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不同阶段解决数学问题的技巧和方法
不同阶段解决数学问题的技巧和方法
数学一直是检验学生逻辑思维能力的学科。
小学数学比较简单。
一般来说,只需要直接计算即可。
到了中高中,难度就加深了。
以下是边肖为大家整理的不同阶段数学解题技巧,希望对大家有所帮助!
小学数学解题方法
1.物理演示方法
用身边的物体演示数学题的条件和问题,以及条件和条件的关系,并在此基础上分析思考,寻求问题的解决方案。
这种方法可以将数学内容形象化,将数量关系具体化。
比如:
遇到数学方面的问题。
通过物理演示,不仅可以解决“同时、相向、相约”的术语,还可以为学生指明思维方向。
另一个例子是在圆形(方形)池塘周围植树的问题。
如果能进行实际操作,效果会好很多。
在二年级数学课本中,“三个孩子见面握手,每两个人握手一次,要握手多少次”,“三张不同的数字卡能把多少个两位数变成两位数”。
这种关于排列组合的知识,如果在小学教学中进行实物演示,很难达到预期的教学目标。
尤其是一些数学概念,如果没有实物的演示,小学生是无法真正掌握的。
矩形区域、长方体识别、圆柱体体积等的研究。
一切都依赖物理演示作为思维的基础。
因此,小学数学教师要尽可能多的制作数学教(学)用工具,这些教(学)用工具使用后要保存好,重复使用。
这样可以有效提高课堂教学效率,提高学生的学习成绩。
2.图解
借助直观的图形,我们可以确定思维方向,找到思路,找到问题的解决方案。
图解法直观可靠,便于分析数字与形状的关系,不受逻辑推导的限制,灵活豁达。
然而,图解法依赖于人们对表象的处理和安排的可靠性。
图解法一旦与实际情况不符,很容易使在此基础上的联想和想象出错或出错,进而导致错误的结果。
比如有的数学老师爱手绘数学图形,难免会导致不准确,学生产生误解。
在课堂教学中,我们应该用图形的方法来解决问题。
有些题目,图片出来了,结果出来了;是的,图片不错,学生会理解问题的意思;有些问题,画图可以帮助分析问题的意义和启发思路,作为其他解答的辅助手段。
例:
把一块木头锯成三段需要24分钟,把一块木头锯成六段需要多少分钟?
(略)
思维方法是:
图解法。
思维方向是:
看了几次,每次几分钟。
想法:
锯3段需要多少次,锯6段需要多少分钟?
例2:
等腰三角形中,D点为底边BC的中点,图A的面积大于图B,图A的周长大于图B(略)
思维方法:
图解法。
思维方向:
先比较面积,再比较周长。
想法:
做一条辅助线。
图A面积大,图B面积小,所以“图A面积大于图B面积”是正确的。
线段AD比曲线AD短,所以“图A周长比图B周长长”是错误的。
3.列表方法
用表格分析、思考、发现想法、解决问题的方法叫列表法。
列表法清晰,便于分析比较,提示规则,也有利于记忆。
其局限性在于解决范围小,适用问题窄,大多与发现或展示规则有关。
比如“列表法”多用于正负比例内容、数据排序、乘法口诀、数字顺序的教学。
用列表法解决传统数学问题:
鸡兔同笼。
制作三个表格:
第一个表格是一个一个的示例方法。
根据鸡和兔子有20只的条件,假设只有一只鸡,那么就有19只78条腿的兔子.所以把它们一个个列出来,直到找到想要的答案;在第二个表中,我们找到了腿数和腿数在枚举几个之后的规律,从而减少了枚举的次数;第三张表从中间开始列出。
由于有20只鸡和20只兔,所以相互选择10只鸡,然后根据实际数据确定上市方向。
4.探索方法
按照一定的方向,试图找出解决问题的规律和思路的方法叫做探究法。
中国著名数学家华说,在数学中,“困难不在于有没有公式证明,而在于如何在没有公式之前找到它。
”苏姆林斯基说:
在人的内心深处,有一种根深蒂固的需要,那就是成为发现者、研究者和探索者,这种需要在孩子的精神世界里尤为强烈。
“学习要以探究为核心”是新课程的基本理念之一。
当人们很难把问题变成简单的、基本的、熟悉的、典型的问题时,人们经常采取的一个好方法就是探索和尝试。
一是询问方向要准确,兴趣要高,避免随意尝试或形式主义询问。
比如教“音阶”时,老师创设“学生出题,考老师”的教学情境,老师问:
“我们现在要考试吗?
”学生一听,就很奇怪。
就在学生疑惑的时候,老师说:
“你愿意改变过去的考试方式,让你考老师吗?
