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农作物施肥效果分析
农作物施肥效果分析
第十三组
李焕
张艳华
侯慧慧
农作物施肥效果分析
摘要
由农作物生长的原理和长期的实践经验可知,氮、磷、钾三种肥料对农作物的生长起到至关重要的作用,其施肥量会影响作物最后的产量,且这三种肥料缺一不可。
究竟肥料的施肥量与产量有怎样的关系?
本次实验以土豆和生菜这两种作物为例,研究氮、磷、钾三种肥料的施肥效果。
首先,根据实验数据描出施肥量与产量坐标关系的散点图,建立模型:
,在MATLAB中拟合曲线,求出系数,从而得到
N对土豆的效应方程为:
P对土豆的效应方程为:
K对土豆的效应方程为:
N对生菜的效应方程为:
P对生菜的效应方程为:
K对生菜的效应方程为:
将多项式回归模型转化为多元线性回归模型进行检验,效果显著,从而模型成立。
然后,利用已经建立的施肥量与产量关系的模型,固定其中两种肥料的施肥量在第七个水平,建立收益与第三种肥料施肥量关系的模型,如:
设土豆每公顷磷肥的施肥量为
时的最大利润为
(元),有
当
=
时获得的利润最大,最大利润为:
(元)。
最后通过计算比较,得到土豆的最佳施肥方案为:
氮肥
,磷肥
,钾肥
;生菜的最佳施肥方案为:
氮肥
,磷肥
,钾肥
。
这些数据可以对农民的种植起到一定的指导作用。
关键词:
一元曲线回归模型、回归方程的显著性检验
一、问题的重述
某研究所为了研究N,P,K三种肥料对土豆和生菜的作用,分别对每种作物进行了三组实验,实验中将每种肥料的施用量分为10个水平,在考察其中一种肥料的施用量与产量关系时,总是将另两种肥料固定在第7个水平上,实验数据如下列表格所示,其中ha表示公顷,t表示吨,kg表示千克,试建立反映施肥量与产量关系的模型,并从应用价值和如何改进等方面作出评价。
土豆
N
P
K
施肥量(kg/ha)
产量(t/ha)
施肥量(kg/ha)
产量(t/ha)
施肥量(kg/ha)
产量(t/ha)
0
15.18
0
33.46
0
18.98
34
21.36
24
32.47
47
27.35
67
25.72
49
36.06
93
34.86
101
32.29
73
37.96
140
38.52
135
34.03
98
41.04
186
38.44
202
39.45
147
40.09
279
37.73
259
43.15
196
41.26
372
38.43
336
43.46
245
42.17
465
43.87
404
40.83
294
40.36
558
42.77
471
30.75
342
42.73
651
46.22
生菜
N
P
K
施肥量(kg/ha)
产量(t/ha)
施肥量(kg/ha)
产量(t/ha)
施肥量(kg/ha)
产量(t/ha)
0
11.02
0
6.39
0
15.75
28
12.70
49
9.48
47
16.76
56
14.56
98
12.46
93
16.89
84
16.27
147
14.33
140
16.24
112
17.75
196
17.10
186
17.56
168
22.59
294
21.94
279
19.20
224
21.63
391
22.64
372
17.97
280
19.34
489
21.34
465
15.84
336
16.12
587
22.07
558
20.11
392
14.11
685
24.53
651
19.40
二、假设与符号说明
基本假设
1.土壤中含有自然的N,P,K肥,因此,当其中一种的施肥量为0kg时,土豆和生菜仍然可以生长;
2.实验数据可信度高,可以真实反映施肥量与产量的关系;
3.土豆和生菜长势良好,无遇自然灾害;
4.所有生产出来的土豆和生菜都可以全部售出;
5.种植成本中,除了施肥所需的费用外,农药、浇水等费用为:
土豆7000元/公顷,生菜10000元/公顷;
符号说明
——分别表示土豆的N,P,K肥的施肥量;
——分别表示生菜的N,P,K肥的施肥量;
——分别表示土豆施用N,P,K肥后的产量;
——分别表示生菜施用N,P,K肥后的产量;
——分别表示土豆施用N,P,K肥后的纯收益;
——分别表示生菜施用N,P,K肥后的纯收益;
三、模型的建立
题目要求研究土豆和生菜的施肥量和产量两个变量之间的关系,因此考虑建立回归模型。
首先由实验数据在Excel中分别描绘出各反映这两种蔬菜N,P,K肥的施肥量与产量之间坐标关系的散点图,图形如下所示:
由上述散点图分析可知,这两种蔬菜的施肥量与产量之间存在二次函数关系,设
表示施肥量,
表示产量,建立模型:
四、模型的求解与结果
以求解土豆N肥的施肥量与产量为例,用MATLAB编程,求得结果如下:
>>x=[0,34,67,101,135,202,259,336,404,471];
>>y=[15.18,21.36,25.72,32.29,34.03,39.45,43.15,43.46,40.83,30.75];
>>p=polyfit(x,y,2)
p=
-0.00030.197114.7416
因此,土豆N肥的效应方程为:
