精品初一复习课件实际问题与二元一次方程组二.docx
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精品初一复习课件实际问题与二元一次方程组二
实际问题与二元一次方程组
(二)
知识集结
知识元
增长率问题
知识讲解
增长率问题中常用的基本关系式:
原量×(1+增长率)=增长后的量;
原量×(1-减少率)=减少后的量.
例题精讲
增长率问题
例1.
某中学现有学生500人,计划一年后女生在校生增加3%,男生在校生增加4%,这样,在校学生将增加3.4%,设该校现有女生人数x和男生y,则列方程为( )。
【答案】C
【解析】
题干解析:
设该校现有女生x人、男生y人,根据:
①现有女生人数+现有男生人数=500,②一年后男生增加的人数+一年后女生增加的人数=全校学生增加的人数,列方程组即可.
解:
设该校现有女生x人、男生y人,则列方程为:
,
例2.
某校去年有学生1000名,今年比去年增加4.4%,其中寄宿学生增加了6%,走读学生减少了2%。
问该校去年有寄宿学生与走读学生各多少名?
设去年有寄宿学生x名,走读学生y名,则可列出方程组为.
【答案】
【解析】
题干解析:
此题的等量关系为:
去年寄宿学生与走读生之和为1000;今年总学生增加4.4%=寄宿学生增加了6%+走读生减少了2%.设去年有寄宿学生x名,走读生y名,由题意可知:
.
例3.
某工厂去年的利润(总产值—总支出)为200万元。
今年总产值比去年增加了20%,总支出减少了10%,今年利润为780万元。
去年的总产值,总支出是多少万元?
【答案】
见解析
【解析】
题干解析:
设去年总收入为x万元,去年总支出为y万元,则有:
解得:
答:
去年的总产值为2000万元,总支出是1800万元。
数字问题
知识讲解
解决这类问题,首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示.
如当n为整数时,奇数可表示为2n+1(或2n-1),偶数可表示为2n等.
有关两位数的基本等量关系式为:
两位数=十位数字×10+个位数字;
三位数百位上的数字为a,十位上的数字为b,个位上的数字为c时,这个三位数就可表示为100a+10b+c.
例题精讲
数字问题
例1.
一个两位数的十位数字与个位数字的和是7.如果把这个两位数加上45,那么恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的二位数,则这个二位数是( ).
A.36
B.25
C.61
D.16
【答案】D
【解析】
题干解析:
首先设个位数字为x,十位数字为y,由题意得等量关系:
①十位数字与个位数字的和是7;②原两位数+45=对调后组成的二位数,根据等量关系列出方程再解即可.
解:
设个位数字为x,十位数字为y,由题意得:
,解得:
.
则这个二位数是16.故选:
D.
例2.
某三位数,中间数字为0,其余两个数位上数字之和是9,如果百位数字减1,个位数字加1,则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列,求原三位数.
【答案】
解:
设个位数为x百位上的数为y.
答:
原三位数为504.
【解析】
题干解析:
本题中的等量关系有:
①百位数字+十位数字=9;②百位数字减1,个位数字加1,则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列,根据此等量关系列二元一次方程组求解即可.
例3.
小明和小亮做加减法游戏,小明在一个加数后面多写了一个0,得到的和为242,而小亮在另一个加数后面多写了一个0,得到的和为341。
原来两个加数是多少?
【答案】
解:
设一个加数为x,另一个加数为y.
答:
原来两个加数分别是21、32.
【解析】
题干解析:
在后面多写一个0,实际就是扩大了10倍.两个等量关系为:
10×一个加数+另一个加数=242;一个加数+10×另一个加数=341.
方案决策问题
知识讲解
在解决问题时,常常需合理安排.需要从几种方案中,选择最佳方案,如网络的使用、到不同旅行社购票等,一般都要运用方程解答,得出最佳方案.
例题精讲
方案决策问题
例1.
某企业决定投资不超过20万元建造A、B两种类型的温室大棚.经测算,投资A种类型的大棚6万元/个、B种类型的大棚7万元/个,那么建造方案有( )。
A.2种
B.3种
C.4种
D.5种
【答案】B
【解析】
题干解析:
直接根据题意假设出未知数,进而得出不等式进而分析得出答案.
