第十九章 一 次 函 数.docx
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第十九章一次函数
第十九章一次函数
1.确定函数自变量取值范围的方法
(1)若函数式是整式,则取全体实数.
(2)若函数式有分母,则取值不能使分母为零.
(3)若函数式中有二次根式,则取值使二次根式有意义.
(4)若函数式有多种情况,则取它们的公共部分.
(5)在实际问题中,取值要符合实际意义.
【例1】函数y=
中,自变量x的取值范围是 .
【标准解答】自变量需满足:
解得x≥-2且x≠3.
答案:
x≥-2且x≠3
【例2】下列函数中,自变量x的取值范围为x<1的是( )
A.y=
B.y=1-
C.y=
D.y=
【标准解答】选D.A项x的取值范围为x≠1,B项x的取值范围为x≠0,C项x的取值范围为x≤1,D项x的取值范围为x<1.
1.函数y=
中的自变量x的取值范围是( )
A.x≥0B.x≠-1
C.x>0D.x≥0且x≠-1
2.函数y=
+
的自变量x的取值范围是( )
A.-4≤x<2B.x>2
C.x≠2D.x≥-4且x≠2
2.确定正比例函数解析式的方法
确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数解析式中的常数k.其基本步骤是:
(1)设出含有待定系数的函数解析式y=kx(k≠0).
(2)把已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式得到关于系数k的一元一次方程.
(3)解方程,求出待定系数k.
(4)将k的值代回解析式得到正比例函数解析式.
【例1】根据条件:
y与x成正比,且当x=4时,y=16确定函数解析式.
【标准解答】因为y与x成正比,
所以设解析式为y=kx.
把x=4,y=16代入y=kx中得:
16=k×4,
解之得k=4,所以函数解析式为y=4x.
【例2】已知正比例函数y=kx的图象经过点(3,-6).
(1)求这个函数的解析式.
(2)在如图所示的直角坐标系中画出这个函数图象.
(3)判断点A(4,-2),点B(-1.5,3)是否在这个函数的图象上.
【标准解答】
(1)把点(3,-6)代入正比例函数y=kx,得-6=3k,解得k=-2,则函数解析式为y=-2x.
(2)经过点(0,0),(1,-2)画出图象如下:
(3)∵正比例函数的解析式为y=-2x,
∴当x=4时,y=-8,
当x=-1.5时,y=3,
∴点A(4,-2)不在这个函数的图象上,点B(-1.5,3)在这个函数的图象上.
1.已知y与x成正比例,且x=-2时y=4.
(1)求y与x之间的函数解析式.
(2)设点(a,-2)在这个函数的图象上,求a.
2.已知y-2与x成正比例,且x=2时,y=-6.求:
(1)y与x的函数解析式.
(2)当y=14时,x的值.
3.确定一次函数解析式的方法
确定一次函数,需要确定一次函数y=kx+b中的常数k和b.
具体步骤:
(1)设出含有待定系数的解析式.
(2)把已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式,得到关于待定系数的方程(组).
(3)解方程(组)求出待定系数.
(4)将求出的待定系数的值代入所设的解析式.
【例】已知一次函数y=ax+b的图象经过点A(2,0)与B(0,4).
(1)求一次函数的解析式,并在直角坐标系内画出这个函数的图象.
(2)当x≥0时,请直接写出y的取值范围.
【标准解答】
(1)根据题意得
解得
所以一次函数解析式为y=-2x+4,画出图象如图.
(2)当x≥0时,y≤4.
已知y-3与4x-2成正比例,且当x=1时,y=5.
(1)求y与x的函数解析式.
(2)求当x=-2时的函数值.
4.一次函数的应用
(1)借助一次函数的图象,获取相关信息进行解题,分析图象时应着重把握以下几点:
①弄清横、纵坐标所表示的实际意义.
②明确自变量与函数值的取值范围.
③了解图象上某些点(图象与坐标轴的交点、图象上已经表明的点等)的坐标的具体意义.
【例1】水龙头关闭不严会造成滴水,容器内盛水量w(L)与滴水时间t(h)的关系用可以显示水量的容器做如图1的试验,并根据试验数据绘制出如图2的函数图象,结合图象解答下列问题.
(1)容器内原有水多少升?
(2)求w与t之间的函数解析式,并计算在这种滴水状态下一天的滴水量是多少升?
【标准解答】
(1)根据图象可知,t=0时,w=0.3,即容器内原有水0.3升.
(2)设w与t之间的函数解析式为w=kt+b,将(0,0.3),(1.5,0.9)代入,
得
解得
故w与t之间的函数解析式为w=0.4t+0.3.
由解析式可得,每小时滴水量为0.4L,一天的滴水量为:
0.4×24=9.6L,即在这种滴水状态下一天的滴水量是9.6L.
(2)应用数学建模的思想解决实际问题
根据实际情景构造一次函数模型,再借助一次函数图象或性质解决简单的实际问题涉及最多的类型——方案设计问题.
【例2】随着信息技术的快速发展,“互联网+”渗透到我们日常生活的各个领域,网上在线学习交流已不再是梦,现有某教学网站策划了A,B两种上网学习的月收费方式:
收费方式
月使用
费/元
包时上网
时间/h
超时费
/(元/min)
A
7
25
0.01
B
m
n
0.01
设每月上网学习时间为x小时,方案A,B的收费金额分别为yA,yB.
