是成立的。 因此S是R的子环。 例12.3 (1)考虑整数环 nk1,nk2∈nZ有 nk1-nk2=n(k1-k2)∈nZ nk1·nk2=n(k1nk2)∈nZ 根据判定定理,nZ是整数环的子环。 (2)考虑模6整数环 >,不难验证{0},{0,3},{0,2,4},Z6是它的子环。 其中{0}和Z6是平凡的,其余的都是非平凡的真子环。 四.环的同态 定义12.3设R1和R2是环。 : R1→R2,若对于任意的x,y∈R1有 (x+y)= (x)+ (y), (xy)= (x) (y) 成立,则称 是环R1到R2的同态映射,简称环同态。 类似于群同态,也可以定义环的单同态,满同态和同构等。 例12.4设R1= >是模n的整数环。 令 : Z→Zn, (x)=(x)modn 则 x,y∈Z有 (x+y)=(x+y)modn=(x)modn (y)modn= (x) (y) (xy)=(xy)modn=(x)modn (y)modn= (x) (y) 所以 是R1到R2的同态,不难看出 是满同态。 主要内容 1. 代数系统 2. 环中运算性质: a0=0a=0;a(-b)=(-a)b=-(ab);乘法对加法的广义分配律。 3. 环R的非空子集S构成R的子环的条件: 任取a,b属于S,有a-b属于S;ab属于S。 5. 环同态映射的定义、判别法及其实例。 学习要求 1. 能判别给定代数系统是环。 2. 了解环的运算性质,能进行环中的运算。 3. 能判别环的子集是子环。 4. 能判别映射 是环R1到R2的同态映射。 1. 在整数环中定义*和◇两个运算, a,b∈Z有a*b=a+b-1,a◇b=a+b-ab。 证明 提示根据定义进行验证,见定义12.1。 答案证明: a,b∈Z有a*b,a◇b∈Z,两个运算封闭。 任取a,b,c (a*b)*c=(a+b-1)*c=(a+b-1)+c-1=a+b+c-2 a*(b*c)=a*(b+c-1)=a+(b+c-1)-1=a+b+c-2 (a◇b)◇c=(a+b-ab)◇c=(a+b-ab)+c-(a+b-ab)c=a+b+c-(ab+ac+bc)+abc a◇(b◇c)=a◇(b+c-bc)=a+(b+c-bc)-a(b+c-bc)=a+b+c-(ab+ac+bc)+abc 两个运算都满足结合律。 a*1=a+1-1=a,1*a=1+a-1=a 1为*运算的单位元。 a*(2-a)=a+(2-a)-1=1,(2-a)*a=(2-a)+a-1=1 2-a为a关于*运算的逆元。 由于*运算满足交换律,所以Z关于*运算构成交换群,关于◇运算构成半群。 a◇(b*c)=a◇(b+c-1)=a+(b+c-1)-a(b+c-1)=2a+b+c-ab-ac-1 (a◇b)*(a◇c)=(a+b-ab)+(a+c-ac)-1=a+b+a+c-ab-ac-1=2a+b+c-ab-ac-1 ◇运算关于*运算满足分配律,从而 2. 设 提示根据环的性质进行计算。 注意乘法没有交换律。 答案 (a+b)2(b-a)=(a2+ab+ba+b2)(b-a)=a2b+ab2+bab+b3-a3-aba-ba2-b2a 3. 设A= A关于矩阵加法和乘法构成环。 证明B= 是A的子环。 给出A到B的一个同态映射f。 提示根据子环判断定理加以证明,见定理12.2。 答案证明: ∈B,B非空。 任取B中元素 易见 根据子环判断定理,B是A的子环。 令f: A→B, 则f是A到B的同态映射。 12.2整环与域 一、整环 1.交换环、含幺环、无零因子环、整环的定义 定义12.4设 (1)若环中乘法·适合交换律,则称R是交换环。 (2)若环中乘法·存在单位元,则称R是含幺环。 (3)若 a,b∈R,ab=0 a=0∨b=0,则称R是无零因子环。 (4)若R既是交换环、含幺环,也是无零因子环,则称R是整环。 2.交换环、含幺环、无零因子环、整环的实例 例12.5 (1)整数环Z,有理数环Q,实数环R,复数环C都是交换环、含幺环、无零因子环和整环。 (2)令2Z={2z|z∈Z},则2Z关于普通的加法和乘法构成交换环和无零因子环。 但不是含幺环和整环,因为1 2Z. (3)设n是大于或等于2的正整数,则n阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵加法和乘法构成环,它是含幺环,但不是交换环和无零因子环,也不是整环。 (4)Z6关于模6加法和乘法构成环,它是交换环,含幺环,但不是无零因子环和整环。 因为2 3=0,但2和3都不是0.称2为Z6中的左零因子,3为右零因子。 类似地,又有3 2=0,所以3也是左零因子,2也是右零因子,它们都是零因子。 一般说来,对于模n整数环Zn.若n不是素数,则存在正整数s,t(s,t≥2),使得st=n.这样就得到s t=0,s,t是Zn中的零因子,因此Zn不是整环。 