人教A版数学必修一阶段质量检测一.docx

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人教A版数学必修一阶段质量检测一

高中数学学习材料

金戈铁骑整理制作

阶段质量检测

（一）

（A卷　学业水平达标）

（时间120分钟，满分150分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题6分，共60分）

1．设全集U＝{x∈Z|－1≤x≤5}，A＝{1,2,5}，B＝{x∈N|－1

A．{3}　　　　　　　　B．{0,3}

C．{0,4}D．{0,3,4}

解析：

选B　∵U＝{－1,0,1,2,3,4,5}，B＝{0,1,2,3}，

∴∁UA＝{－1,0,3,4}．

∴B∩（∁UA）＝{0,3}．

2．设集合A＝{－1,3,5}，若f：

x→2x－1是集合A到集合B的映射，则集合B可以是（　　）

A．{0,2,3}B．{1,2,3}

C．{－3,5}D．{－3,5,9}

解析：

选D　将A中的元素－1代入得－3，A中的元素3代入得5，A中的元素5代入得9，故选D.

3．已知f（x）＝则f（）等于（　　）

A.B.

C．7D．无法确定

解析：

选B　∵1<<6，

∴f（）＝.

4．若f（x）为R上的奇函数，给出下列结论：

①f（x）＋f（－x）＝0；②f（x）－f（－x）＝2f（x）；③f（x）·f（－x）≤0；④＝－1.其中不正确的结论有（　　）

A．1个B．2个

C．3个D．0个

解析：

选A　由奇函数的性质可知①②③正确，④错误，故选A.

5．已知函数f＝x2＋，则f（3）＝（　　）

A．8B．9

C．11D．10

解析：

选C　∵f＝2＋2，

∴f（3）＝9＋2＝11.

6．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x＋2）＝－f（x），则f（6）的值为（　　）

A．－1B．0

C．1D．2

解析：

选B　∵f（x）是定义在R上的奇函数，

∴f（0）＝0.又∵f（x＋2）＝－f（x），

∴f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），f（x）是周期为4的奇函数，∴f（6）＝f

（2）＝f（0＋2）＝－f（0）＝0.

7．函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象如下图，则函数y＝f（x）·g（x）的图象可能是（　　）

解析：

选A　由于函数y＝f（x）·g（x）的定义域是函数y＝f（x）与y＝g（x）的定义域的交集

（－∞，0）∪（0，＋∞），所以函数图象在x＝0处是断开的，故可以排除C，D；

由于当x为很小的正数时，f（x）>0且g（x）<0，故f（x）·g（x）<0，可排除B，故选A.

8．偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，＋∞）时，f（x）是增函数，则不等式f（x）＞f

（1）的解集是（　　）

A．（1，＋∞）

B．（－∞，1）

C．（－1,1）

D．（－∞，－1）∪（1，＋∞）

解析：

选D　因为f（x）是偶函数，所以f（|x|）＝f（x），所以f（x）＞f

（1）可转化为f（|x|）＞f

（1），又因为x∈[0，＋∞）时，f（x）是增函数，所以|x|＞1，即x＜－1或x＞1.

9．设奇函数f（x）在（0，＋∞）上为增函数，且f

（1）＝0，则不等式<0的解集为（　　）

A．（－1,0）∪（1，＋∞）

B．（－∞，－1）∪（0,1）

C．（－∞，－1）∪（1，＋∞）

D．（－1,0）∪（0,1）

解析：

选D　由f（x）为奇函数可知，

＝<0.

而f

（1）＝0，则f（－1）＝－f

（1）＝0.

当x>0时，f（x）<0＝f

（1）；

当x<0时，f（x）>0＝f（－1）．

又∵f（x）在（0，＋∞）上为增函数，

∴奇函数f（x）在（－∞，0）上为增函数．

所以0

10．设奇函数f（x）在[－1,1]上是增函数，且f（－1）＝－1，若对所有的x∈[－1,1]及任意的a∈[－1,1]都满足f（x）≤t2－2at＋1，则t的取值范围是（　　）

A．[－2,2]

B.

C．（－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞）

D.∪{0}∪

解析：

选C　由题意，得f

（1）＝－f（－1）＝1.

又∵f（x）在[－1,1]上是增函数，

∴当x∈[－1,1]时，有f（x）≤f

（1）＝1.