(1)如图是yB与x之间函数关系的图象,请根据图象填空:
m= ;n=
(2)写出yA与x之间的函数关系式.
(3)选择哪种方式上网学习合算,为什么?
【标准解答】
(1)由图象知:
m=10,n=50.
(2)yA与x之间的函数解析式为:
当x≤25时,yA=7,
当x>25时,yA=7+(x-25)×0.6,
∴yA=0.6x-8,
∴yA=
(3)∵yB与x之间函数关系为:
当x≤50时,yB=10,
当x>50时,yB=10+(x-50)×60×0.01=0.6x-20,
当0 ∴yA 当25 即0.6x-8=10,解得: x=30, ∴当25 当x=30时,yA=yB,选择哪种方式上网学习都行, 当30 当x>50时,∵yA=0.6x-8,yB=0.6x-20,yA>yB,∴选择B方式上网学习合算. 综上所述: 当0 当x=30时,yA=yB,选择哪种方式上网学习都行; 当x>30时,yA>yB,选择B方式上网学习合算. 1.甲、乙两车从A地出发沿同一路线驶向B地,甲车先出发匀速驶向B地.40分钟后,乙车出发,匀速行驶一段时间后,在途中的货站装货耗时半小时,由于满载货物,为了行驶安全,速度减少了50千米/时,结果与甲车同时到达B地.甲乙两车距A地的路程y(千米)与乙车行驶时间x(小时)之间的函数图象如图所示.请结合图象信息解答下列问题: (1)直接写出a的值,并求甲车的速度. (2)求图中线段EF所表示的y与x的函数解析式,并直接写出自变量x的取值范围. (3)乙车出发多少小时与甲车相距15千米? 写出答案. 2.(2016·深圳中考)荔枝是深圳特色水果,小明的妈妈先购买了2千克桂味和 3千克糯米糍,共花费90元;后又购买了1千克桂味和2千克糯米味,共花费 55元.(每次两种荔枝的售价都不变) (1)求桂味和糯米味的售价分别是每千克多少元. (2)如果还需购买两种荔枝共12千克,要求糯米味的数量不少于桂味数量的两倍,请设计一种购买方案,使所需总费用最低. 答案解析: 1.确定函数自变量取值范围的方法 【跟踪训练】 1.【解析】选A.代数式 有意义的条件: 分子中被开方数是非负数,分母不等于零,∴当x≥0时,分母x+1≠0,∴x的取值范围是x≥0. 2.【解析】选D.根据题意,若分式 有意义,可得x-2≠0,解得x≠2; 若二次根式 有意义,则x+4≥0,解得x≥-4.所以x≥-4且x≠2. 2.确定正比例函数解析式的方法 【跟踪训练】 1.【解析】 (1)∵y与x成正比例,∴设y=kx, ∵当x=-2时,y=4,∴4=-2k,k=-2, ∴y与x的函数解析式为y=-2x. (2)∵点(a,-2)在这个函数的图象上, ∴-2a=-2,∴a=1. 2.【解析】 (1)设y-2=kx(k≠0),则-6-2=2k,∴k=-4,∴y与x的函数解析式是y=-4x+2. (2)当y=14时,14=-4x+2, 解得x=-3. 3.确定一次函数解析式的方法 【跟踪训练】 【解析】设y-3=k(4x-2)(k≠0), 把x=1,y=5代入,得5-3=k(4×1-2), 解得k=1, 则y与x之间的函数解析式是y=4x+1. (2)由 (1)知,y=4x+1. 当x=-2时,y=4×(-2)+1=-7. 即当x=-2时的函数值是-7. 4.一次函数的应用 【跟踪训练】 1.【解析】 (1)a=4.5, 甲车的速度= =60(千米/时). (2)设乙车开始的速度为v千米/时, 则4v+2.5(v-50)=460, 解得v=90(千米/时), 4v=360,则D(4,360),E(4.5,360), 设直线EF的解析式为y=kx+b, 把E(4.5,360),F(7,460)代入得 解得 所以线段EF所表示的y与x的函数解析式为y=40x+180(4.5≤x≤7); (3)60× =40,则C(0,40) 设直线CF的解析式为y=mx+n, 把C(0,40),F(7,460)代入得 解得 所以直线CF的解析式为y=60x+40, 易得直线OD的解析式为y=90x(0≤x≤4),当60x+40-90x=15时,解得x= ; 当90x-(60x+40)=15时,解得x= ; 当40x+180-(60x+40)=15时,解得x= . 所以乙车出发 小时或 小时或 小时时,乙车与甲车相距15千米. 2.【解析】 (1)设桂味售价为每千克x元,糯米味售价为每千克y元, 则 解得 答: 桂味售价为每千克15元,糯米味售价为每千克20元. (2)设购买桂味t千克,总费用为W元,则购买糯米味(12-t)千克, ∴12-t≥2t,∴t≤4, W=15t+20(12-t)=-5t+240. ∵k=-5<0,∴W随t的增大而减小, ∴当t=4时,Wmin=220. 答: 购买桂味4千克,糯米味8千克时,总费用最少.
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