初中数学《直角三角形边角关系》讲义初稿.docx
- 文档编号:44510
- 上传时间:2022-10-01
- 格式:DOCX
- 页数:34
- 大小:416.50KB
初中数学《直角三角形边角关系》讲义初稿.docx
《初中数学《直角三角形边角关系》讲义初稿.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《初中数学《直角三角形边角关系》讲义初稿.docx(34页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
初中数学《直角三角形边角关系》讲义初稿
直角三角形边角关系讲义(初稿)
一、概念部分
1、基本概念
正弦:
在Rt
ABC(如图),锐角A的对边与斜边的比叫做
的正弦,记为
,
。
余弦:
在Rt
ABC(如图),锐角A的邻边与斜边的比叫做
的余弦,记为
,
。
正切:
在Rt
ABC(如图),锐角A的对边与邻边的比叫做
的正切,记为
,
。
余切:
在Rt
ABC(如图),锐角A的邻边与对边的比叫做
的余切,记为
,
。
2、巧记概念:
按正弦、余弦、正切、余切的顺序记八个字:
对斜邻斜对邻邻对。
3、根据正弦、余弦、正切、余切的定义,在Rt
ABC中,
,有sinA=cosB,sinB=cosA,tanA=cotB,tanB=cotA。
4、正弦、余弦、正切的值与梯子倾斜程度之间的关系:
sinA的值越大,梯子越陡;
cosA的值越小,梯子越陡;
tanA的值越大,梯子越陡。
5、在Rt
ABC中,
,a、b、c分别是
、
、
的对边,那么
,
,
,
可以变形为
,
,
或
,
等等,在解题中可以根据条件正确选用。
6、注意:
、在初中,正弦、余弦、正切、余切的定义都是在直角三角形中给出的,不能在任意三角形中套用定义。
、sinA、cosA、tanA、cotA分别表示正弦、余弦、正切、余切的数学表达符号,是一个整体,不能理解为sin与A、cos与A、tan与A、cot与A的乘积。
sinA、cosA、tanA、cotA是一个完整的符号,它表示
的正弦、余弦、正切、余切,记号里习惯省去角的符号“
”,但当角用三个大写字母或数字表示时,角的符号“
”不能省略。
例如:
tanA,tan
ABC,tan
1都是正确的。
、正弦、余弦、正切、余切在直角三角形中它们分别表示对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值,所以它是没有单位的,当锐角A确定后,这些比值都是固定值。
、求某个角的正弦、余弦、正切、余切函数值时,需把该角放入适当的直角三角形中,在某些非直角三角形的问题,通过作垂线转化为直角三角形来解决。
、已知直角三角形一锐角的某三角函数值就知道了某两边的比值,设未知数可把3条边都可用一个未知数表示出来,这样就可以求出任何两条边的比值。
例1:
在
ABC中,
,AC=12,BC=5,
(1)求AB的长;
(2)求sinA、cosA、tanA、cotA的值;(3)求
的值;(4)比较sinA与cosB的大小,tanA与cotB的大小。
变式练习:
1、在Rt
ABC中,
,a=
b=2,则sinA=。
2、在Rt
ABC中,
,如果BC=10,sinB=0.6,那么AC=。
例2、如图,在
ABC中,
,AC=CB,AB=BD,求tanD的值。
变式练习:
1、已知
ABC中,
,
,BD为AC边上中线,求
的值。
例3、如图,在中,AD是BC边上的高,。
(1)求证:
AC=BD
(2)若,求AD的长。
分析:
由于AD是BC边上的高,则有和,这样可以充分利用锐角三角函数的概念使问题求解。
解:
(1)在中,有
中,有
(2)由
可设由勾股定理求得
即
例4、如图,已知中
,,求的面积(用的三角函数及m表示)
分析:
要求的面积,由图只需求出BC。
解:
由
练习题:
一、填空题:
1、在
ABC中,
,a=4,b=3,则:
sinA=cosA=
tanA=cotA=sinB=cosB=tanB=cotB=。
2、在Rt
ABC中,
,已知a=4,c=5则sinB=sinA=tanA=
3、在
ABC中,
,若tanB=2,a=1,则b=。
4、
ABC中,
,cosA=0.8746,则sinB=。
5、Rt
ABC中,
,tanA=
,则sinB=。
6、在
ABC中,
,AC边上中线BD=5,AB+BC=14,则
ABC的面积为 .
7、Rt
ABC中,
,tanA=
,AB=
,则AC= ,BC= 。
8、
ABC中,AB=AC,AB∶BC=2∶1,则sin、
= sinB= 。
9、等腰三角形的腰长为10cm,底边为16cm,则它底角的正弦值是 .
10、已知,如图,在
ABC中,
,tanB=
BC=
,则AB的长为。
二、选择题
1、在
ABC中,
,c=3,b=2,则cosA的值为()
A、
B、
C、
D、
2、在
ABC中,
,AB=13,sinA=
,则BC=()
A、1B、12C、5D、以上都不对
3、在
ABC中,
,a、b、c分别是
、
、
的对边,则()
A、
B、
C、
D、
4、在
ABC中,
,且cosA=
,则sinB=()
A、
B、
C、
D、
5、在
ABC中,
,若c=3b,则cosA等于( )
A、
B、
C、
D、
6、在Rt
ABC中,如果各边的长度都扩大2倍,那么锐角A的四个三角函数值()。
A、没有变化B、都缩小2倍C、都扩大2倍D、不能确定如何变化
三、解答题:
1、已知:
,
为锐角,求
的其它三角函数。
2、已知一个三角形的三边的比为7:
24:
25,求最小角的正弦、正切值。
3、已知:
如图43—1,在矩形ABCD中,BE⊥AC于E,AB=3,BC=4,∠CBE=∠α,求∠α的四个三角函数值.
