全等三角形证明经典题含答案上课讲义.docx
- 文档编号:4162114
- 上传时间:2022-11-28
- 格式:DOCX
- 页数:11
- 大小:123.43KB
全等三角形证明经典题含答案上课讲义.docx
《全等三角形证明经典题含答案上课讲义.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《全等三角形证明经典题含答案上课讲义.docx(11页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
全等三角形证明经典题含答案上课讲义
全等三角形证明经典题(含答案)
全等三角形证明经典题(含答案)
1.
已知:
AB=4,AC=2,D是BC中点,111749AD是整数,求AD
解:
延长AD到E,使AD=DE∵D是BC中点∴BD=DC在△ACD和△BDE中
AD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC∴△ACD≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE中AB-BE<AE<AB+BE∵AB=4即4-2<2AD<4+21<AD<3∴AD=2
2.已知:
D是AB中点,∠ACB=90°,求证:
延长CD与P,使D为CP中点。
连接AP,BP
∵DP=DC,DA=DB∴ACBP为平行四边形又∠ACB=90∴平行四边形ACBP为矩形
∴AB=CP=1/2AB
3.已知:
BC=DE,∠B=∠E,∠C=∠D,F是CD中点,求证:
∠1=∠2
4.
5.证明:
连接BF和EF
∵BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF∴三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)∴BF=EF,∠CBF=∠DEF连接BE在三角形BEF中,BF=EF∴∠EBF=∠BEF。
∵∠ABC=∠AED。
∴∠ABE=∠AEB。
∴AB=AE。
在三角形ABF和三角形AEF中
AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF∴三角形ABF和三角形AEF全等。
∴∠BAF=∠EAF(∠1=∠2)。
6.已知:
∠1=∠2,CD=DE,EF//AB,求证:
EF=AC
过C作CG∥EF交AD的延长线于点GCG∥EF,可得,∠EFD=CGD
DE=DC∠FDE=∠GDC(对顶角)∴△EFD≌△CGD
EF=CG∠CGD=∠EFD又EF∥AB∴∠EFD=∠1∠1=∠2
∴∠CGD=∠2∴△AGC为等腰三角形,AC=CG又EF=CG∴EF=AC
7.已知:
AD平分∠BAC,AC=AB+BD,求证:
∠B=2∠C
A
证明:
延长AB取点E,使AE=AC,连接DE
∵AD平分∠BAC∴∠EAD=∠CAD∵AE=AC,AD=AD∴△AED≌△ACD(SAS)
∴∠E=∠C∵AC=AB+BD∴AE=AB+BD∵AE=AB+BE∴BD=BE∴∠BDE=∠E
∵∠ABC=∠E+∠BDE∴∠ABC=2∠E∴∠ABC=2∠C
8.已知:
AC平分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°,求证:
AE=AD+BE
证明:
在AE上取F,使EF=EB,连接CF
∵CE⊥AB∴∠CEB=∠CEF=90°
∵EB=EF,CE=CE,∴△CEB≌△CEF
∴∠B=∠CFE∵∠B+∠D=180°,∠CFE+∠CFA=180°
∴∠D=∠CFA∵AC平分∠BAD∴∠DAC=∠FAC
∵AC=AC∴△ADC≌△AFC(SAS)
∴AD=AF
∴AE=AF+FE=AD+BE
9.如图,四边形ABCD中,AB∥DC,BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD,且点E在AD上。
求证:
BC=AB+DC。
在BC上截取BF=AB,连接EF
∵BE平分∠ABC∴∠ABE=∠FBE又∵BE=BE∴⊿ABE≌⊿FBE(SAS)
∴∠A=∠BFE∵AB//CD∴∠A+∠D=180º∵∠BFE+∠CFE=180º
∴∠D=∠CFE又∵∠DCE=∠FCECE平分∠BCDCE=CE
∴⊿DCE≌⊿FCE(AAS)∴CD=CF
∴BC=BF+CF=AB+CD
10.已知:
AB//ED,∠EAB=∠BDE,AF=CD,EF=BC,求证:
∠F=∠C
AB‖ED,得:
∠EAB+∠AED=∠BDE+∠ABD=180度,
∵∠EAB=∠BDE,
∴∠AED=∠ABD,
∴四边形ABDE是平行四边形。
∴得:
AE=BD,
∵AF=CD,EF=BC,
∴三角形AEF全等于三角形DBC,
∴∠F=∠C。
11.已知:
AB=CD,∠A=∠D,求证:
∠B=∠C
A
B
C
D
证明:
设线段AB,CD所在的直线交于E,(当AD
则:
△AED是等腰三角形。
∴AE=DE而AB=CD
∴BE=CE(等量加等量,或等量减等量)
∴△BEC是等腰三角形∴∠B=∠C.
