基础物理学第五章静电场课后习题答案.docx
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基础物理学第五章静电场课后习题答案
第五章静电场思考题
5-1根据点电荷的场强公式E—-qr,当所考察的点与点电荷的距离r>0时,则
4胧Or
场强E^.:
:
:
这是没有物理意义的。
对这个问题该如何解释?
答:
当>—「时,对于所考察点来说,q已经不是点电荷了,点电荷的场强公式不再适用•
5-2E=F与E—∙-q2r0两公式有什么区别和联系?
q°4陆r
答:
前式为电场(静电场、运动电荷电场)电场强度的定义式,后式是静电点电荷产生的电场分布。
静电场中前式是后一式的矢量叠加,即空间一点的场强是所有点电荷在此产生的场
强之和。
5-3如果通过闭合面S的电通量:
•:
」e为零,是否能肯定面S上每一点的场强都等于零?
答:
不能。
通过闭合面S的电通量①e为零,即「:
E∙dS=O,只是说明穿入、穿出闭合面S
S
的电力线条数一样多,不能讲闭合面各处没有电力线的穿入、穿出。
只要穿入、穿出,面上
的场强就不为零,所以不能肯定面S上每一点的场强都等于零。
5-4如果在闭合面S上,E处处为零,能否肯定此闭合面一定没有包围净电荷?
--1
答:
能肯定。
由高斯定理-EdSq内,E处处为零,能说明面内整个空间的电荷代
S琴0
数和q内=0,即此封闭面一定没有包围净电荷。
但不能保证面内各局部空间无净电荷。
例如,导体内有一带电体,平衡时导体壳内的闭合高斯面上E处处为零aq内=0,此封闭
面包围的净电荷为零,而面内的带电体上有净电荷,导体内表面也有净电荷,只不过它们两者之和为零。
5-5电场强度的环流VlEdl表示什么物理意义?
∖Edl-0表示静电场具有怎样的性
质?
答:
电场强度的环流ITEdl说明静电力是保守力,静电场是保守力场。
'.τEdl=0表示
静电场的电场线不能闭合。
如果其电场线是闭合曲线,我们就可以将其电场线作为积分回路,由于回路上各点U沿环路切向,得E∙dl=0,这与静电场环路定理矛盾,说明静电场的
L
电场线不可能闭合。
5-6在高斯定理中,对高斯面的形状有无特殊要求?
在应用高斯定理求场强时,对高斯面
的形状有无特殊要求?
如何选取合适的高斯面?
高斯定理表示静电场具有怎么的性质?
答:
在高斯定理中,对高斯面的形状没有特殊要求;在应用高斯定理求场强时,对高斯面的形状有特殊要求,由于场强的分布具有某种对称性,如球对称、面对称、轴对称等,所以要选取合适的高斯面,使得在计算通过此高斯面的电通量时,ECoSd可以从积分号中提出来,
而只需对简单的几何曲面进行积分就可以了;高斯定理表示静电场是有源场。
5-7下列说法是否正确?
请举例说明。
(1)场强相等的区域,电势也处处相等;
)场强为零处,电势一定为零;
(3)电势为零处,场强一定为零;
(4)场强大处,电势一定高。
答:
(1)不一定。
场强相等的区域为均匀电场区,电力线为平行线,则电力线的方向,是电势降低的方向,而垂直电力线的方向,电势相等。
例如无限大均匀带电平行板两侧为垂直板的均匀场,但离带电板不同距离的点的电势不相等。
(2)不正确。
E=AU,E=O,电势U是常数,但不一定是零。
例如均匀带电球面内部
场强为零,若取无穷远为电势零点,其球内电势U=U表面0。
4疇0R
(3)不一定。
E-_IU,U=0,但U的变化率不一定为零,即场强不一定是零。
(4)不一定。
E=..U,场强大处,电势不一定高。
例如负电荷产生的电场,离电荷越近的点场强的值越大,但电势越低(取无穷远处为电势零点)
5-8设一带电导体表面上某点附近面电荷密度为σ,则紧靠该处表面外侧的场强E=—,
芯O
若将另一带电体移近,该处场强是否改变?
这场强与该处导体表面的面电荷密度的关系是否仍具有e_三的形式?
E=二的形式,
答:
该处场强将会改变;但场强与该处导体表面的面电荷密度的关系仍具有只不过;「大小变了。
5-9为什么带电的胶木棒能把中性的纸屑吸引过来?
答:
带电的胶木棒使中性的纸屑发生极化,表面出现极化电荷,而纸屑质量很小,所以能够把纸屑吸引过来。
5-10电势与场强的关系式有积分形式和微分形式,在怎样的情况用积分形式计算较方便?
又在怎样的情况用微分形式计算较方便?
5-11试把这一章的内容小结一下。
本章是如何研究场的?
§5-1库仑定律+§5-2静电场电场强度
0。
今在它们连线的垂直平分线
5-1两个电量都是+q的点电荷,相距2a,连线的中点为上放另一点电荷q',q与0点相距r。
(1)求q■所受的力;
(2)q■放在哪一点时,所受的力最大?
