集合间的基本运算.docx
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集合间的基本运算
集合间的基本运算
一、知识概述
1交集的定义
一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集
记作A'B(读作‘A交B'),即卩A1B={x|x已A,且B}2、并集的定义
一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集.
记作:
A」B(读作’A并B'),即卩A」B={x|x三A,或B}.
3、补集:
一般地,设S是一个集合,A是S的一个子集(即…=1),由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集),记作。
貝,即[/={小胡且入¥2}
性质:
%/)二月“J©乓0二用
全集:
如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集,全集通常用S,U表示+
4、运算性质:
(1)II「I'I;
(2)I—-「';
(3)I.;
(4)T__「T1-;
(5)、二一匚_「丄一「*二:
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(6)「厂_「;:
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二、例题讲解
例1、设集合A={—4,2m-1,m2},B={9,m-5,1—m},又AB={9},求实数m的值.
解:
IAB={9},二2m—1=9或m2=9,解得m=5或m=3或m=—3.
若m=5贝UA={—4,9,25},B={9,0,—4}与AB={9}矛盾;
若m=3则B中元素m—5=1—m=—2,与B中元素互异矛盾;
若m=-3,则A={—4,—7,9},B={9,—8,4}满足AB={9}.二m=-3.
例2、设A={x|x2+ax+b=0},B={x|x2+ex+15=0},又AB={3,5},AAB={3},求实数a,b,e的值.
解:
vAAB={3},二3€B,二32+3e+15=0,
•••e=—8,由方程x2—8x+15=0解得x=3或x=5.
•••B={3,5}.由A二(A」B)={3,5}知,3€A,A(否则5€AAB,与
AGB={3}矛盾)
故必有A={3},.••方程x2+ax+b=0有两相同的根3.
由韦达定理得3+3=—a,33=b,即a=—6,b=9,c=—8.
例3、已知A={x|x3+3x2+2x>0},B={x|x2+ax+b<0},且AGB={x|0vx<2},
AUB={x|x>—2},求a、b的值.
解:
A={x|—2vxv—1或x>0},
设B=[xi,X2],由AGB=(0,2]知X2=2,
且—1 由AUB=(—2,+x)知一2wX1w—1.② 由①②知Xi=—1,X2=2, a=—(X1+X2)=—1,b=X1X2=—2. 例4、已知A={x|x2—ax+a2—19=0},B={x|x2—5x+8=2},C={x|x2+2x—8=0}.若E=AGB,且AGC=],求a的值. 解: •-B={x|(x—3)(x—2)=0}={3,2}, C={x|(x+4)(x—2)=0}={—4,2}, 又•••E=agB, 又•••AGC==, •可知-4^A,2^A,3€A. ••由9—3a+a—19=0, 解得a=5或a=—2. 1当a=5时,A={2,3},此时AHC={2},矛盾,二a^5; 2当a=—2时,A={—5,3},此时AHC山,AHB={3}工它,符合条件. 综上①②知a=—2. 例5、已知全集U={不大于20的质数},MN是U的两个子集,且满足MA(•门)={3,5},(「r)HN={7,19},(」')H(•「)={2,17},求MN. 解: 用图示法表示集合U,MN(如图),将符合条件的元素依次填入图中相应的区域内,由图可知: M={3,5,11,13},N={7,11,13,19}. 点评: 本题用填图的方法使问题轻松地解决,但要注意的是在填图时,应从已知区域填起,从已知区域推测未知区域的元素. 特别提示: 下列四个区域: 对应的集合分别是: ①一q: : : ②一-r二: ③―_5■': ④一I 一、选择题 1下列命题中,正确的是() A.若U=R祐u,匸 B.若U为全集,①表示空集,则-①=①; C.若A={1,①,{2}},则{2}二A; D.若A={1,2,3},B={x|x二A},则A€B. 3I M={工|畝迄忑€血¥_}=(xl也}『 2、设数集'-…且MN都是集合{x|0 <1}的子集,如果把b—a叫做集合{x|a 12 A.-B.」 丄5 C.1-D.一 3、设MN是两个非空集合,定义M与N的差集为M—N={x|x€M且x己N},则M—(M—N)等于() A.NB.MAN C.MUND.M4、已知全集: =R,集合朴11"弔刀和严砂亠■“L的关系 的韦恩(Venn)图如下图所示,贝U阴影部分所示的集合的元素共有() A.3个 C.1个 B.2个 D.无穷个 1、-••匚I-①=U,{2}€A,{2}单独看是一个集合,但它又 是A中的一个元素. 3£ 2、集合M的“长度”为-,集合N的“长度”为」,而集合 —+——1 {x|0 3、M-N={x|x€“且x^N}是指图 (1)中的阴影部分. 同样M-(M-N)是指图 (2)中的阴影部分. 4、t图形中的阴影部分表示的是集合=;,由;解得集 合 ‘"一—二一,而n是正奇数的集合;-「,故选 B. 二、填空题 5、已知集合A={x|x2—3x+2=0},集合B={x|ax—2=0}(其中a为实数),且AUB=A则集合C={a|a使得AUB=A}=. 