∴t2－2at＋1≥1在a∈[－1,1]时恒成立．

得t≥2，或t≤－2，或t＝0.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

11．当A，B是非空集合，定义运算A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，若M＝{x|y＝}，N＝{y|y＝x2，－1≤x≤1}，则M－N＝________.

解析：

集合M：

{x|x≤1}，集合N：

{y|0≤y≤1}，

∴M－N＝{x|x∈M且x∉N}＝{x|x<0}．

答案：

{x|x<0}

12．已知f（x）＝ax3＋bx－4，其中a，b为常数，若f（－2）＝2，则f

（2）＝________.

解析：

设g（x）＝ax3＋bx，显然g（x）为奇函数，

则f（x）＝ax3＋bx－4＝g（x）－4，

于是f（－2）＝g（－2）－4＝－g

（2）－4＝2，

所以g

（2）＝－6，

所以f

（2）＝g

（2）－4＝－6－4＝－10.

答案：

－10

13．函数f（x）＝的值域是________．

解析：

设g（x）＝2x－x2,0≤x≤3，结合二次函数的单调性可知：

g（x）min＝g（3）＝－3，g（x）max＝g

（1）＝1；

同理，设h（x）＝x2＋6x，－2≤x≤0，

则h（x）min＝h（－2）＝－8，h（x）max＝h（0）＝0.

所以f（x）max＝g

（1）＝1，f（x）min＝h（－2）＝－8.

答案：

[－8,1]

14．若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（－∞，0]上是减函数，且f

（2）＝0，则不等式f（x）<0的解集为________．

解析：

因为f（x）是定义在R上的偶函数，且f

（2）＝0，所以f（－2）＝0.

又因为f（x）在（－∞，0]上是减函数，故f（x）在[0，＋∞）上是增函数．

故满足f（x）<0的x的取值范围应为（－2,2），

即f（x）<0的解集为{x|－2

答案：

{x|－2

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

15．（10分）已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1＜x＜6}，C＝{x|x＞a}，U＝R.

（1）求A∪B，（∁UA）∩B；

（2）若A∩C≠∅，求a的取值范围．

解：

（1）A∪B＝{x|2≤x≤8}∪{x|1＜x＜6}

＝{x|1＜x≤8}．

∵∁UA＝{x|x＜2或x＞8}，

∴（∁UA）∩B＝{x|1＜x＜2}．

（2）∵A∩C≠∅，作图易知，只要a在8的左边即可，

∴a＜8.

∴a的取值范围为（－∞，8）．

16．（12分）已知集合P＝{x|－2≤x≤10}，Q＝{x|1－m≤x≤1＋m}．

（1）求集合∁RP；

（2）若P⊆Q，求实数m的取值范围；

（3）若P∩Q＝Q，求实数m的取值范围．

解：

（1）∁RP＝{x|x<－2或x>10}；

（2）由P⊆Q，需得m≥9，即实数m的取值范围为[9，＋∞）;

（3）由P∩Q＝Q得，Q⊆P，

①当1－m>1＋m，即m<0时，Q＝∅，符合题意；

②当1－m≤1＋m，即m≥0时，需

得0≤m≤3；

综上得：

m≤3，即实数m的取值范围为（－∞，3]．

17．（12分）若f（x）是定义在（0，＋∞）上的增函数，且对一切x，y>0，满足f＝f（x）－f（y）．

（1）求f

（1）的值；

（2）若f（6）＝1，解不等式f（x＋3）－f<2.

解：

（1）在f＝f（x）－f（y）中，令x＝y＝1，

则有f

（1）＝f

（1）－f

（1），

∴f

（1）＝0.

（2）∵f（6）＝1，

∴f（x＋3）－f<2＝f（6）＋f（6），

∴f（3x＋9）－f（6）

即f

∵f（x）是定义在（0，＋∞）上的增函数，

∴解得－3

即不等式的解集为（－3,9）．

18．（12分）已知奇函数f（x）＝

（1）求实数m的值，并画出函数f（x）的图象；

（2）若函数f（x）在区间[－1，a－2]上是增函数，结合函数f（x）的图象，求实数a的取值范围；

（3）结合图象，求函数f（x）在区间[－2,2]上的最大值和最小值．

解：

（1）当x<0时，－x>0，

则f（－x）＝－（－x）2＋2（－x）＝－x2－2x.