解:
(1)F=2
-弓-TSinr
4二;0r-a
SinTl=
qq'r
Jr2■a2
(2)
F(r)
2」-
r2
fra2r2'22r]
2
a2+r2
2二;O
J-2-2r2]
5-2
(1)
(2)
令F'r1=0,解得:
a2=2r2
故q•放在离O点—a处时,
2
若电量q均匀地分布在长为
在棒的延长线上,离棒中心为
在棒的垂直平分线上,离棒为
所受的力最大。
的细棒上,求证:
a处P点的场强为
a处Q点的场强为
证明:
(1)以棒中心为坐标原点,建立如图所示坐标系。
若棒为无限长时(即LT«),将结果与无限长带电直线的场强相比较。
hx
dE
dq
2
4二;or
L
2
4二;o(a-x)
qdx
—
4二;oL(a-x)
L
2L
24二;oL(a-x)
dx
2
4二;oL(^-X)
L/2
_L/2
-to4a
22
-L
2二;oaIL-4a2
q
22
..Jo4a-L
(2)以棒中心为坐标原点,建立如图所示坐标系。
由于Q点位于棒的垂直平分线上,由对称性可知,棒在Q点水平方向上场强为零。
现只须
求其竖直方向上场强分量。
(要用到的不定积分公式
dx
22n
(Xa)
X
2z22、n_1
2(n-1)a(Xa)
2
2(n—1)a
dq
—J
qdx
L
aq
dx
22n_1
(Xa)
)****************
dx
4二;°(x2a2)x2a24「°L(χ2-a2)3/2
aq
dx
E=
亍4二;0L(x2a2)
223/2
aq
2二;0a-L24a2
若棒为无限长时,则上式变为
1
E=Iim
L2二ra∙.L2'4a2
lLm2二。
a.1-4a2/L22Sa
结果与无限长带电直线的场强相同
5-3一半径为R的半细圆环,均匀地分布+Q电荷。
求环心的电场强度大小和方向。
一Q
解:
在圆周上任取电荷兀dq.dl
轴对称,知合场强应沿y方向,故
它的场强大小为
dE
理石由于电荷相对于y
4二;°R
E=Ey=dEy=dE(-COS可=
因为dl=Rdd,故E半2
4兀ε0R
2Q3cosθdl
4二;0R
π
ICoSJdTQ—
Jr2兀名0R
一2
dl
VE
式中"-”表明:
当Q>0时,E的方向与图中y轴的正方向
相反,而QVo时,E的方向同y轴的正方向。
5-4一半径为R的半球面,均匀地带有电荷,电荷面密度为匚。
求球心处电场强度的大小。
解:
将半球面无限分割成小圆环,另设圆环所带的电荷为电荷
元dq
2
dq=;「2二RSinvRdv-2二Rosinτιdv
根据书本P132上带电圆环在轴线某点产生场强的公式
2
dq二2兀RCrSin日CoSθd日σSin2θdB
dE—cos2-
4二;oR4二;oR4;o
8;o
π
2
2~
4;o
5-5
无限大平面,开有一个半径为R的圆洞,设平面均匀带电,
电荷面密度为σ,求这
洞的轴线上离洞心为r处的场强。
解:
不妨将平面看成一个无洞的大平面和带负电且半径为R的圆盘的叠加。
§5-3高斯定理
=—,此时qE
5-7两个无限长同轴圆柱面,半径分别为Ri和R2(R2>Ri),带有等值异号电荷,每单位
长度的电量为■(即电荷线密度)。
求距轴为r处的场强
(1)r (2)r>R2和(3)Ri 解: (1)在半径为Ri的圆柱面内作半径为r(r 各点E垂直于轴线,上下地面电通量为零 12C (3)同理,在r>R2的区域E0 2兀rS 5-8一无限长的半径为R的圆柱体内,电荷是均匀分布的。 圆柱体单位长度的电荷为• 用高斯定理求圆柱体内距轴线的距离为r一点的场强。 解: 圆柱无限长,且电荷分布均匀,电场是轴对称且垂直于轴。 所以上下表面磁通量为0。 2二0R 9 5-9均匀带电的圆环,半径为R=5.0Cm,总电量q=5.0×10-C. (1)求轴线上离环心距离为X=5.0Cm处的A点的场强; (2)轴线上哪些点处的场强最大? 量值为多大? q 解: (1)在圆环上取一小段dl,则dqdl §5-4电势电势差+§5-6静电场中的导体 5-12有两根半径均为a,相距为d的无限长平行直导线(d>>a),带有等量而异号的电荷,单位长度上的电量为,。 求这两根导线的电势差(每一导线为一等势体)。 (提示: 先计算 两导线连线上任一点的场强)。 解: 令A点在两平行导线连线上的任意一点,且距离导线1的距离为r, 则导线1在A点处产生的场强为E1=一一 2兀r% 导线2在A点处产生的场强为E2=: (d-r);。 九11 又因为E1,E2方向相同,两者相加E=ElE2() 2兀%rd-r d_ad-a .一-11■d-a U12=Edr()drIn aa2兀名0rd—r兀“a 5-13参看题5-2,求该题中P点和Q点的电势。 能否从电势的表示式,由电势梯度算出P 点和Q点的场强? 解: (1)取坐标如图所示,设P点到原点的距离为X,在距原点O为I处取长dl的线元,则相应的电荷元为 dq=,dl=qdl,以dq作为电荷元,则它在P点的电势为: L L 2Ldu ""2" L 律—。 L(X_l) qdl -q [ln( 4二;0L L 2-X)]L 4 EX 一X4二;0lx上 2 LLL X(X)-(X) 222 (X) 2 q 2~二;0(4x-L) In d2dl du二二」4Er4cr L X 2 T X—— 2 qdl 4二;°L(x」) Ey=0 (2)取坐标如图所示,设 Q点到原点的距离为y,在距原点O为I处取长dl 的线元,则相 应的电荷元为dq=,dl =~^dl,以dq作为电荷兀,则它在 L Q点的电势为: qd∣ L qdl 4二;o.,y2■l24二;ol: y2•丨2 L U=2L
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