初中八年级数学下册第十八章平行四边形单元复习试题八含答案 25.docx
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初中八年级数学下册第十八章平行四边形单元复习试题八含答案25
初中八年级数学下册第十八章平行四边形单元复习试题八(含答案)
如图,四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别在OA,OC上.
(1)给出以下条件;①OB=OD,②∠1=∠2,③OE=OF,请你从中选取两个条件证明△BEO≌△DFO;
(2)在
(1)条件中你所选条件的前提下,添加AE=CF,求证:
四边形ABCD是平行四边形.
【答案】
(1)见解析;
(2)见解析.
【解析】
试题分析:
(1)选取①②,利用ASA判定△BEO≌△DFO;也可选取②③,利用AAS判定△BEO≌△DFO;还可选取①③,利用SAS判定△BEO≌△DFO;
(2)根据△BEO≌△DFO可得EO=FO,BO=DO,再根据等式的性质可得AO=CO,根据两条对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论.
试题解析:
证明:
(1)选取①②,
∵在△BEO和△DFO中
,
∴△BEO≌△DFO(ASA);
(2)由
(1)得:
△BEO≌△DFO,
∴EO=FO,BO=DO,
∵AE=CF,
∴AO=CO,
∴四边形ABCD是平行四边形.
点睛:
此题主要考查了平行四边形的判定,以及全等三角形的判定,关键是掌握两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.
102.如图,在▱ABCD中,E为BC边上一点,且BE=AB.求证:
∠C=2∠BAE.
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】
根据平行线的性质以及等边对等角证明∠BAE=∠DAE,然后根据平行四边形的对角相等即可证得.
【详解】
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴∠C=∠BAD,AD∥BC,
∴∠DAE=∠BEA,
∵BE=AB,
∴∠BAE=∠BEA,
∴∠BAE=∠DAE,
∴∠BAD=∠BAE+∠DAE=2∠BAE,
∴∠C=2∠BAE.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、角平分线的定义,熟练掌握相关知识是解题的关键.
103.如图1,▱ABCD中,∠ABC、∠ADC的平分线分别交AD、BC于点E、F.
(1)求证:
四边形EBFD是平行四边形;
(2)小明在完成
(1)的证明后继续进行了探索.连接AF、CE,分别交BE、FD于点G、H,得到四边形EGFH.此时,他猜想四边形EGFH是平行四边形,请在框图(图2)中补全他的证明思路.
【答案】
(1)四边形EBFD是平行四边形.
(2)GF∥EH,AE∥CF;
【解析】
试题分析:
(1)由平行四边形的性质得出AD∥BC,∠ABC=∠ADC.AD=BC,由角平分线得出∠ABE=∠EBC=∠ADF=∠CDF.证出EB∥DF,即可得出结论;
(2)由平行四边形的性质得出BE∥DF,DE=BF,得出AE=CF,证出四边形AFCE是平行四边形,得出GF∥EH,即可证出四边形EGFH是平行四边形.
试题解析:
(1)证明:
在▱ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠ADC.AD=BC,
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠EBC=
∠ABC.
∵DF平分∠ADC,
∴∠ADF=∠CDF=
∠ADC.
∵∠ABC=∠ADC.
∴∠ABE=∠EBC=∠ADF=∠CDF.
∵AD∥BC,
∴∠AEB=∠EBC.
∴∠AEB=∠ADF.
∴EB∥DF.
∵ED∥BF,
∴四边形EBFD是平行四边形.
(2)补全思路:
GF∥EH,AE∥CF;理由如下:
∵四边形EBFD是平行四边形;
∴BE∥DF,DE=BF,
∴AE=CF,
又∵AE∥CF,
∴四边形AFCE是平行四边形,
∴GF∥EH,
∴四边形EGFH是平行四边形.
考点:
平行四边形的判定.
104.如图,AE∥BF,AC平分∠BAE,且交BF于点C,BD平分∠ABF,且交AE于点D,AC与BD相交于点O,连接CD
(1)求∠AOD的度数;
(2)求证:
四边形ABCD是菱形.
