学年四川省蓉城名校联盟高中高一联考数学文试题解析版.docx
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学年四川省蓉城名校联盟高中高一联考数学文试题解析版
2017-2018学年四川省蓉城名校联盟高中高一4月联考数学(文)试题
一、单选题
1.数列
的通项公式为
,则
的第5项是()
A.13B.
C.
D.15
【答案】B
【解析】分析:
把n=5代入
,即得
的第5项.
详解:
当n=5时,
=-13.故选B.
点睛:
求数列
的某一项,只要把n的值代入数列的通项即得该项.
2.
的值为()
A.
B.
C.
D.1
【答案】A
【解析】分析:
逆用二倍角正弦公式即可得到结果.
详解:
sin75°cos75°=
sin75°cos75°=
.
故选:
A.
点睛:
本题考查了二倍角正弦公式,属于基础题.
3.在
中,
,则
与
的大小关系为()
A.
B.
C.
D.不确定
【答案】C
【解析】分析:
利用正弦定理,化角为边,再由大边对大角可得结果.
详解:
在△ABC中,若sinA>sinB,由正弦定理可得:
a>b,可得A>B.
故选:
C.
点睛:
本题考查了正弦定理的简单应用,属于基础题.
4.在等差数列
中,已知
,则
()
A.38B.39C.41D.42
【答案】D
【解析】分析:
利用等差数列通项公式布列关于基本量
的方程,从而得到所求的结果.
详解:
由
,
可得:
,解得:
∴
.
故选:
D
点睛:
本题重点考查了等差数列通项公式的运用,以及简单的代数运算能力,属于基础题.
5.下列命题中正确的是()
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】分析:
由于本题是考查不等式的性质比较大小,所以一般要逐一研究找到正确答案.
详解:
对于选项A,由于不等式没有减法法则,所以选项A是错误的.
对于选项B,如果c是一个负数,则不等式要改变方向,所以选项B是错误的.
对于选项C,如果c是一个负数,不等式则要改变方向,所以选项C是错误的.
对于选项D,由于此处的
,所以不等式两边同时除以
,不等式的方向不改变,所以选项D是正确的.
故选D.
点睛:
本题主要考查不等式的基本性质,不等式的性质主要有可加性、可乘性、传递性、可乘方性等,大家要理解掌握并灵活运用.
6.如图,将一个边长为1的正三角形的每条边三等分,以中间一段为边向外作正三角形,并擦去中间一段,得图
(2),如此继续下去,得图(3)…,设第
个图形的边长为
,则数列
的通项公式为()
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】分析:
观察得到从第二个图形起,每一个三角形的边长组成了以1为首项,以
为公比的等比数列,根据等比数列的通项写出
即可.
详解:
由题得,从第二个图形起,每一个三角形的边长组成了以1为首项,以
为公比的等比数列,所以第
个图形的边长为
=
.
故选D.
点睛:
本题主要考查了等比数列的判定和等比数列的通项的求法,属于基础题.
7.已知
,则
为()
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】分析:
先求出
的值,再把
变形为
,再利用差角的余弦公式展开化简即得
的值.
详解:
∵
,
∴90°<
<180°,
∴
=-
,
∵c
=
∴c
=-
×
,
故选D.
点睛:
三角恒等变形要注意“三看(看角看名看式)”和“三变(变角变名变式)”,本题主要利用了看角变角,
,把未知的角向已知的角转化,从而完成解题目标.
8.在等比数列
中,
,若
,则
()
A.11B.9C.7D.12
【答案】C
【解析】分析:
先把两式结合起来求出q,再求出等比数列的首项,再代入
,求出k的值.
详解:
由题得
,
∴
∴
,
∵
,
∴
,
∴k-2=5,
∴k=7.
故选C.
点睛:
本题主要考查了等比数列基本量的计算和通项的运用,属于基础题.
9.在
中,内角
的对边分别是
,若
,则
一定是()
A.直角三角形B.等边三角形
C.等腰直角三角形D.等腰三角形
【答案】D
【解析】分析:
利用余弦定理,把条件汇集到边上,从而得到b=c,进而作出判断.
详解:
因为在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,a=2ccosB,
由余弦定理可知:
a=2c
,可得b2﹣c2=0,
∴b=c.
所以三角形是等腰三角形.
故选:
D.
点睛:
利用正、余弦定理进行代换、转化,寻求边与边或角与角之间的数量关系,从而作出正确判断.边与边的关系主要看是否有等边,是否符合勾股定理等;角与角的关系主要是看是否有等角,有无直角或钝角等.
10.若
,则
的值为()
A.
或1B.
C.1D.
【答案】B
【解析】分析:
一般先化简
得到
,再平方即得
的值.
详解:
由题得
,
∴
,
∴
.
故选B.
点睛:
本题对
的化简比较关键,
,它有三个公式,选择不同的公式,决定了不同的解题效率.本题选择
,就比较简洁高效,所以要灵活选择运用.
11.在等差数列
中,
,且
,
为数列
的前
项和,则使得
的
的最小值为()
A.23B.24C.25D.26
【答案】B
【解析】分析:
由等差数列性质可得S24=
>0,S23=23•a12<0,从而得到使得
的
的最小值.
详解:
由题意可得:
因为
,且
,
所以公差
d>0,
所以由等差数列的性质可得:
S24=
>0,S23=23•a12<0,
所以使Sn>0的n的最小值为24.
故选:
B.