”学生们听后非常感兴趣。
老师说:
“这是一张地图。
你可以用尺子任意测量两个地方的距离,我可以很快告诉你两个地方的实际距离。
你信吗?
”于是学生上台测量计数,老师一一回答对应的实际距离。
这时,学生们更加惊讶了。
他们异口同声地说:
“老师,请快告诉我们,你是怎么算出来的?
”老师说:
“其实有一个好朋友在暗中帮助老师。
你知道是谁吗?
想知道吗?
”因此,介绍了要学习的内容“量表”。
二是定向推测,反复实践,在不断分析调整中寻找规律。
例3:
找出填入数字的规则。
(1)1、4、10、13、19;
(2)2、8、18、32、72、
三是自主探究与合作探究相结合。
独立、自由地思考时间和空间;合作可以在知识上取长补短,在方法上取长补短,偶尔还能碰撞出智慧的火花。
在小学数学教学活动中,教师要尽力为学生创设探究的情境,为学生创造探究的机会,鼓励具有探究精神和习惯的学生。
5.观察法
通过大量的具体事例,总结发现事物一般规律的方法叫观察。
巴甫洛夫说:
“你应该先学会观察,不学会观察,你永远成不了科学家。
”
小学数学中“观察”的内容一般包括:
数的变化规律和位置特征;条件与结论的关系;话题的结构特征;图形的特征、大小和位置关系。
。
如:
观察一组算式:
25×4=4×25,62×11=11×62,100×6=6×100……归纳出乘法交换率:
在乘法算式里,交换两个因数的位置,积不变。
“观察”的要求:
第一,观察要细致、准确。
例4:
找出下列各题错在哪里,并改正。
(1)25×16=25×(4×4)=(25×4)×(25×4);
(2)18×36+18×64=(18+18)×(36+64)
例5:
直接写出下列各题的得数:
(1)3.6+6.4=
(2)3.6+6.04=
(3)125×57×0.04(4)(351-37-13)÷5=
第二,科学观察。
科学观察渗透了更多的理性因素,它是有目的,有计划地察看研究对象。
比如,在教学长方体的认识时,要做到“有序”观察:
(1)面--形状、个数、面与面之间的关系;
(2)棱--棱的形成、条数、棱与棱之间的关系(相对的棱相等;相对的棱有四条;长方体的棱可以分为三组);
(3)顶点--顶点的形成、个数,认识顶点的一个重要作用是引出长方体长、宽、高的概念。
第三,观察必定与思考结合。
这是一年级下学期的一道思考题,如果只观察不思考,这道题目让干什么就不知道。
6、典型法
针对题目去联想已经解过的典型问题的解题规律,从而找出解题思路的方法叫做典型法。
典型是相对于普遍而言的。
解决数学问题,有些需要用一般方法,有些则需要用特殊(典型)方法。
比如,归一、倍比和归总算法、行程、工程、消同求异、平均数等。
运用典型法必须注意:
(1)要掌握典型材料的关键及规律。
例6:
已知爸爸比儿子大30岁,爸爸今年的年龄正好是儿子的7倍。
爸爸、儿子今年分别是多少岁?
关键点在:
爸爸比儿子大30岁,爸爸的年龄比儿子多几倍。
典型题都有典型解法,要想真正学好数学,即要理解和掌握一般思路和解法,还要学会典型解法。
(2)熟悉典型材料,并能敏捷地联想到所适用的典型,从而确定所需要的解题方法。
例7:
见到“某城市有一条公共汽车线路,长16500米,平均每隔500米设一个车站。
这条线路需要设多少个车站?
”这样题目,就应该联想到上面所讲到的“锯木头用多少分钟”的典型问题。
(3)典型和技巧相联系。
例8:
甲乙两个工程队共有82人,如果从乙队调8人到甲队,两队人数正好相等。
甲乙两队原来各有多少人?
这题目的技巧:
调前、调后两队总人数没变。
先算调后各队人数,再算原来各队人数。
7、放缩法
通过对被研究对象的放缩估计来解决问题的.方法叫做放缩法。
放缩法灵活、巧妙,但有赖于知识的拓展能力及其想象能力。
例9:
求12和9的小公倍数。
求两个数的小公倍数一般的方法是“短除式”方法,它是根据这两个数的质因数情况来求出它们的小公倍数的。
但也有两个典型方法:
一是“如果两个数是互质数,那么这两个数的小公倍数就是它们的乘积”;二是“如果大数是小数的倍数,那么这两个数的小公倍数就是大数”。
现在我们根据典型方法二,进行扩展运用,放大“大数”来求12和9的小公倍数。
12不是9的倍数,就把它放大2倍,得24,仍然不是9的倍数,放大3倍,得36,36是9的倍数,那么,12和9的小公倍数就是36。
这种方法的关键点在于,如果大数不是小数的倍数,就把大数翻倍,但一定从2倍开始,如果一下子扩大6倍,得数是它们的公倍数,而不是小的了。
例10:
期末考试,小刚的语文成绩和英语成绩的和是197分;语文和数学成绩加起来是199分;数学和英语成绩加起来是196分。
想一想,小刚的哪科成绩高?
