人教版高中数学选修22单元测试题全套及答案doc.docx
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最新人教版高中数学选修2-2测试题全套及答案
第一章
-、选择题(本大题共12小题.每小题5分,共60分・在每小题给出的四个选项屮,只有一项是符合题目要求的)
1.若曲线y=x2+ax+h在点(0,方)处的切线方程是x—y+l=0,贝l」()
A.a=1,h=\B.a=~\9h=1
D.a=~\tb=~\
解析:
•:
yf=2x+af・・・曲线y^+ax+b在(0,b)处的切线方程的斜率为d,
切线方程为y—b=ax,即ax—y+b=0.:
.a=\yb=\.答案:
A
2.函数^=x2cosx的导数为()
A.”
=2xcosx—x2sinx
B・尹‘=2xcosx+x2sinx
C.”
=x2cosx—2xsinx
D・yf=xcosx—x2sinx
J
解析:
利用求导法则运算.
答案:
A
3.设Xx)=xlnx,若f(x0)=2,则xQ=()
A.e2B.e
C.
In2
D.In2
解析:
f(x)=(xlnx)'=lnx+l,
f(x())=lnx()+1=2=c.
答案:
B
4.函数/(x)的图象如图所示,下列数值的排序正确的是(
A.
0 (2) B.0 C.0 (2) D.0(3)-/ (2) (2) 解析: 由/ (2),f(3)的几何意艾知/' (2)>f(3)>0, ./(3)-/ (2) k/[B~3—2 由图象知Ovf⑶<灯対 (2). 答案: B 丫+1 5.过曲线尹=二厂(兀>0)上横坐标为1的点的切线方程为( •A A.3x+v-l=0 B.3x+y—5=0 C.x-y+\=O D・x—y—]=O 解析: •I该切线的斜率k=y'|x-i=—3, 则所求的切线方程为尹一2=—3(x—1),即3x+y—5=0,故选B. 答案: B 6.若函数.心)在R上可导,且.心)="+2广 (2)x+3,贝”) A・.A0)(6)B.,/(0)=/(6) C.,/(0)>/(6)D.无法确定 解析: f(x)=2x+2f⑵胡 (2)=4+2f (2)3/ (2)=-4.从而_/(x)=x2-8x+3,其对称轴为x=4,则/(0)>/(6)・答案: C 7.如图,阴影部分的面积是( ) B.-2^3 D.普 C. 35 T 解析: S=r-3(3-x2-Zx)d.Y 答案: D 8.若函数.几丫)的导函数/'(x)=? -4x+3,则函数./(x+1)的单调递减区间是() B. A.(2,4) (-3,-1) C.(1,3)D.(0,2) 解析: 由f(x)=x2-4x+3=(x-1)(x-3)知,当兀丘(1,3)时,f(x)<0,函数金)在(1,3)上为减函数,函数v=/(x+l)的图象是由函数y=f{x)的图象向左平移1个单位长度得到的,所以(0,2)为函数y=f[x+1)的单调递减区间.故选D. 答案: D 9.函数/(x)=x3~3x的极大值为加,极小值为A7,则加+刀为() C.2D.4 解析: 几巧二/—(x)=3x2—3=0=>x=±l,不难判断加=/(—1)=(—l)'+3=2,Z7=/ (1)=1‘一3=—2,m+n=O. 答案: A 10.一物体在力F(x)=4x—1(单位: N)的作用下,沿着与力F相同的方向,从x=l处运动到x=3处(单位: m),则力F所作的功为( A.10J B. 14J C.7J D. 28J 解析: W=fF(x)dx =f^4x—l)dx=(2x2—x)||=(232-3)-(212-1)=14J.答案: B 11.对于R上可导的任意函数./(兀), 若满足(x-l)f(x)^0,则必有() A.,AO)+A2)<2/ (1) C.,A0)+A2)^2/(l)解析: 当1WxW2时,f(x)$0, B.,A0)+/ (2)^2/(l) D.,AO)+/ (2)>2A1)则/ (2)弓/ (1); 而当OWxWl时,f(x)WO,则/ (1)W/(O), 从而,/(0)+/ (2)>2/ (1). 答案: C 12.己知二次函^f(x)=ax2+bx+c的导数为/' a),f(0)>0,对于任意实数x都有貳x)M0, 则咼J的最小值为() A.3 B. C.2 D. 解析: f(x)=2ax+bt有f(0)>03b>0.