4、已知:
如图43—2,在Rt
ABC中,
,D是BC中点,DE⊥AB于E,tanB=
,AE=7,求DE、BC的长.
二、特殊角的三角函数值
1、初中阶段说的特殊角指的是
五个特殊角度。
2、规定
,
,
,
。
,
,
没有意义(或说不存在)。
3、
三角函数
0
1
1
0
0
1
不存在
不存在
1
0
4、从上表中明确sin
、cos
、tan
、cot
随角
的变化而变化的规律:
当角
逐渐增大时,sin
、tan
逐渐增大,cos
、cot
逐渐减小。
练习题:
一、选择题
1、
的值等于()
A、
B、
C、
D、
2、
ABC中,若
,则∠C的度数是()
A、
B、
C、
D、
3、
ABC中,设
,则此三角形为()
A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、锐角三角形或钝角三角形
4、
ABC中,设
,则
ABC为()
A、等腰三角形B、直角三角形C、等边三角形D、等腰直角三角形
5、等腰
ABC中,AB=AC,
,高AD=3,则AB+BC+AC等于()
A、18B、
C、
D、
6、已知
,则锐角A为()
A、
B、
C、
或
D、
或
二、填空:
1、已知
,且
为锐角,则
()。
2、若
,则锐角
的补角是()。
3、在
ABC中,
,若
,则
=()。
4、在
ABC中,
,若
,则面积
=()。
5、在
ABC中,
,若
,则
=()。
三、计算:
1、(2cos600-
)×
2、∣–2∣+2sin60°–
3、
4、
5、
6、
7、已知
,求锐角
。
8、求适合等式
的锐角
。
9、在
ABC中,设
均为锐角,且
,试判断
ABC的形状。
三、规律与公式:
1、三角函数定义:
正弦:
,余弦:
,正切:
,余切:
。
2、由锐角
的三角函数定义可知:
、0
1,0
1。
、
;
、
,
,
。
、
,
。
利用上面的结论计算:
(1)、
(),
()。
(2)、若
,求
的值。
(3)、若
,求
的值。
(4)、已知:
,则
的值。
(5)、
=。
(6)、已知
,且
为锐角,则
=()。
、诱导公式:
;
;
例、已知为锐角,下列结论:
;<2>如果,那么;<3>如果
,那么;<4>正确的有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
分析:
利用三角函数的增减性和有界性即可求解。
解:
由于为锐角知<1>不成立;当时,有,即<2>正确
当时,,即<3>成立;又,即正确。
即<4>成立,故应选C。
练习题:
1、如果tanα=
那么cosα—sinα的值是( )
(A)
(B)
(C)
(D)
2、已知sinα+cosα=m,则sinα•cosα=( )
(A)m2-1 (B)
(C)
(D)
3、设
,则
()
A、
B、
C、
D、
4、已知
为锐角,且
,那么()
A、
B、
C、
D、
5、已知
,则
。
6、已知∠
+∠
=
,若
,则
。
7、若
,则∠
=。
8、已知
是锐角,
,则
=___________度。
9、不查表,比较大小,若
,则
若
,
,则
。
10、在
中
,∠
>∠
,且
和
的值是方程
的两个根,则∠
=_______
11、在
中,
,
=.
12、
中,
,
,则
。
13、已知
=___________.
14、已知:
sinα+cosα=
,求下列各三角函数式的值:
、
;
、
;
、
;
四、三角函数的应用
概念:
四角一度
1、仰角:
当从低处观测高处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为仰角。
2、俯角:
当从高处观测低处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为仰角。
3、方向角:
目标方向线与指南或指北的方向所成的锐角城为方向角。
4、坡角:
坡面与水平方向所成的锐角,称为坡角。
5、坡度:
坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比)。
即为坡角的正切。
三角函数应用题解题主要步骤:
1、审题标角
2、酌情擦图
3、小心分角
4、仔细标注
5、巧列方程
6、破解方程
7、检验作答
例1、如图,沿AC方向开山修路,为了加快施工速度,要在小山的另一边同时施工。
从AC上的一点B,取米,。
要使A、C、E成一直线,那么开挖点E离点D的距离是()
A.米B.米
C.米D.米
分析:
在中可用三角函数求得DE长。
解:
A、C、E成一直线
在
中,
米,
米,故应选B。
例2、人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时,发现在其所处位置O点的正北方向10海里处的A点有一涉嫌走私船只正以24海里/小时的速度向正东方向航行。
为迅速实验检查,巡逻艇调整好航向,以26海里/小时的速度追赶,在涉嫌船只不改变航向和航速的前提
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 直角三角形边角关系 初中 数学 直角三角形 边角 关系 讲义 初稿