又∵函数f（x）为奇函数，

∴f（－x）＝－f（x）．

∴f（x）＝－f（－x）＝－（－x2－2x）＝x2＋2x.

又∵当x<0时，f（x）＝x2＋mx，

∵对任意x<0，总有x2＋2x＝x2＋mx，∴m＝2.

函数f（x）的图象如图所示．

（2）由

（1）知f（x）＝

由图象可知，函数f（x）的图象在区间[－1,1]上的图象是“上升的”，

∴函数f（x）在区间[－1,1]上是增函数．

要使f（x）在[－1，a－2]上是增函数，

需有解得1

即实数a的取值范围是（1,3]．

（3）由图象可知，函数f（x）的图象在区间[－2,2]上的最高点是（1，f

（1）），最低点是（－1，f（－1））．

又因为f

（1）＝－1＋2＝1，f（－1）＝1－2＝－1，所以函数f（x）在区间[－2,2]上的最大值是1，最小值是－1.

19．（12分）已知函数f（x）＝x＋，且此函数的图象过点（1,5）．

（1）求实数m的值；

（2）判断f（x）的奇偶性；

（3）讨论函数f（x）在[2，＋∞）上的单调性，并证明你的结论．

解：

（1）∵f（x）过点（1,5），∴1＋m＝5⇒m＝4.

（2）对于f（x）＝x＋，∵x≠0，

∴f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称．

∴f（－x）＝－x＋＝－f（x）．

∴f（x）为奇函数．

（3）证明：

任取x1，x2∈[2，＋∞）且x1

则f（x1）－f（x2）＝x1＋－x2－

＝（x1－x2）＋

＝.

∵x1，x2∈[2，＋∞）且x1

∴x1－x2<0，x1x2>4，x1x2>0.

∴f（x1）－f（x2）<0.

∴f（x）在[2，＋∞）上单调递增．

20．（12分）小张周末自己驾车旅游，早上八点从家出发，驾车3h后到达景区停车场，期间由于交通等原因，小张的车所走的路程s（单位：

km）与离家的时间t（单位：

h）的函数关系式为s（t）＝－5t（t－13）．

由于景区内不能驾车，小张把车停在景区停车场．在景区玩到16点，小张开车从停车场以60km/h的速度沿原路返回．

（1）求这天小张的车所走的路程s（单位：

km）与离家时间t（单位：

h）的函数解析式；

（2）途经一加油站，距离小张家60km，求这天小张的车途经该加油站的时间．

解：

（1）依题意得，当0≤t≤3时，s（t）＝－5t（t－13），

∴s（3）＝－5×3×（3－13）＝150.

即小张家距离景点150km，

小张的车在景点逗留时间为16－8－3＝5（h）．

∴当3

小张从景点回家所花时间为＝2.5（h），

故s（10.5）＝2×150＝300.

∴当8

s（t）＝150＋60（t－8）＝60t－330.

综上所述，这天小张的车所走的路程

s（t）＝

（2）当0≤t≤3时，

令－5t（t－13）＝60得t2－13t＋12＝0，

解得t＝1或t＝12（舍去），

当8

令60t－330＝2×150－60＝240，解得t＝.

答：

小张这天途经该加油站的时间分别为9点和17时30分．

（B卷　能力素养提升）

（时间120分钟，满分150分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题6分，共60分）

1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x≥1或x≤－1}，B＝{x|x－1≤0}，则（∁UA）∩B＝（　　）

A．{x|x≥1}　　　　　　B．{x|－1

C．{x|－1

解析：

选B　∵集合A＝{x|x≥1或x≤－1}，∴∁UA＝{x|－1

2．函数y＝＋的定义域是（　　）

A.

B.

C.

D.

解析：

选C　由∴－≤x≤1且x≠0.

3．下列各组函数表示同一函数的是（　　）

A．f（x）＝，g（x）＝（）2

B．f（x）＝1，g（x）＝x0

C．f（x）＝，g（x）＝（）2

D．f（x）＝x＋1，g（x）＝

解析：

选C　选项A、B、D中函数的定义域不同，不是同一函数．

4．函数y＝的定义域是（－∞，1）∪[2,5]，则其值域是（　　）

A．（－∞，0）∪

B．（－∞，2]

C.∪[2，＋∞）

D．（0，＋∞）

解析：

选A　因为函数y＝在（－∞，1）和[2,5]上都是减函数，故y∈（－∞，0）∪.