由于对于任意实数x都有/(x)>0,从而 a>0, /=4qcW0, 岩mnX7 (1)a+b+c«+c丄《+cI2^££_火 待c>0,从而广(o)—b-1+b句+2逅产1+2逅厂2’当且 仅当a=c时取等号. 答案: C 二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.请把正确答案填在题中横线上) 13.函数f(x)=x3+ax-2在区间[1,+8)内是增函数,则实数q的取值范围是. 解析: f(x)=3x2+a^0在xe[l,+8)上恒成立,即a>~3x2在xW[l,+8)上恒成立. 而一3”的最大值为一3,故只需。 三一3即可. 答案: aM—3 14.过点(2,0)且与曲线尹相切的直线的方程为 •A 解析: 设所求切线与曲线的切点为pg),旳), =一+,.A|x=x0=—古,所求切线的方程为 尹_刃)=_花(乳_曲). ・.・点(2,0)在切线上, 0—yo=—占(2—x()),: .兀詁()=2—X(), 又兀0刃)=1, 由①②解得 1, 1, ・••所求直线方程为x+p—2=0. 答案: x+y—2=0 15.已知函数/⑴为一次函数,其图象经过点(3,4),且/(,/(x)dx=l,则函数/(x)的解析 式为• 解析: 设函数J{x)=ax+b(aH0), 因为函数./U)的图象过点(3,4),所以有b=4-3a. =[*忌+(4_30)兀]|o 答案: /(x)=|x+| 16.设函数^x)=x,n+ax的导数为f(x)=2x+l,则数列{盘](圧眄的前n项和是 解析: f(x)=nixm~'+a=2x+1一" 67=1. 则心)=/+兀,盘=;^古可=+—计y,其和为 1n_ n+1n+V 答案: 三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)已知函数/(x)=x3+x—16. (1)求曲线y=/(x)在点(2,—6)处的切线方程; (2)直线/为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线/的方程及切点坐标. 解析: (1)V/(x)=(x3+x-16)z=3x2+1, ・・・心)在点(2,—6)处的切线的斜率为&=/'⑵=13, ・・・切线的方程为y=13(x-2)+(—6), 即y=13x—32. (2)方法一: 设切点为(兀0,尹o), 则直线/的斜率为f(x())=3£+1, ・・・直线/的方程为 y=(3并+l)(x—xo)+xo+xo—16, 5C・•直线/过点(0,0), .•・0=(3x$+1)(—xo)+xo+xo—16, 整理得,Xo=—8,xq——2, ・")=(—2)'+(—2)—16=—26, k=3X(—2)? +1=13. ・・・直线/的方程为y=13兀,切点坐标为(一2,—26)・ 方法二: 由题意知,直线/的斜率存在. 设直线/的方程为y=kx,切点为(xo,Po), 则匸 为一0 xo—0 xo 又•・・£=/'(丸)=3爲+1, £+心一16 如) =3xq+1, 解之得x°=—2, ・")=(—2)'+(—2)—16=—26, £=3X(—2)2+1=13. ・・・直线/的方程为y=13兀,切点坐标为(一2,-26). 18.(本小题满分12分)物体力以速度v=3r+\在一直线上运动,在此直线上物体/出发的同时,物体3在物体/的正前方5m处以v=lOt的速度与加同向运动,问两物体何时相遇? 相遇时物体加走过的路程是多少(时间单位为: s,速度单位为: m/s)? 解析: 设/追上〃时,所用的时间为/o, 依题意有为=Sb+5, 即JrOo(3r+l)dr=j: °10/d/+5, 才+/()=5*+5, 即fo(诒+1)=5(诒+1),/o=5s, ・••号=5石+5=130(m). 19.(本小题满分12分)某电视生产厂家有A,B两种型号的电视机参加家电下乡活动.若厂家投放A,B型号电视机的价值分别为“,g万元农民购买电视机获得的补贴分别为為,|lnq万元.已知厂家把总价值为10万元的A,B两种型号电视机投放市场,且A,B两型号的电视机投放金额都不低于1万元,请你制订一个投放方案,使得在这次活动中农民得到的补贴最多,并求出其最大值.(精确到0.1,参考数据: ln4~1.4) 解析: 设B型号电视机的价值为x万元(1WxW9),农民得到的补贴为y万元,则A型号电视机的价值为(10-x)万元,由题意得, 1221 夕=応(10—x)+glnx=^lnx—^x+1, 解,从而J=l-4c>0,: .c<^・ (2)V/(x)在x=2处取得极值,.