你能算出小刚的各科成绩吗?
思路一:
“放大”。
通过观察发现,语、数、外三科成绩在题目中各出现两次,我们求197+199+196的和,这个和是“语数外成绩的2倍”,除以2得三科成绩之和,再减去任意两科的成绩,就得到第三科的成绩。
思路二:
“缩小”。
我们用语数成绩的和减去语外的成绩,199-197=2(分),这是数学减英语成绩的差。
数学和英语的和是196分,再求数学的分数就不难了。
放缩法有时运用在估算和验算上。
例11:
检验下列计算结果是否正确?
(1)18.7×6.9=137.3
(2)17485÷6.6=3609
对于
(1)用总体估计,放大至19×7=133,估计得数要小于133,所以本题结果错误。
对于
(2)用高位估计,把17看作18,把6.6看作6,18÷6=3,显然答数的高位不会是3,故本题结果也不正确。
例12:
把鸡和兔放在一起,共有48个头,114只足,问鸡、兔各有几只。
这是一道鸡兔同笼的典型问题,我们也用放缩法,不妨把鸡和兔的足数缩小2倍,那么,鸡的足数和它的头数一样,而兔的足数是它的只数的2倍。
所以,总的足数缩小2倍后,鸡和兔的总足数与它们的总只数相差数就是兔的只数。
8、验证法
你的结果正确吗?
不能只等教师的评判,重要的是自己心里要清楚,对自己的学习有一个清楚的评价,这是优秀学生必备的学习品质。
验证法应用范围比较广泛,是需要熟练掌握的一项基本功。
应当通过实践训练及其长期体验积累,不断提高自己的验证能力和逐步养成严谨细致的好习惯。
(1)用不同的方法验证。
教科书上一再提出:
减法用加法检验,加法用减法检验,除法用乘法验算,乘法用除法验算。
(2)代入检验。
解方程的结果正确吗?
用代入法,看等号两边是否相等。
还可以把结果当条件进行逆向推算。
(3)是否符合实际。
“千教万教教人求真,千学万学学做真人”陶行知先生的话要落实在教学中。
比如,做一套衣服需要4米布,现有布31米,可以做多少套衣服?
有学生这样做:
31÷4≈8(套)
按照“四舍五入法”保留近似数无疑是正确的,但和实际不符合,做衣服的剩余布料只能舍去。
教学中,常识性的东西予以重视。
做衣服套数的近似计算要用“去尾法”。
(4)验证的动力在猜想和质疑。
牛顿曾说过:
“没有大胆的猜想,就做不出伟大的发现。
”“猜”也是解决问题的一种重要策略。
可以开拓学生的思维、激发“我要学”的愿望。
为了避免瞎猜,一定学会验证。
验证猜测结果是否正确,是否符合要求。
如不符合要求,及时调整猜想,直到解决问题。
初中数学难题解答技巧
1、数学强“秘籍”——纠错本
纠错本是非常重要的学习工具。
但纠错的内容一定要删繁就简,结合个人的情况,有详有略。
如果仅仅只是针对测试时马虎造成的题目,完全可以不写。
但如果是自己没有掌握好的知识或者认为非常重要的知识点,那就一定要记下来,更要写的够详尽、够清楚。
纠错本事实上也是一本知识点汇总的秘籍。
2、考试随时“回头看”,省掉检查大麻烦
考试时做完题要复查,这个复查不同于我们常说的检查。
日常学习生活中总会听到:
“一边做一边检查是发现不了错误的”说法。
其实就初中阶段的数学来说,越往高年级走难度会越大。
这时候90%的学生在考试中已经拿不出来时间再从头开始检查一遍了。
这就要求养成一边做题一边自检的习惯。
比如,经常将题目要求的“选正确的答案”做成选成错误答案的人特别要注意,每选择一个题目要立刻回头看一眼,这样就能减少很多麻烦。
大题的步骤也是这样。
每次做完一道题目,要迅速浏览一眼做题过程。
当然,这就需要本人在答题时做到步骤井然有序,以方便快速浏览。
做到这一点其实也会减少阅卷老师的烦恼,也大大增加了分步骤得分的可能。
数学大题,说到底其实就是“说理”,以数学概念或数学真理来对某一个结论作出解释说明,所以做题步骤的有序性非常重要。
3、公式理解到位,题目一看就有思路
理解透彻概念、公式含义。
理解不透公式就不知道怎么运用,同时,理解公式后会让人容易抓住一个题目想要考什么。
就拿几何题目来说,许多需要做辅助线的问题,很多孩子想不到,就是想到也不知道该怎么做,该连接那几个点,其实这都是理解不透彻定理、概念引起的。