5．函数f（x）＝x2＋2ax－b在（－∞，1）上为减函数，则a的取值范围为（　　）

A．[－1，＋∞）B．（－∞，－1]

C．[1，＋∞）D．（－∞，1]

解析：

选B　∵对称轴是x＝－a，∴－a≥1，∴a≤－1.

6．已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）－g（x）＝x3＋x2＋1，则f

（1）＋g

（1）＝（　　）

A．－3B．－1

C.1D.3

解析：

选C　在f（x）－g（x）＝x3＋x2＋1中，令x＝－1，得f（－1）－g（－1）＝1，即f

（1）＋g

（1）＝1.

7．若函数f（x）在（－∞，－1]上是增函数，则下列关系式中成立的是（　　）

A．f

B．f（－1）

C．f（－2）

D．f（－2）

解析：

选D　∵f（x）在（－∞，－1]上是增函数，且－2<－<－1，所以f（－2）

8．函数y＝x|x|的图象大致是（　　）

解析：

选A　y＝x|x|＝故选A.

9．小明去上学，由于担心迟到所以一开始就跑，等跑累了再走完余下的路程．如果用纵轴表示与学校的距离d，横轴表示出发后的时间t，则下列四个图象中比较符合此人走法的是（　　）

解析：

选D　t＝0时，小明在家，与学校的距离d≠0，因此排除A，C；小明先跑后走，因此d随t的变化是先快后慢，故选D.

10．若定义在R上的函数f（x）满足：

对任意x1，x2∈R，有f（x1＋x2）＝f（x1）＋f（x2）＋1，则下列说法一定正确的是（　　）

A．f（x）为奇函数

B．f（x）为偶函数

C．f（x）＋1为奇函数

D．f（x）＋1为偶函数

解析：

选C　令x1＝x2＝0，得f（0）＝2f（0）＋1，所以f（0）＝－1.令x2＝－x1，得f（0）＝f（x1）＋f（－x1）＋1，即f（－x1）＋1＝－f（x1）－1，所以f（x）＋1为奇函数．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

11．满足条件{1,2,3}∪A＝{1,2,3,4,5}的所有集合A有________个．

解析：

A＝{4,5}，{1,4,5}，{2,4,5}，{3,4,5}，{1,2,4,5}，{1,3,4,5}，{2,3,4,5}，{1,2,3,4,5}，共8个．

答案：

8

12．已知函数f（x）＝为奇函数，则a＋b＝________.

解析：

当x>0时，－x<0，f（－x）＝x2－x，－f（x）＝－ax2－bx，故x2－x＝－ax2－bx，所以－a＝1，－b＝－1，即a＝－1，b＝1，故a＋b＝0.

答案：

0

13．若f（x）＝x2－2ax＋4在（－∞，2]上是减函数，则a的取值范围是________．

解析：

因为f（x）的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝a，要使f（x）在（－∞，2]上是减函数，故a≥2.

答案：

[2，＋∞）

14．定义在R上的函数y＝f（x＋1）的图象如图所示，它在定义域上是减函数，给出如下命题：

①f（0）＝1；②f（－1）＝1；③若x>0，则f（x）<0；④若x<0，则f（x）>1.

其中，正确的命题是________．

解析：

由y＝f（x＋1）的图象知y＝f（x）的图象如图所示．

∴①正确，②不正确，③不正确，④正确．

答案：

①④

三、解答题（本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（10分）已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|1≤x≤5，x∈Z}，C＝{x|2

（1）A∪（B∩C）；

（2）（∁UB）∪（∁UC）．

解：

（1）依题意有：

A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4,5}，C＝{3,4,5,6,7,8}，∴B∩C＝{3,4,5}，故有A∪（B∩C）＝{1,2}∪{3,4,5}＝{1,2,3,4,5}．

（2）由∁UB＝{6,7,8}，∁UC＝{1,2}；

故有（∁UB）∪（∁UC）＝{6,7,8}∪{1,2}＝{1,2,6,7,8}．

16．（12分）已知函数f（x）＝|x－1|＋|x＋1|（x∈R）．

（1）证明：

函数f（x）是偶函数；

（2）利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数的形式，然后画出函数图象；

（3）写出函数的值域．

解：

（1）证明：

∵f（－x）＝|－x－1|＋|－x＋1|＝|－（x＋1）|＋|－（x－1）|＝|x＋1|＋|x－1|＝f（x），

∴函数f（x）＝|x－1|＋|x＋1|（x∈R）为偶函数．

（2）由x－1＝0，得x＝1；由x＋1＝0，得x＝－1.