*./ (2)=4—2+c=0, •••c=-2. —2x+d. 、: f(x)=/-x-2=(x-2)(x+1), ・••当兀丘(一8,—1]时,f(兀)>0,函数单调递增,当xe(-l,2]时,f(x)vo,函数单调递减. 7 .*.x<0时,/(兀)在x=—1处取得最大值&+d, •: x<0时,f(x)<^d2+2d恒成立, 71 ・・・&+*評? +2乳即(d+7)(d—l)>0, .\d<—7或d>\, 即d的取值范围是(一8,-7)U(1,4-oo). 21.(本小题满分13分)已知函数Av)=-x3+3x2+9x+a, ⑴求沧)的单调递减区间; (2)若/(x)在区间[—2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值. 解析: ⑴厂(x)=-3x2+6x+9,令f(x)<0, 解得xv-l或x>3,所以函数/(x)的单调递减区间为(一8,-1),(3,+oo). (2)・・V(-2)=8+12-18+a=2+a, ./ (2)=—8+12+18+o=22+a, ・\/ (2)>A-2).Vxe(-1,3)B+,/(x)>0, ・・・心)在(-1,3]上单调递增. 又./W在[一2,—1)上单调递减,・・・/ (2)和/(一1)分别是./(X)在区间[-2,2]上的最大值和最小值. 于是有22+q=20,解得°=一2. 故沧)=—/+3x2+9x—2, ・・・./(一1)=1+3—9一2=—7,即函数./(X)在区间[-2,2]上的最小值为一7. 22.(本小题满分13分)已知函数/(x)=xln(l+x)-a(x+l),其中。 为实常数. (1)当%e[l,+oo)时,f(x)>0恒成立,求q的取值范围; ax (2)求函数g(x)=/'(x)—十的单调区间. X 解析: (1)由题意,知/'(x)=ln(l+x)4-j7|7^—«>0, 则aVln(l+x)+ 1+兀在皿山 +8)时恒成立. Y 令〃(x)=ln(l+x)+存匚,则 h,(x)=7+7+(TW=(TW-Vxe[i,+oo),h1(x)>0,即/? (X)在[1,+8)上单调递增,・・・〃(x)2/? (l)=*+ln2,・・・g的取值范围是(一8,|+ln2). (1—ci}x 其定义域为(一1,+°°). (2)由 (1)知,函数g(x)=ln(l+x)+]+;—a, 小,11~ax+2—q 则gw=7+7+(TW=? +^- 1当a>\时,若xe(-l,67-2),则g'(x)<0,g(x)在(一1,a-2)上单调递减;若xe(67-2,+®),则g‘(X)>0,g(x)在(C7-2,+oo)上单调递增. 2当aWl时,g‘(x)>0,g(x)在(一1,+®)上单调递增. 综上,当a>l时,g(x)的单调递增区间为(0—2,+8), 递减区间为(一1,tz-2); 当qWI时,g(x)的单调递增区间为(一1,+8). 第二章 一、选择题(本大题共12小题.每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项屮,只有一项是符合题目要求的) 1.“兀是无限不循环小数,所以兀是无理数”•以上推理的大前提是() A.实数分为有理数和无理数 B.兀不是有理数 C.无理数都是无限不循坏小数 D.有理数都是有限循坏小数 解析: 演绎推理的结论是蕴含于前提之中的特殊事实,本题中由小前提及结论知选C. 答案: c 2.用反证法证明某命题吋,对结论: “自然数a,b,c中至少有一个偶数.”正确的 反设为() A.a,b,c中至少有两个偶数 B.ci,b,c都是奇数 C.a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数 D.a,b,c都是偶数 解析: “至少有一个”的反面是“一个也没有”, aa,b,c中至少有一个是偶数''应反设为: a,b,c都是奇数. 答案: B 3.某个命题与正整数有关,如果当心飓WN)时,该命题成立,那么可推得当n=k +1时命题也成立.现在已知当h=5时,该命题不成立,那么可推得() A.当n=6时该命题不成立B.当n=6时该命题成立 C.当n=4时该命题不成立D.当n=4时该命题成立 解析: 依題意,若,7=4时该命题成立,则77=5时该命题成立;而刃=5时该命题不成立,却无法判断n=6时该命题成立还是不成立,故选C. 答案: C 4.