解:
设建造A种类型的温室大棚x个,建造B种类型的温室大棚y个,根据题意可得:
6x+7y≤20,
当x=1,y=2符合题意;
当x=2,y=1符合题意;
当x=3,y=0符合题意;
故建造方案有3种.故选:
B.
例2.
小张去书店购买图书,看好书店有A,B,C三种不同价格的图书,分别是A种图书每本1元,B种图书每本2元,C种图书每本5元.
(1)若小张同时购买A,C两种不同图书的6本,用去18元,求购买两种图书的本数;
(2)若小张同时购买两种不同的图书10本,用去18元,请你设计他的购书方案;
(3)若小张同时购进A,B,C三种不同图书10本,用去18元,请你设计他的购买方案.
【答案】
(1)设小张购买A种图书x本,则购买C种图书(6﹣x)本.
根据题意,得x+5(6﹣x)=18,解得x=3,则6﹣x=3.
答:
小张购买A种图书3本,购买C种图书3本;
(2)分三种情况讨论:
①设购买A种图书y本,则购买B种图书(10﹣y)本.根据题意,得y+2(10﹣y)=18,解得y=2,则10﹣y=8;
②设购买A种图书y本,则购买C种图书(10﹣y)本.根据题意,得y+5(10﹣y)=18,解得y=8,则10﹣y=2;
③设购买B种图书y本,则购买C种图书(10﹣y)本.根据题意,得2y+5(10﹣y)=18,解得y=
,则10﹣y=﹣
,不合题意舍去.
综上所述,小张共有2种购书方案:
方案一:
购买A种图书2本,购买B种图书8本;
方案二:
购买A种图书8本,购买C种图书2本;
(3)设购买A种图书m本,购买B种图书n本,则购买C种图书(10﹣m﹣n)本.
根据题意,得m+2n+5(10﹣m﹣n)=18,整理,得4m+3n=32,
∵m、n都是正整数,0<4m<32,
∴0<m<8,将m=1,2,3,4,5,6,7分别代入,
仅当m=5时,n为整数,n=4,∴m=5,n=4,10﹣m﹣n=1.
答:
小张的购书方案为:
购买A种图书5本,购买B种图书4本,购买C种图书1本.
【解析】
题干解析:
(1)设小张购买A种图书x本,则购买C种图书(6﹣x)本,根据购买A,C两种不同图书一共用去18元列出方程,求解即可;
(2)因为书店有A,B,C三种不同价格的图书,而小张同时购买两种不同的图书,所以要将A,B,C两两组合,分三种情况:
A,B;A,C;B,C,每种情况都可以根据下面两个相等关系列出方程,两种不同价格的图书本数之和=10,购买两种不同价格的图书钱数之和=18,然后根据实际含义确定他们的解;(3)有两个等量关系:
A种图书本数+B种图书本数+C种图书本数=10,购买A种图书钱数+购买B种图书钱数+购买C种图书钱数=18.设两个未知数,得出二元一次方程,根据实际含义确定解.
例3.
已知:
用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨;用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨。
某物流公司现有31吨货物,计划同时租用A型车a辆,B型车b辆,一次运完,且恰好每辆车都装满货物。
根据以上信息,解答下列问题:
(1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨?
(2)请你帮该物流公司设计租车方案。
(3)若A型车每辆需租金100元/次,B型车每辆需租金120元/次。
请选出最省钱的租车方案,并求出最少租车费。
【答案】
见解析
【解析】
题干解析:
(1)设1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货x吨、y吨,根据题意得:
解得
故1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货3吨、4吨。
(2)根据题意可得:
3a+4b=31b=
使a、b都为整数的情况共有a=1,b=7或a=5,,=4或a=9,b=1三种情况。
故租车方案分别为①A型车1辆,B型车7辆;②A型车5辆,B型车4辆;③A型车9辆,B型车1辆。
(3)设车费为ω元,则ω=100a+120b方案①花费为100×1+120×7=940(元);方案②花费为100
×5+120×4=980(元);方案③花费为100×9+120×1=1020(元)。
故方案①最省钱,即租用A型车1辆,B型车7辆,最少租车费为940元。
解决图表信息题
知识讲解
运用二元一次方程组解决有关图形与图表信息问题 ,二元一次方程组的应用是初中教材中的重要内容,也是中考的热点内容之一,特别是近几年中考中,将已知条件以图形或图表等形式给出题干,出题手法新颖,给人以耳目一新的感觉。
包含:
一、实物信息类;二、图形信息类;三、对话信息类.