再用MATLAB画图,结果如下:
>>x1=0:
20:
480;
>>y1=polyval(p,x1);
>>plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b')
同法可得土豆P肥的方程为:
图形为:
土豆K肥的效应方程为:
图形为:
生菜N肥的效应方程为:
图形为:
生菜P肥的效应方程为:
图形为:
生菜K的效应方程为:
图形为:
五、模型的检验
模型为多项式:
,
随机变量Y与x之间的相关关系为:
其中,
为随机项,且
.对自变量x作变换:
由此得到
再将原来的多项式回归为题中的10对数据
相应的变换成
,其中
,
,
这样便可以用多元线性回归的方法进行处理
题目中已经给出了变量的n=10次观测值,在这里设数据为
显然这些数据满足
其中
独立同分布,且
记
,
则式
即为
为了得到
的估计,通常的方法是用最小二乘法,即使
关于
的极小化,就是使
达到极小。
由
对
求导并令其为零,得
即
式
称为正规方程。
其中
为
矩阵,一般总假设
,则由式
可得
的最小二乘估计
的数学期望和方差分别为
因此,式
为
的无偏估计,且协方差为
。
可以证明,
是
的一致最小方差线性无偏估计。
先计算回归平方和
然后计算总平方和
最后得到
在实际问题中,我们事先不能断定y与
之间有线性关系,因此对回归方程进行显著性检验。
回归方程的显著性检验
对回归方程的显著性检验,可提出假设
如果
被接受,则表明式
来表示y与自变量
的关系不合适。
则式
设
服从正态分布
。
当
成立时,
相互独立且有相同分布
,因为
与
独立,且
,
所以
式
可作为对式
进行检验的统计量。
对给定数据
,计算得
的值,再由给定的显著性水平
,查分布表,得临界值
。
如果
>
,则认为在显著性水平
下,
对
有显著的线性关系,也即回归方程是显著的,反之,则认为回归方程不显著。
对土豆N肥的检验:
=826.5846
=815.2532
=11.3314
=251.8123
由
=251.8123>
=251.8123>
,知,拒绝
,则回归效果高度显著。
对土豆P肥的检验:
=118.7504,
=102.6572
=16.0932
=22.3262
所以拒绝
,则回归效果高度显著。
对土豆K肥的检验:
=594.0816
=484.4723
=109.6093
=15.47
所以拒绝
,则回归效果高度显著。
对生菜N肥的检验:
=127.0577
=117.517
=9.5407
=43.1110
所以拒绝
,则回归效果高度显著
对生菜P肥的检验:
=353.8078
=339.1524
=14.6553
=80.9969
所以拒绝
,则回归效果高度显著
对生菜K肥的检验:
=21.8102
=9.8462
=11.9639
=2.8805
此回归效果不显著
六、模型的应用与改进
以上,我们建立了氮,磷,钾肥的施肥量与产量之间的关系,利用上述关系我们可以定量的分析计算各种肥料的使用量。
首先,我们根据市场调查,得到氮,磷,钾肥和土豆,生菜的市场价格如下表格所示:
市场价格表(元/千克)
商品
氮
磷
钾
生菜
土豆
价格
3
4
5
2
3
下面的计算以土豆为例:
当其中一种肥料的施肥量发生改变时,另外两种肥料的施肥量都固定在第七个水平上,于是我们有三种方案:
,
,
。
我们只需对上述三种方案计算出最大利润,然后进行比较后就可以得到最佳的施肥方案。
设氮肥每公顷的施肥量为
时的利润时
(元),则由题意得
经过判断可知当
时,
取得极大值,此唯一的极大值即为实际问题的最大值,最大利润为:
(元)
设每公顷磷肥的施肥量为
时的最大利润为
(元),则由题意得
当
=
时获得的利润最大,最大利润为:
(元)。
设每公顷钾肥的施肥量为
时的最大利润为
(元),则由题意得
当
时获得的利润最大,最大利润为:
(元)。
综上所述,土豆的最佳施肥方案为
。
然后用上面的方法计算讨论生菜的最佳施肥方案:
设氮肥每公顷的施肥量为
时的利润时
(元),则由题意得
当
时获益最大,最大利润为:
(元)。
设磷肥每公顷的施肥量为
时的利润时
(元),则由题意得
当
时获益最大,最大利润为:
(元)。
设钾肥每公顷的施肥量为
时的利润时
(元),则由题意得
然而在实际生活中,钾肥的施肥量不可能无限增大,本实验中钾肥施肥量的第十个水平为
,因此我们假设钾肥的施肥量不超过
,此时计算得最大利润为:
(元)。
综上所述,生菜的最佳施肥方案为:
。
根据农作物生长规律,氮、磷、钾3种肥料缺一不可,但又是一个有机的整体,因此,要得到农作物的产量与3种肥料之间的使用量的关系,必须考虑3种肥料间的交互影响的数据,也就是说在设计实验时应当采取正交实验,或均匀设计的方法,利用这样的实验得到的数据建立农作物产量与3种肥料间的多元函数关系,才能比较准确地找到最佳施肥量。
七、参考文献
[1]胡守信,李柏年编著《基于MATLAB的数学实验》科学出版社
[2]朱建青,张国梁编著《数学建模方法》郑州大学出版社
[3]冯杰,黄力伟,王勤,尹成义编著《数学建模原理与案例》科学出版社
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