反之,若Zn不是整环,则Zn一定不是无零因子环。 这就意味着存在a,b∈Zn,使得a b=0,但a≠0且b≠0.根据模n乘法定义得n整除ab,从而推出n不是素数。 若不然必有n整除a或n整除b,与a≠0且b≠0矛盾.通过上面的分析可以得到下面的结论: Zn是整环当且仅当n是素数。 下面的定理给出了一个环是无零因子环的充分必要条件。 定理12.3设R是环,R是无零因子环当且仅当R中的乘法适合消去律。 即 a,b,c∈R,a≠0,有 ab=ac b=c 和ba=ca b=c 证充分性。 任取a,b∈R,ab=0且a≠0.则由 ab=0=a0和消去律得b=0.这就证明了R是无零因子环。 必要性。 任取a,b,c∈R,a≠0,由ab=ac得a(b-c)=0,由于R是无零因子环,a≠0,必有b-c=0,即b=c.这就证明了左消去律成立。 同理可证右消去律也成立。 例12.6设R1,R2是环, 不难验证R1×R2关于+和·运算构成一个环,称为环R1和R2的直积,记作R1×R2. 可以证明,若R1和R2是交换环和含幺环,则R1×R2也是交换环和含幺环。 但是,若R1和R2是无零因子环,那么R1×R2不一定是无零因子环。 例如Z3和Z2是无零因子环,因为消去律在Z3和Z2中都是成立的。 但是Z3×Z2就不是无零因子环。 若不然,由 <2,0>·<0,1>=<0,0>=<2,0>·<0,0> 和<2,0>≠<0,0>,根据消去律就可得到<0,1>=<0,0>。 显然这是不对的。 因此我们可以说整环的直积不一定是整环。 二.域的定义与实例 定义12.5设R是整环,且R中至少含有两个元素。 若 a∈R*=R-{0},都有a-1∈R,则称R是域。 例如有理数集Q,实数集R,复数集C关于普通的加法和乘法都构成域,分别称为有理数域,实数域和复数域。 但整数环只能构成整环Z,而不是域,因为并不是对于任意的非零整数z∈Z都有 ∈Z。 对于模n的整数环Zn,若n是素数,可以证明Zn是域。 例12.7设p为素数,证明Zp是域。 证 p为素数,p≥2,所以|Zp|≥2. 易见Zp关于模p乘法可交换,单位元是1,且对于任意的i,j∈Zp,i≠0有 i j=0 p整除ij p|j j=0 所以Zp中无零因子,Zp为整环。 Zp关于乘法 构成有限半群,且Zp关于 适合消去律。 下面证明每个非零元素都有逆元。 任取i∈Zp,i≠0,令 i Zp={i j|j∈Zp} 则i Zp=Zp,否则必存在j,k∈Zp,使得 i j=i k, 由消去律得j=k.这是矛盾的。 由于1∈Zp.这就推出,存在i'∈Zp,使得i i'=1.由于 运算的交换性可知i'就是i的逆元。 从而证明了Zp是域。 类似于子环,也可以定义子整环和子域。 请读者试给出相关的定义。 主要内容 1. 根据环中乘法的性质定义交换环(交换律)、含幺环(单位元)、无零因子环(消去律)、整环(交换、含幺、消去律)。 2. 整环构成域的条件: 元素数大于1,每个非零元素有逆元。 3. 环的直积仍旧是环,交换(含幺)环的直积仍是交换(含幺)环,无零因子环(整环、域)的直积不一定是无零因子环(整环、域)。 学习要求 1. 能判断给定的环是交换环、含幺环、无零因子环与整环。 2. 能判断给定的环是域。 1. 判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域,如果不构成,说明理由。 (1)A={a+bi|a,b∈Q},其中i2=-1,运算为复数加法和乘法。 窗体顶部 构成环 整环 构成域 不构成环 窗体底部 (2)A={2z+1|z∈Z},运算为实数加法和乘法。 窗体顶部 构成环 整环 构成域 不构成环 窗体底部 (3)A={2z|z∈Z},运算为实数加法和乘法。 窗体顶部 构成环 整环 构成域 不构成环 窗体底部 (4)A={x|x≥0∧x∈Z},运算为实数加法和乘法。 窗体顶部 构成环 整环 构成域 不构成环 窗体底部 (5)A={a+b |a,b∈Q},运算为实数加法和乘法。 窗体顶部 构成环 整环 构成域 不构成环 窗体底部 提示参看定义12.4,例12.5,例12.6,定义12.5,例12.7。 答案 (1)是环,是整环,也是域。 (2)不是环,因为关于加法不封闭。 (3)是环,不是整环和域,因为乘法没有么元。 (4)不是环,因为正整数关于加法的负元不存在,因此A关于加法不构成群。 (5)不是环,因为关于乘法不封闭。 2. 设R1和R2是整环,说明它们的直积是否为整环,为什么? 是整环 不是整环 不一定 提示考虑直积中是否满足交换律,是否含么元,是否为无零因子环。 答案不一定是整环。 因为对于直积中的乘法可能有 其中a和b不是0。
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