12.P是∠BAC平分线AD上一点,AC>AB,求证:
PC-PB P D A C B 在AC上取点E,使AE=AB。 ∵AE=ABAP=AP∠EAP=∠BAE,∴△EAP≌△BAP ∴PE=PB。 PC<EC+PE∴PC<(AC-AE)+PB∴PC-PB<AC-AB。 13.已知∠ABC=3∠C,∠1=∠2,BE⊥AE,求证: AC-AB=2BE 证明: 在AC上取一点D,使得角DBC=角C ∵∠ABC=3∠C∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=3∠C-∠C=2∠C; ∵∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C;∴AB=AD ∴AC–AB=AC-AD=CD=BD在等腰三角形ABD中,AE是角BAD的角平分线, ∴AE垂直BD∵BE⊥AE∴点E一定在直线BD上,在等腰三角形ABD中,AB=AD,AE垂直BD∴点E也是BD的中点∴BD=2BE∵BD=CD=AC-AB∴AC-AB=2BE 14.已知,E是AB中点,AF=BD,BD=5,AC=7,求DC ∵作AG∥BD交DE延长线于G∴AGE全等BDE∴AG=BD=5∴AGF∽CDF AF=AG=5∴DC=CF=2 15. 如图,在△ABC中,BD=DC,∠1=∠2,求证: AD⊥BC. 16.解: 延长AD至BC于点E, 17.∵BD=DC∴△BDC是等腰三角形 18.∴∠DBC=∠DCB又∵∠1=∠2∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2 19.即∠ABC=∠ACB∴△ABC是等腰三角形∴AB=AC 在△ABD和△ACD中AB=AC∠1=∠2BD=DC ∴△ABD和△ACD是全等三角形(边角边) ∴∠BAD=∠CAD∴AE是△ABC的中垂线 ∴AE⊥BC∴AD⊥BC 20.如图,OM平分∠POQ,MA⊥OP,MB⊥OQ,A、B为垂足,AB交OM于点N. 求证: ∠OAB=∠OBA 证明: ∵OM平分∠POQ∴∠POM=∠QOM∵MA⊥OP,MB⊥OQ ∴∠MAO=∠MBO=90 ∵OM=OM∴△AOM≌△BOM(AAS)∴OA=OB∵ON=ON ∴△AON≌△BON(SAS)∴∠OAB=∠OBA,∠ONA=∠ONB ∵∠ONA+∠ONB=180∴∠ONA=∠ONB=90∴OM⊥AB 21.(5分)如图,已知AD∥BC,∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E,CE的连线交AP于D.求证: AD+BC=AB. 做BE的延长线,与AP相交于F点,∵PA//BC ∴∠PAB+∠CBA=180°,又∵,AE,BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°,EAB为直角三角形 在三角形ABF中,AE⊥BF,且AE为∠FAB的角平分线 ∴三角形FAB为等腰三角形,AB=AF,BE=EF 在三角形DEF与三角形BEC中, ∠EBC=∠DFE,且BE=EF,∠DEF=∠CEB, ∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形,∴DF=BC ∴AB=AF=AD+DF=AD+BC 22.如图: DF=CE,AD=BC,∠D=∠C。 求证: △AED≌△BFC。 证明: ∵DF=CE,∴DF-EF=CE-EF,即DE=CF,在△AED和△BFC中,∵AD=BC,∠D=∠C,DE=CF∴△AED≌△BFC(SAS) 23.如图: AE、BC交于点M,F点在AM上,BE∥CF,BE=CF。 求证: AM是△ABC的中线。 证明: ∵BE‖CF∴∠E=∠CFM,∠EBM=∠FCM∵BE=CF∴△BEM≌△CFM∴BM=CM ∴AM是△ABC的中线. 24.(10分)如图: 在△ABC中,BA=BC,D是AC的中点。 求证: BD⊥AC。 ∵△ABD和△BCD的三条边都相等∴△ABD=△BCD∴∠ADB=∠CD∴∠ADB=∠CDB=90° ∴BD⊥AC 25.(10分)AB=AC,DB=DC,F是AD的延长线上的一点。 求证: BF=CF 在△ABD与△ACD中AB=ACBD=DCAD=AD△ABD≌△ACD∴∠ADB=∠ADC∴∠BDF=∠FDC 在△BDF与△FDC中BD=DC∠BDF=∠FDCDF=DF∴△FBD≌△FCD∴BF=FC 26.(12分)如图: AB=CD,AE=DF,CE=FB。 求证: AF=DE。 ∵AB=DCAE=DF,CE=FBCE+EF=EF+FB∴△ABE=△CDF∵∠DCB=∠ABFAB=DCBF=CE△ABF=△CDE∴AF=DE 27.