下列表述正确的是() 1归纳推理是由特殊到一般的推理;②演绎推理是市一般到特殊的推理;③类比推理是由特殊到一般的推理;④分析法是一种间接证明法;⑤若zEC,M|z+2-2/|=l,则|z—2一2,|的最小值是3. A.①②③④B.②③④ C.①②④⑤D.①②⑤ 解析: 归纳推理是由部分到整体、特殊到一般的推理,故①正确;演绎推理是由一般到特殊的推理,故②正确;类比推理是由特殊到特殊的推理,故③错误;分析法是一种直接证明法,故④错误;|z+2-2Z|=l表示复平面上的点到(一2,2)的距离为1的圆,|z-2-2i|就是圆上的点,到(2,2)的距离的最小值,就是圆心到(2,2)的距离减去半径,即: |2-(-2)|-1=3,故⑤正确.故选D. 答案: D 5.用火柴棒摆“金鱼”,如图所示: ①②③ 按照上面的规律,第〃个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( B.Sn-2 A.6n~2 C.6n+2 D.Sn+2 解析: 归纳“金鱼”图形的构成规律知,后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分,故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8,公差是6的等差数列,通项公式为a,=6n+2. 答案: C 6.将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比,易得下列结论: 1ab=ba; 2(ab)c=a(bc); 3a•(方+c)=a•方+ac; 4由aZ>=a・c(dHO)可得b=c, 则正确的结论有() A.1个B.2个 C.3个D.4个 解析: 平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律,不满足结合律,故①③正确, ②错误;由ab=ac(a^O)得a・("一c)=O,从而〃一c=0或a丄(方一c),故④错误. 答案: B 7.观察下列各式: a+b=\f/+圧=3,»+方3=4,/+胪=7,芒+沪=11,…,则/+屮=() A.28B.76 C.123D.199 解析: 记/+〃"=©),则几3)=/ (1)+/ (2)=1+3=4;/(4)=/ (2)+・/(3)=3+4=7;./(5)=/(3)+/(4)=11.通过观察不难发现J{n)=J{n~1)+/(舁一2)0? GN*,力23),则/(6)=/(4)+/(5)=18;/(7)=/(5)+/(6)=29;/(8)=/(6)十/(7)=47;/(9)=/(7)+/⑻=76;/(10)=/(8)+/(9)=123. 所以/+界=123. 答案: C 8・数列{a”}满足a\=2,a”+i=l—则。 2014等于() A.+B.—1 C.2D.3 解析: Vai=|,a”+i=l—占, ** d2014=01+3X67】=°1=2- 答案: A 9.由“正三角形的内切圆切于三边的屮点”,可类比猜想出正四面体的内切球切于四个侧面() A.各正三角形内任一点 B.各正三角形的某髙线上的点 C.各正三角形的中点 D.各正三角形外的某点 解析: 正三角形的边对应正四面体的面,即正三角形所在的正四面体的侧面,所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心. 答案: C 10.已知Q0,不等式x+务2,x+4&3,x+4^4,…,可推广为x+刍曲+1,则 AAAA a的值为() A.n2B.n C.2"D.22w_2 解析: 由x+丄22,x+乌=x+4$3,x+^=x+占三4,…,可推广为x+\^n+1, XXJCXXJC 故a=nf,. 答案: B 11.命题: 在三角形中,顶点与对边中点连线所得三线段交于一点,且分线段长度比为 2: 1,类比可得在四面体中,顶点与所对面的连线所得四线段交于一点,且分线段 比为() A.重心3: 1B.重心3: 1 C.内心2: 1D.夕卜心2: 1 解析: 由四面体的性质可得结论为A. 答案: A 1_/亠2 12.在用数学归纳法证明1+。 +圧+…+/+1=]_Q(qHI,时,在验证当n 1时,等式左边为() B. A.1 1+a C.1+q+/D.1+&+/+/ 解析: 等式左边共n+2项,规律是q的指数从0依次增加1直到/? +1,故n=\f最后一项为a2. 