【答案】
(1)∠AOD=90°;
(2)证明见解析.
【解析】
试题分析:
(1)首先根据角平分线的性质得到∠DAC=∠BAC,∠ABD=∠DBC,然后根据平行线的性质得到∠DAB+∠CBA=180°,从而得到∠BAC+∠ABD=
(∠DAB+∠ABC)=
×180°=90°,得到答案∠AOD=90°;
(2)根据平行线的性质得出∠ADB=∠DBC,∠DAC=∠BCA,根据角平分线定义得出∠DAC=∠BAC,∠ABD=∠DBC,求出∠BAC=∠ACB,∠ABD=∠ADB,根据等腰三角形的判定得出AB=BC=AD,根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形,即可得出答案.
试题解析:
(1)∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线,∴∠DAC=∠BAC,∠ABD=∠DBC,∵AE∥BF,∴∠DAB+∠CBA=180°,∴∠BAC+∠ABD=
(∠DAB+∠ABC)=
×180°=90°,∴∠AOD=90°;
(2)证明:
∵AE∥BF,∴∠ADB=∠DBC,∠DAC=∠BCA,∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线,∴∠DAC=∠BAC,∠ABD=∠DBC,∴∠BAC=∠ACB,∠ABD=∠ADB,∴AB=BC,AB=AD
∴AD=BC,∵AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形,∵AD=AB,∴四边形ABCD是菱形.
考点:
菱形的判定.
105.如图,平行四边形ABCD中,BD是对角线,BD的垂直平分线交BD于O,交BA的延长线交于点E,交DC的延长线于点F,证明:
AE=CF.
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质可得AB∥CD,从而可得∠EBO=∠FDO,继而可证得△BOE≌△DOF,从而可得BE=DF,继而可证得AE=CF.
【详解】
∵ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB//CD,
∴∠EBO=∠FDO,
又EF是BD的垂直平分线,
∴BO=DO,
又∠BOE=∠DOF,
∴△BOE≌△DOF,
∴BE=DF,
∴BE-AB=DF-DC,
即AE=CF.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质,全等三角形的判定和性质,熟练掌握相关的性质与判定定理是解题的关键.
106.如图,在四边形ABCF中,∠ACB=90°,点E是AB边的中点,点F恰是点E关于AC所在直线的对称点.
(1)证明:
四边形CFAE为菱形;
(2)连接EF交AC于点O,若BC=10,求线段OF的长.
【答案】
(1)见解析;
(2)5.
【解析】
【分析】
(1)根据直角三角形的性质得到CE=
AB=EA,根据轴对称的性质得到AE=AF,CE=CF,得到CE=EA=AF=CF,根据菱形的判定定理证明结论;
(2)根据菱形的性质得到OA=OC,OE=OF,根据三角形中位线定理求出OE,得到答案.
【详解】
(1)证明 ∵∠ACB=90°,点E是AB边的中点,
∴CE=
AB=EA,
∵点F是点E关于AC所在直线的对称点,
∴AE=AF,CE=CF,
∴CE=EA=AF=CF,
∴四边形CFAE为菱形;
(2)解 ∵四边形CFAE为菱形;
∴OA=OC,OE=OF,
∴OE=
BC=5,
∴OF=5.
【点睛】
本题考查的是菱形的判定和性质、轴对称的性质,掌握四条边相等的四边形是菱形、菱形的对角线垂直且互相平分是解题的关键.
107.如图,在▱ABCD中,∠BAD和∠BCD的平分线AF,CE分别与对角线BD交于点F,E.求证:
四边形AFCE是平行四边形.
【答案】详见解析.
【解析】
【分析】
先根据平行四边形的对边平行且相等,得到AD∥BC,∠DAB=∠BCD,然后根据ASA证明△DEB≌△BFC,得到AE=CF,然后根据三角形的外角可得∠5=∠6,根据内错角相等,两直线平行,得到AE∥CF,再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,得证结论.