公园里有一条“Z”字形道路ABCD,如图所示,其中AB∥CD,在AB,CD,BC三段路旁各有一只小石凳E,F,M,且BE=CF,M在BC的中点,试说明三只石凳E,F,M恰好在一条直线上. 证明: 连接EF∵AB∥CD∴∠B=∠C∵M是BC中点∴BM=CM在△BEM和△CFM中BE=CF∠B=∠CBM=CM∴△BEM≌△CFM(SAS)∴CF=BE 28.已知: 点A、F、E、C在同一条直线上,AF=CE,BE∥DF,BE=DF.求证: △ABE≌△CDF. ∵AF=CE,FE=EF.∴AE=CF.∵DF//BE,∴∠AEB=∠CFD(两直线平行,内错角相等) ∵BE=DF∴: △ABE≌△CDF(SAS) 29.已知: 如图所示,AB=AD,BC=DC,E、F分别是DC、BC的中点,求证: AE=AF。 连接BD;∵AB=ADBC=D∴∠ADB=∠ABD∠CDB=∠ABD;两角相加,∠ADC=∠ABC; ∵BC=DCE\F是中点∴DE=BF;∵AB=ADDE=BF∠ADC=∠ABC∴AE=AF。 30.如图,在四边形ABCD中,E是AC上的一点,∠1=∠2,∠3=∠4,求证: ∠5=∠6. 证明: 在△ADC,△ABC中∵AC=AC,∠BAC=∠DAC,∠BCA=∠DCA ∴△ADC≌△ABC(两角加一边)∵AB=AD,BC=CD 在△DEC与△BEC中∠BCA=∠DCA,CE=CE,BC=CD ∴△DEC≌△BEC(两边夹一角)∴∠DEC=∠BEC 31.已知AB∥DE,BC∥EF,D,C在AF上,且AD=CF,求证: △ABC≌△DEF. ∵AD=DF∴AC=DF∵AB//DE∴∠A=∠EDF又∵BC//EF∴∠F=∠BCA ∴△ABC≌△DEF(ASA) 32.已知: 如图,AB=AC,BD⊥AC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,BD、CE相交于点F,求证: BE=CD. 证明: ∵BD⊥AC∴∠BDC=90°∵CE⊥AB∴∠BEC=90°∴∠BDC=∠BEC=90° ∵AB=AC∴∠DCB=∠EBC∴BC=BC∴Rt△BDC≌Rt△BEC(AAS)∴BE=CD 33.如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F。 求证: DE=DF. 证明: ∵AD是∠BAC的平分线∴∠EAD=∠FAD∵DE⊥AB,DF⊥AC ∴∠BFD=∠CFD=90°∴∠AED与∠AFD=90°在△AED与△AFD中 ∠EAD=∠FADAD=AD∠AED=∠AFD ∴△AED≌△AFD(AAS)∴AE=AF在△AEO与△AFO中 ∠EAO=∠FAOAO=AOAE=AF∴△AEO≌△AFO(SAS) ∴∠AOE=∠AOF=90°∴AD⊥EF 34.已知: 如图,AC BC于C,DE AC于E,AD AB于A,BC=AE.若AB=5,求AD的长? ∵AD⊥AB∴∠BAC=∠ADE又∵AC⊥BC于C,DE⊥AC于E 根据三角形角度之和等于180度∴∠ABC=∠DAE∵BC=AE,△ABC≌△DAE(ASA) ∴AD=AB=5 35.如图所示,已知AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC。 求证: (1)EC=BF; (2)EC⊥BF (1)∵AE⊥AB,AF⊥AC,∴∠BAE=∠CAF=90°,∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC,即∠EAC=∠BAF,在△ABF和△AEC中,∵AE=AB,∠EAC=∠BAF,AF=AC,∴△ABF≌△AEC(SAS),∴EC=BF; (2)如图,根据 (1),△ABF≌△AEC,∴∠AEC=∠ABF,∵AE⊥AB,∴∠BAE=90°,∴∠AEC+∠ADE=90°,∵∠ADE=∠BDM(对顶角相等),∴∠ABF+∠BDM=90°,在△BDM中,∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°,∴EC⊥BF. 36.如图: BE⊥AC,CF⊥AB,BM=AC,CN=AB。 求证: (1)AM=AN; (2)AM⊥AN。 证明: (1)∵BE⊥AC,CF⊥AB∴∠ABM+∠BAC=90°,∠ACN+∠BAC=90°∴∠ABM=∠ACN∵BM=AC,CN=AB∴△ABM≌△NAC∴AM=AN (2)∵△ABM≌△NAC ∴∠BAM=∠N ∵∠N+∠BAN=90° ∴∠BAM+∠BAN=90° 即∠MAN=90° ∴AM⊥AN
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 全等 三角形 证明 经典 答案 上课 讲义