当x<－1时，f（x）＝－2x；

当－1≤x≤1时，f（x）＝2；

当x>1时，f（x）＝2x.

∴f（x）＝f（x）的图象如图所示．

（3）由函数图象知，函数的值域为[2，＋∞）．

17．（12分）已知函数f（x）在定义域（0，＋∞）上为增函数，且满足f（xy）＝f（x）＋f（y），f（3）＝1.

（1）求f（9），f（27）的值；

（2）若f（3）＋f（a－8）<2，求实数a的取值范围．

解：

（1）由原题条件，可得到

f（9）＝f（3×3）＝f（3）＋f（3）＝1＋1＝2，

f（27）＝f（3×9）＝f（3）＋f（9）＝1＋2＝3.

（2）f（3）＋f（a－8）＝f（3a－24），又f（9）＝2，

∴f（3a－24）

又函数在定义域上为增函数，

即有3a－24<9，

∴

解得8

∴a的取值范围为（8,11）．

18．（12分）某市营业区内住宅电话通话费用为前3分钟0.20元，以后每分钟0.10元（前3分钟不足3分钟按3分钟计，以后不足1分钟按1分钟计）．

（1）在直角坐标系内，画出一次通话在6分钟内（包括6分钟）的话费y（元）关于通话时间t（分钟）的函数图象；

（2）如果一次通话t分钟（t>0），写出话费y（元）关于通话时间t（分钟）的函数关系式（可用[t]表示不小于t的最小整数）．

解：

（1）如下图所示．

（2）由

（1）知，话费y与时间t的关系是分段函数．

当0

当t>3时，话费y应为（0.2＋[t－3]×0.1）元．

所以y＝

19．（12分）已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，当x≤0时，f（x）＝1＋.

（1）求f

（2）的值及y＝f（x）的解析式；

（2）用定义法判断y＝f（x）在区间（－∞，0]上的单调性．

解：

（1）由函数f（x）为偶函数，知f

（2）＝f（－2）＝1＋＝；

又x>0时，－x<0，由函数f（x）为偶函数，知f（x）＝f（－x）＝1＋＝1－，

综上，f（x）＝

（2）在（－∞，0]上任取x1，x2，且x1

f（x1）－f（x2）＝－＝－＝；

由x1－1<0，x2－1<0，x2－x1>0，知f（x1）－f（x2）>0，

即f（x1）>f（x2）．

由定义可知，函数y＝f（x）在区间（－∞，0]上单调递减．

20．（12分）已知二次函数f（x）满足f（x）－f（x＋1）＝－2x且f（0）＝1.

（1）求f（x）的解析式；

（2）当x∈[－1,1]时，不等式f（x）>2x＋m恒成立，求实数m的范围；

（3）设G（t）＝f（2t＋a），t∈[－1,1]，求G（t）的最大值．

解：

（1）令f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），代入已知条件，

得：

∴

∴f（x）＝x2－x＋1.

（2）当x∈[－1,1]时，f（x）>2x＋m恒成立，

即x2－3x＋1>m恒成立；

令g（x）＝x2－3x＋1＝2－，x∈[－1,1]．

则对称轴：

x＝∉[－1,1]，g（x）min＝g

（1）＝－1，

∴m<－1.

图1

（3）G（t）＝f（2t＋a）＝4t2＋（4a－2）t＋a2－a＋1，t∈[－1，1]，对称轴为：

t＝.

①当≥0时，即：

a≤；如图1：

G（t）max＝G（－1）＝4－（4a－2）＋a2－a＋1＝a2－5a＋7，

②当<0时，

　图2

即：

a>；如图2：

G（t）max＝G

（1）＝4＋（4a－2）＋a2－a＋1＝a2＋3a＋3，

综上所述：

G（t）max＝