5、{0,1,2} 解析: A={1,2},由AUB=A得匪A. •••1€A,即得a=2;或2€A,即得a=1;或B=©,此时a=0. •••C={0,1,2}. 6、非空集合S^{1,2,3,4,5},且若a€S,则6-a€S,这样的S共有 个. 6、6 解析: S={1,5}或{2,4}或⑶,或{1,3,5},或{2,4,3},或{1,5,2,4}. 三、解答题 7、设集合卫={込加7-①,吕―^—另1—^,9} (1)若■■-丄),求实数a的值. (2)若.''■,求实数a的值. 7、解: (1): 9三’1'',二9A. 则a2=9或. 解得a=±3或5. 当时,''■'■'-'-(舍) 当a=—3时,卫={9,一兀一4},£=〔一出4,9〕(符合) 当a=5时,乂={25,9,—={0,—4,9〕(符合). 综上知一? 或“一-. (2)由 (1)知•,一二 8已知全集U=R,叮•二•….丄v0・,_=“V呗亠」或x>5—「一 : ,若-J,求实数⑴的取值范围 8解: 依题设可知全集】=三且打丨■■-0= 0月=缶1一2三工W5),「月=仗冲+1=工w2喘_1},由题设 分类如下: ①若',贝Um^1>2mn1=mV2. ②若加工0,则m^i<2mn1,且I®用一1«5,解得2<3. 由①②可得: me3. •••实数m的取值范围为{m|mc3}. 9、已知全集U={|a-1|,(a-2)(a-1),4,6}. (1)若-八「•求实数a的值; (2)若: 4'求实数a的值. 9、解: (1)tL•厂一;'且多U, •••|a-1|=0,且(a-2)(a-1)=1,或|a-1|=1,且(a-2)(a-1)=0; 第一种情况显然不成立,在第二种情况中由|a-1|=1得a=0或a=2, --a=2. (2)依题意知|a-1|=3,或(a-2)(a-1)=3,若|a-1|=3,则a=4,或a=-2; 若(a—2)(a—1)=3,贝U- 经检验知a=4时,(4—2)(4—1)=6,与元素的互异性矛盾. 二a=-2或亠. 10、设集合A={: : 广「二1},B屮|-,*},若A B=B求实数二的值. 10、解: 先化简集合A=J'.由A】B=B则Fa,可知集合B可为 二: ,或为{0},或{-4},或". (i)若B』: ,则贝: ,解得立<-: ; (ii)若--B,代入得--=0=应=1或: '=一-, 当丸=1时,B=A符合题意; 当: 』=-1时,B={0}二A,也符合题意. (iii)若一4^B,代入得工上L=口=7或“=1, 当: 』=1时,已经讨论,符合题意; 当屯=7时,B={-12,—4},不符合题意. 综上可得,^=1或立€-1. 11、已知集合A={x|x—4m灶2计6=0},B={x|xV0},若AABm,求实数m 的取值范围. =^|A=(-4jK)3-4(2^4-5)^0}=(/w|或朋 11、解: 设全集'」 m皂U, <珂4-x-=4^鼻0, 若方程X2—4mx+2m^6=0的两根x’,x? 均非负,贝卩山忑八载以―D 胆沖一 •••{m|-}关于U的补集是{m|m<—1},二实数m的取值范围是 {m|m<—1}. 1、(全国I,1)设集合A={4,5,7,9},B={3,4,乙8,9},全集U=AUB,则集合・⑺厂启)中的元素共有() A.3个B.4个C.5个D.6个 答案: A 解析: 2、(福建,2)已知全集U=R,集合A={x|x2—2x>0},则干」等于() A.{x|0 C.{x|x<0或x>2}D.{x|x<0或x>2} 答案: A 解析: ■/x2—2x>0,二x(x—2)>0,得x<0或x>2, •••A={x|x<0或x>2},[4;.■i•. 3、(山东,1)集合A={0,2,a},B={1,a2}.若AUB={0,1,2,4,16},则a的值为() A.0B.1C.2D.4 答案: D 解析: tAUB={0,1,2,a,a2},又AUB={0,1,2,4,16},•{a,a2}={4,16},•a=4,故选D. 集合中的交、并、补等运算,可以借助图形进行思考。 图形不仅可以使各集合之间的相互关系直观明了,同时也便于将各元素的归属确定下来,使抽象的集合运算能建立在直观的形象思维基础上.因此图形既是迅速理解题意的工具,又是正确解题的手段• 例1、某地对农户抽样调查,结果如下: 电冰箱拥有率为49%,电视机拥有率为85%, 洗衣机拥有率为44%,至少拥有上述三种电器中两种以上的占63%,三种电器齐全的 为25%,那么一种电器也没有的相对贫困户所占比例为() 分析: 这是一个小型应用题.把各种人群看做集合,本题就是已知全集元素个数,求其某个子集的元素个数,可借助Venn图解法. 解: 不妨设调查了100户农户, U={被调查的100户农户}, A={100户中拥有电冰箱的农户}, B={100户中拥有电视机的农户}, C={100户中拥有洗衣机的农户}, 由图知,丿U2UC的元素个数为49+85+44—63-25=90. 则。 僅的元素个数为100—90=10. 答案: A 一般此类题利用Venn图直观手段,使集合中元素的个数,以及集合间的关系更直接的显示,进而根据图逐一把文字陈述的语句“翻译”为数学符号语言,通过解方程和限制条件的运用解决问题。 [变式延伸]某车间有120人,其中乘电车上班的84人,乘汽车上班的32人,两车都乘的18人,求: (1)只乘电车的人数; (2)不乘电车的人数;(3)乘车的人数;(4)不乘车的人数;(5)只乘一种车的人数. 解: 设只乘电车的人数为龙人,不乘电车的人数为》人,乘车的人数为忑人,不乘车的人数为金人,只乘一种车的人数为芒人,如图所示: (1)厂=66人, (2)丁,36人,(3)二=98人,(4)」一--人,(5)•—工人
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- 集合 基本 运算