点睛:
本题重点考查了等差数列的重要性质,特别是下标的性质,如果
那么
12.已知数列
满足
,且
是以4为首项,2为公差的等差数列,若
表示不超过
的最大整数,则
()
A.1B.2C.0D.
【答案】C
【解析】分析:
由等差定义可得an+1﹣an=2n+2,利用累加法可得an=n(n+1),进而利用裂项相消法可得
+
=1﹣
,结合新定义可得结果.
详解:
是以4为首项,2为公差的等差数列,,
故an+1﹣an=4+2(n﹣1)=2n+2,
故a2﹣a1=4,a3﹣a2=6,a4﹣a3=8,…,an﹣an﹣1=2n,
以上n﹣1个式子相加可得an﹣a1=4+6+…+2n=
,解得an=n(n+1),
∴
=
,
∴
+
=
+…+(
)=1﹣
,
∴
=0
故选:
C.
点睛:
裂项抵消法是一种常见的求和方法,其适用题型主要有:
(1)已知数列的通项公式为
,求前
项和:
;
(2)已知数列的通项公式为
,求前
项和:
;
(3)已知数列的通项公式为
,求前
项和:
二、填空题
13.在
中,内角
的对边分别是
,且
,则
__________.
【答案】
【解析】分析:
直接利用正弦定理求出b的值.
详解:
由题得
,
∴
.
故填
.
点睛:
本题主要考查正弦定理的运用,属于基础题.
14.在等比数列
中,
,则
__________.
【答案】
【解析】分析:
由等比数列的性质得
,化简即得
的值.
详解:
由等比数列的性质得
,
∴
,
∴
.
故填
.
点睛:
解数列要注意观察,解答本题时观察到
成等比数列,解题效率大大提高.
15.若
,则
__________.
【答案】
【解析】分析:
利用二倍角公式及平方关系,把
转化为二次齐次式,再结合同角关系中的商数关系化弦为切,从而得到结果.
详解:
.
故答案为:
点睛:
三角函数式的化简要遵循“三看”原则:
一看角,这是重要一环,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式;二看函数名称,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有切化弦;三看结构特征,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,如遇到分式要通分等.
16.如图所示,
为正三角形,
,则
__________.
【答案】-4
【解析】分析:
建立平面直角坐标系,把数量积运算转化为坐标运算.
详解:
如图建立平面直角坐标系,
易知:
,
∴
∴
故答案为:
点睛:
平面向量数量积的类型及求法
(1)求平面向量数量积有三种方法:
一是夹角公式
;二是坐标公式
;三是利用数量积的几何意义.
(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时,可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.
三、解答题
17.已知数列
是等差数列,且
.
(1)求数列
的通项公式;
(2)求数列
的前
项和
.
【答案】
(1)
;
(2)
.
【解析】分析:
(1)利用等差数列通项公式布列关于基本量
的方程,从而得到数列
的通项公式;
(2)利用等差数列前n项和公式求得结果.
详解:
(1)设数列
的公差为
,则
∴
∴
(2)
点睛:
本题考查等差数列通项公式与前n项和公式,考查运算求解能力,属于基础题.
18.已知函数
.
(1)求函数
的最小正周期和最大值;
(2)讨论函数
的单调递增区间.
【答案】
(1)
的最小正周期
的最大值为2;
(2)函数
的单调递增区间为
.
【解析】分析:
(1)利用二倍角公式及两角和正弦公式化简得
,从而得到函数
的最小正周期和最大值;
(2)由
解得函数
的单调递增区间.
详解:
(1)
∴
的最小正周期
的最大值为2.
(2)由
∴函数
的单调递增区间为
.
点睛:
函数
的性质
(1)
.
(2)周期
(3)由
求对称轴(4)由
求增区间;由
求减区间.
19.某渔船在航行中不幸遇险,发出呼叫信号,我海军舰艇在
处获悉后,立即测出该渔船在方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为
,距离为15海里的
处,并测得渔船正沿方位角为
的方向,以15海里/小时的速度向小岛
靠拢,我海军舰艇立即以
海里/小时的速度前去营救,求舰艇靠近渔船所需的最少时间和舰艇的航向.
【答案】舰艇靠近渔船所需的最少时间为1小时,舰艇航行的方位角为
.
【解析】分析:
设所需时间为
小时,利用余弦定理列出含有t的方程,再解方程得到t的值.再利用正弦定理求出
,即得舰艇航行的方位角为
.
详解:
如图所示,设所需时间为
小时,
则
.
在
中,根据余弦定理,则有
,
可得
,
整理得
,
解得
或
(舍去).
即舰艇需1小时靠近渔船,
此时
在
中,由正弦定理,得
,
所以
,
又因为
为锐角,
所以
,
所以舰艇航行的方位角为
.
点睛:
解三角形的应用,先要画图,把各个已知条件标记到图形中,再把实际问题转化成数学问题,再利用余弦定理和正弦定理解答,最后回到实际问题回答实际问题.
20.在
中,内角
所对的边分别为
,向量
,且
.
(1)求角
的大小;
(2)求
的取值范围.
【答案】
(1)
;
(2)
的取值范围是
.
【解析】分析:
(1)利用
可得:
,结合余弦定理可求角
的大小;
(2)利用内角和定理及两角和与差正弦公式可得:
,由正弦型函数的图象与性质可得
的取值范围.
详解:
(1)∵
∴
∴
∴
∴
又
∴
(2)
∵
∴
∴
∴
的取值范围是
.
点睛:
平面向量与三角函数
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