答案: C 二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.请把正确答案填在题中横线上) 13.“因为/C,BD是菱形MCD的对角线,所以/C,互相垂直且平分.”以上 推理的大前提是. 答案: 菱形的对角线互相垂直且平分 14.己知x,yWR,且x+y>2,则x,y中至少有一个大于1,在用反.证法证明时,假 设应为• 解析: “至少有一个”的反面为“一个也没有”即“x,y均不大于1”,亦即“xWl 且応1”. 答案: x,y均不大于1(或者xWl且)W1) 15.观察下列不等式 1+是, 照此规律,第五个不等式为. 解析: 先观察左边,第一个不等式为2项相加,第二个不等式为3项相加,第三个不等式为4项相加,则第五个不等式应为6项相加,右边分子为分母的2倍减1,分母即为所 1+*+*+ H ~6 对应项数,故应填1+*+*+*+£+右V#. 答案: 16.观察下列的图形中小正方形的个数,则第6个图形中有个小正方形. 解析: 第1个图中有3个小正方形,第2个有3+3=6个小正方形,第3个有6+4=10个小正方形,第4个图形有10+5=15个小正方形,第5个图形有15+6=21个小正方形,第6个图形中有21+7=28个小正方形. 答案: 28 三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间,并判断类比的结论是否成立. (1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交,则必和另一条相交; (2)如果两条直线同时垂直于第三条直线,则这两条直线互相平行. 解析: (1)类比为: 如果一个平面和两个平行平面中的一个相交,则必和另一个相交.结论是正确的,证明如下: 设a//p,且yHa=af则必有yQ0=〃,若y与“不相交,则必有y//p. 又a//P,与yC\a=a矛盾,: •必有yC\p=b. (2)类比为: 如果两个平面同时垂直于第三个平面,则这两个平面互相平行,结论是错误的,这两个平面也可能相交. 18.(本小题满分12分) (1)证明: 函数/(x)=—x2+2x在(一8,1]上是增函数; (2)当兀e[-5,一2]时,./(兀)是增函数述是减函数? 解析: (1)证明: 任取兀1,兀2丘(―8,1],X1 则血)一心2)=(也一兀1)(兀2+小一2)• TX02W1,「.k+xi—2<0, ••・・心1)一心2)<0,,/(%1)(%2)« 于是,根据“三段论”可知,J(x)=~x2+2x在(一8,1]上是增函数. (2)・・・沧)在(一8,1]上是增函数,而[_5,—2]是区间(一8,1]的子区间,・・・/(x)在[一5,一2]上是增函数. 19.(本小题满分12分)已知血+血+血+如〉100,求证d],C12,03,中至少有一个数大于25. 解析: 假设a】,。 2,如,均不大于25,即d|W25,。 2冬25,的025,血冬25, 则©+02+03+04^25+25+25+25=100, 这与已知⑷+血+心+血〉100矛盾,故假设错误. 所以Q],。 2,心,04中至少有一个数大于25. 20.(本小题满分12分)己知△MC的三个内角B,C成等差数列,记B,C的 113 对边分别为Q,b,C・求证: 朮+未" 113 证明: 要证市+后=乔p 一—a+b+c,a+b+c 只需证〒右—7 即证明市+ b+c 所以只需证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c>)f即证明c1+a2=ac+b2.(*) VAABC的三个内角加,B,C成等差数列, ・•・"=60。 . 由余弦定理,得b2=c2+a2~2accos60°.b2=c1-\~a2—ac.代入(*)式,等式成立. : .c2+a2=ac+b2^立,故命题得证. 21.(本小题满分13分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数: ®sin213°+cos217°—sin13°cos17°; 2sin215°+cos215°—sin15°cos15°; 3sin218°+cos212°-sin18°cos12°; 4sin2(一18。 )+cos248°一sin(-18°)cos48°; 5si
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