例题精讲
解决图表信息题
例1.
某校初三
(2)班40名同学为“希望工程”捐款,共捐款100元,捐款情况如表:
表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已经看不清楚.
若设捐款2元的有x名同学,捐款3元的有y名同学,根据题意,可得方程组( )。
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
题干解析:
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组,解题的关键是明确题意,列出相应的方程组.
解:
由题意可得,
化简,得
故选A.
例2.
如图所示,宽为50cm的矩形图案由10个全等的小长方形拼成,其中一个小长方形的面积为( ).
A.400cm2
B.500cm2
C.600cm2
D.4000cm2
【答案】A
【解析】
题干解析:
根据题意,依据图设小长方形的长为
,宽为
,则满足
则
故选A.
例3.
初中毕业班质量考试结束后,老师和小亮进行了对话。
老师:
你这次质检语数英三科总分338分,据估计今年要上达标校,语数英三科总分需达到368分,你有何计划?
小亮:
中考时,我语文成绩保持123分,英语成绩再多18分,数学成绩增加10%,则刚好达到368分。
请问:
小亮质检英语、数学成绩各多少?
【答案】
见解析
【解析】
题干解析:
解:
设小亮的英语成绩为x分,数学成绩为y分,由题意得:
答:
小亮质检英语成绩为95分,数学成绩为120分。
当堂练习
单选题
练习1.
一个两位数的十位数字与个位数字的和是7.如果把这个两位数加上45,那么恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的二位数,则这个二位数是( ).
A.36
B.25
C.61
D.16
填空题
练习1.
某校去年有学生1000名,今年比去年增加4.4%,其中寄宿学生增加了6%,走读学生减少了2%。
问该校去年有寄宿学生与走读学生各多少名?
设去年有寄宿学生x名,走读学生y名,则可列出方程组为.
练习2.
根据图中提供的信息,可知一个杯子的价格是 元.
练习3.
如图所示的两架天平保持平衡,且每块巧克力的质量相等,每个果冻的质量也相等,则一块巧克力的质量为________g.
解答题
练习1.
某城市现有人口42万,估计一年后城镇人口增加0.8%,农村人口增加1.1%,这样全市人口增加1%,求这个城市的城镇人口与农村人口.
练习2.
某企业去年的总产值比总支出多500万元,而今年计划的总产值比总支出多950万元,已知今年计划总产值比去年增加15%,而计划总支出比去年减少10%,求今年计划的总产值和总支出各是多少?
练习3.
有一个两位数,个位上的数字比十位上的数字大5,如果把这两个数字的位置对换,那么所得的新数与原数的和是143,求这两个数.
练习4.
一个两位数,十位上的数字比个位上的数字大5,如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置,那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9,求这个两位数?
练习5.
某地生产一种绿色蔬菜,若在市场上直接销售,每吨利润为1000元;经粗加工后销售,每吨利润可达4500元;经精加工后销售,每吨利润涨至7500元.当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨,该公司加工厂的生产能力是:
如果对蔬菜进行粗加工,每天可以加工16吨;如果进行细加工,每天可加工6吨.但两种加工方式不能同时进行.受季节条件的限制,公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕,为此公司研制了三种加工方案
方案一:
将蔬菜全部进行粗加工;
方案二:
尽可能多的对蔬菜进行精加工,没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售;
方案三:
将部分蔬菜进行精加工,其余蔬菜进行粗加工,并恰好在15天完成;
你认为选择哪种方案获利最多?
为什么?
练习6.