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形
∴
又∵AE平分
,CF平分
∴
∴
在△DEB和△BFC中
∴△DEB≌△BFC
∴AE=CF.
∵
∴
∴
∴四边形AECF是平行四边形.
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定与性质,平行四边形的性质与判定,关键是熟记并灵活运用平行四边形的性质与判定.
108.如图所示,在矩形ABCD中,O是AC与BD的交点,过点O的直线EF与AB,CD的延长线分别交于点E,F.
(1)求证:
△BOE≌△DOF;
(2)当EF与AC满足什么条件时,四边形AECF是菱形?
并证明你的结论.
【答案】
(1)证明见解析;
(2)见解析
【解析】
【分析】
(1)由矩形的性质:
OB=OD,AE∥CF证得△BOE≌△DOF;
(2)当EF⊥AC时,四边形AECF是菱形.根据已知条件可证明四边形AECF是平行四边形,当EF⊥AC,可根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定.
【详解】
(1)证明:
∵四边形ABCD是矩形,AC和BD交于点O
∴AB∥CD;OB=OD
∴∠OEB=∠OFD
∵∠BOE=∠DOF
∴△BOE≌△DOF
(2)解:
当EF与AC垂直的时候四边形AECF是菱形.
证明如下:
∵△BOE≌△DOF
∴BE=DF
∵AB=CD
∴AE=CF且AE∥CF
又∵EF⊥AC
∴四边形AECF是菱形
109.如图,已知菱形ABCD的对角线相交于点O,延长AB至点E,使BE=AB,连接CE.
(1)求证:
BD=EC;
(2)若∠E=50°,求∠BAO的大小.
【答案】
(1)证明见解析
(2)40°.
【解析】
【分析】
(1)根据菱形的对边平行且相等可得AB=CD,AB∥CD,然后证明得到BE=CD,BE∥CD,从而证明四边形BECD是平行四边形,再根据平行四边形的对边相等即可得证.
(2)根据两直线平行,同位角相等求出∠ABO的度数,再根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥BD,然后根据直角三角形两锐角互余计算即可得解.
【详解】
(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=CD,AB∥CD.
又∵BE=AB,
∴BE=CD,BE∥CD.
∴四边形BECD是平行四边形.
∴BD=EC.
(2)∵四边形BECD是平行四边形,
∴BD∥CE,
∴∠ABO=∠E=50°.
又∵四边形ABCD是菱形,
∴AC丄BD.
∴∠BAO=90°﹣∠ABO=40°.
110.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别是边BC,AB上的中点,连接DE并延长至点F,使EF=2DE,连接CE、AF
(1)证明:
AF=CE;
(2)当∠B=30°时,试判断四边形ACEF的形状并说明理由.
【答案】
(1)证明见解析;
(2)四边形ACEF是菱形,理由见解析.
【解析】
【分析】
(1)由三角形中位线定理得出DE∥AC,AC=2DE,求出EF∥AC,EF=AC,得出四边形ACEF是平行四边形,即可得出AF=CE;
(2)由直角三角形的性质得出∠BAC=60°,AC=
AB=AE,证出△AEC是等边三角形,得出AC=CE,即可得出结论.
【详解】
试题解析:
(1)∵点D,E分别是边BC,AB上的中点,∴DE∥AC,AC=2DE,
∵EF=2DE,∴EF∥AC,EF=AC,∴四边形ACEF是平行四边形,∴AF=CE;
(2)当∠B=30°时,四边形ACEF是菱形;理由如下:
∵∠ACB=90°,∠B=30°,∴∠BAC=60°,AC=
AB=AE,∴△AEC是等边三角形,∴AC=CE,
又∵四边形ACEF是平行四边形,∴四边形ACEF是菱形.
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质、等边三角形的判定与性质等,结合图形,根据图形选择恰当的知识点是关键.
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