抓不住题目的灵魂,就不知道该怎么去入手处理,而理解了定理之后就很容易发现其中存在的各种数量或位置关系以及缺少的某个量到底是什么。
4、简单小题别老做,一道大题顶十个
会做的题无需重复多遍。
有些人会觉得课后作业做的非常的累。
其实,相同类型的题目做的太多并没有实质性的帮助,相反,重复做作业耗费的时间和精力还会让人厌倦。
多做综合性题目,综合性题目对孩子的帮助远远比某一种类型的题目大。
这一点是承接上一条来说的。
综合性题目由于涉及到的知识点很多,可以让我们很快速的了解到自己哪里出了问题。
同时,这类题目由于十分需要做到对知识点的融会贯通和活学活用,所以对同学们的帮助是非常大的。
“一道题抵得上十道题就是这个道理”。
高中数学解题技巧
1、函数
函数题目,先直接思考后建立三者的联系。
首先考虑定义域,其次使用“三合一定理”。
2.方程或不等式
如果在方程或是不等式中出现超越式,优先选择数形结合的思想方法;
3.初等函数
面对含有参数的初等函数来说,在研究的时候应该抓住参数没有影响到的不变的性质。
如所过的定点,二次函数的对称轴或是……;
4.选择与填空中的不等式
选择与填空中出现不等式的题目,优选特殊值法;
5.参数的取值范围
求参数的取值范围,应该建立关于参数的等式或是不等式,用函数的定义域或是值域或是解不等式完成,在对式子变形的过程中,优先选择分离参数的方法;
6.恒成立问题
恒成立问题或是它的反面,可以转化为值问题,注意二次函数的应用,灵活使用闭区间上的值,分类讨论的思想,分类讨论应该不重复不遗漏;
7.圆锥曲线问题
圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成,直线与圆锥曲线相交问题,若与弦的中点有关,选择设而不求点差法,与弦的中点无关,选择韦达定理公式法;使用韦达定理必须先考虑是否为二次及根的判别式;
8.曲线方程
求曲线方程的题目,如果知道曲线的形状,则可选择待定系数法,如果不知道曲线的形状,则所用的步骤为建系、设点、列式、化简(注意去掉不符合条件的特殊点);
9.离心率
求椭圆或是双曲线的离心率,建立关于a、b、c之间的关系等式即可;
10.三角函数
三角函数求周期、单调区间或是值,优先考虑化为一次同角弦函数,然后使用辅助角公式解答;解三角形的题目,重视内角和定理的使用;与向量联系的题目,注意向量角的范围;
11.数列问题
数列的题目与和有关,优选和通公式,优选作差的方法;注意归纳、猜想之后证明;猜想的方向是两种特殊数列;解答的时候注意使用通项公式及前n项和公式,体会方程的思想;
12.立体几何问题
立体几何第一问如果是为建系服务的,一定用传统做法完成,如果不是,可以从第一问开始就建系完成;注意向量角与线线角、线面角、面面角都不相同,熟练掌握它们之间的三角函数值的转化;锥体体积的计算注意系数1/3,而三角形面积的计算注意系数1/2
;与球有关的题目也不得不防,注意连接“心心距”创造直角三角形解题;
13.导数
导数的题目常规的一般不难,但要注意解题的层次与步骤,如果要用构造函数证明不等式,可从已知或是前问中找到突破口,必要时应该放弃;重视几何意义的应用,注意点是否在曲线上;
14.概率
概率的题目如果出解答题,应该先设事件,然后写出使用公式的理由,当然要注意步骤的多少决定解答的详略;如果有分布列,则概率和为1是检验正确与否的重要途径;
15.换元法
遇到复杂的式子可以用换元法,使用换元法必须注意新元的取值范围,有勾股定理型的已知,可使用三角换元来完成;
16.二项分布
注意概率分布中的二项分布,二项式定理中的通项公式的使用与赋值的方法,排列组合中的枚举法,全称与特称命题的否定写法,取值范或是不等式的解的端点能否取到需单独验证,用点斜式或斜截式方程的时候考虑斜率是否存在等;
17.绝对值问题
绝对值问题优先选择去绝对值,去绝对值优先选择使用定义;
18.平移
与平移有关的,注意口诀“左加右减,上加下减”只用于函数,沿向量平移一定要使用平移公式完成;
19.中心对称
关于中心对称问题,只需使用中点坐标公式就可以,关于轴对称问题,注意两个等式的运用:
一是垂直,一是中点在对称轴上。
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