货主两次租用某汽车运输公司的甲,乙两种货车运送货物往某地,第一次租用甲货车2辆和乙货车3辆共运送15.5吨货物,第二次租用甲货车3辆和乙货车2辆共运送17吨货物,两次运输都按货车的最大核定载货量刚好将货物运送完,没有超载.
(1)求甲,乙两种货车每辆最大核定载货量是多少吨?
(2)已知租用甲种货车运费为每辆1200元,租用乙种货车运费为每辆800元,现在货主有24吨货物需要运送,而汽车运输公司只有2辆甲种货车,其他的都是乙种货车,问有几种租车方案?
哪种方案费用较少?
练习7.
某同学在A、B两购物中心发现他看中的运动服的单价相同,球鞋的单价也相同,运动服和球鞋的单价之和为452元,且运动服的单价比球鞋的单价的4倍少8元.
(1)求该同学看中的运动服和球鞋的单价各是多少元?
(2)某一天,该同学上街,恰好赶上商家促销,A所有的商品打八折销售,B全场每购物满100元返购物券30元销售(不足100元不返券,购物券全场通用,只限于购物),他只带了400元钱.如果他只在一家购物中心购买这两种物品,你能说明他可以选择哪一家购买更省钱吗?
还有哪些购买方式?
哪种方式更划算?
练习8.
初中毕业班质量考试结束后,老师和小亮进行了对话。
老师:
你这次质检语数英三科总分338分,据估计今年要上达标校,语数英三科总分需达到368分,你有何计划?
小亮:
中考时,我语文成绩保持123分,英语成绩再多18分,数学成绩增加10%,则刚好达到368分。
请问:
小亮质检英语、数学成绩各多少?
练习9.
根据图中给出的信息,解答下列问题:
(1)放入一个小球水面升高 cm,放入一个大球水面升高 cm.
(2)如果要使水面上升到50cm,应放入大球、小球各多少个?
练习10.
已知:
用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨;用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨。
某物流公司现有31吨货物,计划同时租用A型车a辆,B型车b辆,一次运完,且恰好每辆车都装满货物。
根据以上信息,解答下列问题:
(1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨?
(2)请你帮该物流公司设计租车方案。
(3)若A型车每辆需租金100元/次,B型车每辆需租金120元/次。
请选出最省钱的租车方案,并求出最少租车费。
单选题:
D
填空题:
820
练习1:
【答案】
解:
设现有城镇人口x万人,农村人口y万人.根据题意得:
答:
这个城市的现有城镇人口和农村人口分别是14万人和28万人.
【解析】
题干解析:
本题的等量关系为:
现有城镇人口+现有农村人口=42万;一年后城镇人口+一年后农村人口=42万的1%,先设出两个未知数,再根据题给信息表示出另外两个量,便可以根据等量关系列出二元一次方程组,进而求解.
练习2:
【答案】
解:
设去年计划的总产值是x万元,总支出y万元.根据题意,得
答:
今年计划的总产值为2300万元,总支出为1350万元.
【解析】
题干解析:
设去年计划的总产值是x万元,总支出y万元.根据“去年的总产值比总支出多500万元,今年的总产值比去年增加15%,总支出比去年节约10%.因此,总产值比总支出多950万元”,列方程组,求出方程组的解,继而即可分别求出去年的总产值和总支出.
练习3:
【答案】
解:
设这个两位数个位上的数字为x,十位上的数字为y,则原数为10y+x,把两个数字的位置对换后,所得新数为10x+y.
答:
这个两位数为10y+x=10×4+9=49.
【解析】
题干解析:
两位数的表示方法:
当十位上的数字为a,个位上的数字为b时,这个两位数就可表示为10a+b.本题中的等量关系有:
①原数中个位上的数字-十位上的数字=5;②原数+新数=143.
练习4:
【答案】
解:
设这个两位数个位上的数字为x,十位上的数字为y,则原数为10y+x,把两个数字的位置对换后,所得新数为10x+y.
答:
原来的两位数是72.
【解析】
题干解析:
本题中的等量关系有:
①原数中十位上的数字-个位上的数字=5;②原数的一半-9=新数.
练习5:
【答案】
解:
方案一获利为:
4500×140=630000(元).
方案二获利为:
7500×(6×15)+1000×(140-6×15)=675000+50000=725000(元).
方案三获利如下:
设将x吨蔬菜进行精加工,y吨蔬菜进行粗加工,则根据题意,得:
所以方案三获利为:
7500×60+4500×80=810000(元).
因为630000<725000<810000,所以选择方案三获利最多.
答:
方案三获利最多,最多为810000元.
【解析】
题干解析:
如何对蔬菜进行加工,获利最大,是生产经营者一直思考的问题.本题正是基于这一点,对绿色蔬菜的精、粗加工制定了三种可行方案,我们需要分别计算出三种方案所获利润,再进行比较,选出最佳方案.
练习6:
【答案】
解:
(1)设甲,乙两种货车每辆核定最大载货量为x吨,y吨.依题意得,
,
答:
甲种货车最大载货量是4吨,乙种货车最大载货量是2.5吨;
(2)设租用m辆乙种货车,
①若全部租用乙种货车,则2.5m=24,m=9.6,需用10辆乙种货车,费用为8000元;
②若租用1辆甲种货车,其余为乙种货车,则4+2.5m=24,m=8,用1辆甲种货车,8辆乙种货车,刚好把货物运完,费用为7600元,
③若租用2辆甲种货车,其余为乙种货车,则8+2.5m=24,m=6.4,需租用2辆甲种货车,7辆乙种货车,费用为8000元,
综上所述,共有3种租车方案,租用1辆甲种货车,8辆乙种货车费用较少.
【解析】
题干解析:
(1)设甲,乙两种货车每辆核定最大载货量为x吨,y吨,构建方程组即可解决问题;
(2)设租用m辆乙种货车,分三种情形列出方程即可解决问题.
练习7:
【答案】
(1)设球鞋的单价为x,则运动服的单价为y,
即该同学看中的运动服的单价为360元,球鞋的单价为92元.
(2)在超市A购买运动服与球鞋各一件需花费现金:
452×80%=361.6(元),因为361.6<400,所以可以选择超市A购买.
在超市B可花费现金360元购买运动服,再利用得到的90元返券,加上2元现金购买球鞋,总计花费现金:
360+2=362(元).
因为362<400,所以也可以选择在B超市购买.而362>361.6,所以在超市A购买更省钱.
【解析】
题干解析:
(1)设球鞋的单价为x,则运动服的单价为y,根据运动服和球鞋的单价之和为452元可列出方程,解出即可.
(2)根据两家店的优惠方式,分别计算出两家店的花费,从而即可判断出在哪一家买更实惠.
练习8:
【答案】
见解析
【解析】
题干解析:
解:
设小亮的英语成绩为x分,数学成绩为y分,由题意得:
答:
小亮质检英语成绩为95分,数学成绩为120分。
练习9:
【答案】
见解析
【解析】
题干解析:
(1)设一个小球使水面升高x厘米,由题意,得3x=32-26,解得x=2,设一个大球使水面升高y厘米,由题意,得2y=32-26,解得y=3.所以,放入一个小球水面升高2cm,放入一个大球水面升高3cm.
(2)设应放入大球m个,小球n个.由题意,得
解得
答:
如果要使水面上升到50cm,应放入大球4个,小球6个.
练习10:
【答案】
见解析
【解析】
题干解析:
(1)设1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货x吨、y吨,根据题意得:
解得
故1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货3吨、4吨。
(2)根据题意可得:
3a+4b=31b=
使a、b都为整数的情况共有a=1,b=7或a=5,,=4或a=9,b=1三种情况。
故租车方案分别为①A型车1辆,B型车7辆;②A型车5辆,B型车4辆;③A型车9辆,B型车1辆。
(3)设车费为ω元,则ω=100a+120b方案①花费为100×1+120×7=940(元);方案②花费为100
×5+120×4=980(元);方案③花费为100×9+120×1=1020(元)。
故方案①最省钱,即租用A型车1辆,B型车7辆,最少租车费为940元。
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