椭圆与双曲线的对偶性质.docx
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椭圆与双曲线的对偶性质
椭圆与双曲线的对偶性质
--(必背的经典结论)
资料来源:
椭圆
1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.
2.PT平分△PF1F2在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.
3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
5.若000(,)Pxy在椭圆22
221xyab
+=上,则过0P的椭圆的切线方程是00221xxyyab+=.6.若000(,)Pxy在椭圆22
221xyab
+=外,则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是0
0221xxyyab
+=.7.椭圆22
221xyab
+=(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆上任意一点12FPFγ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为122tan2
FPFSbγ∆=.8.椭圆22
221xyab
+=(a>b>0)的焦半径公式:
10||MFaex=+,20||MFaex=-(1(,0)Fc-,2(,0)Fc00(,)Mxy).
9.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点,则MF⊥NF.
10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点,A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,则MF⊥NF.
11.AB是椭圆22
221xyab
+=的不平行于对称轴的弦,M),(00yx为AB的点,则2
2OMABbkka
⋅=-,即0
202yaxbKAB-=。
12.若000(,)Pxy在椭圆22
221xyab
+=内,则被Po所平分的点弦的方程是2200002222xxyyxyabab+=+.
13.若000(,)Pxy在椭圆
22
22
1xyab+=内,则过Po的弦点的轨迹方程是22002222xxyyxyabab
+=+.双曲线
1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.
2.PT平分△PF1F2在点P处的内角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴
为直径的圆,除去长轴的两个端点.3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.
4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:
P在右支;外切:
P在左支)
5.若000(,)Pxy在双曲线22221xyab
-=(a>0,b>0)上,则过0P的双曲线的切线方程是00221xxyy
ab
-=.6.若000(,)Pxy在双曲线22
221xyab
-=(a>0,b>0)外,则过Po作双曲线的两条切
线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是00221xxyy
ab
-=.
7.双曲线22
221xyab
-=(a>0,b>o)的左右焦点分别为F1,F2,点P为双曲线上任意
一点12
FPFγ∠=,则双曲线的焦点角形的面积为122
t2
FPFSbcoγ∆=.8.双曲线22
221xyab
-=(a>0,b>o)的焦半径公式:
(1(,0)Fc-,2(,0)Fc
当00(,)Mxy在右支上时,10||MFexa=+,20||MFexa=-.
当00(,)Mxy在左支上时,10||MFexa=-+,20||MFexa=--
9.设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点,A为双曲线长轴上一个顶点,
连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点,则MF⊥NF.10.过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A1、A2为双曲线实轴上的顶
点,A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,则MF⊥NF.
11.AB是双曲线22
221xyab
-=(a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦,M),(00yx为AB
的点,则0202yaxbKKABOM=⋅,即0
20
2yaxbKAB=。
12.若000(,)Pxy在双曲线22
221xyab
-=(a>0,b>0)内,则被Po所平分的点弦的方
程是22
00002222xxyyxyabab
-=-.
13.若000(,)Pxy在双曲线22
221xyab
-=(a>0,b>0)内,则过Po的弦点的轨迹方程
是22002222xxyyxyabab
-=-.--(会推导的经典结论)
高三数学备课组
椭圆
1.椭圆22
221xyab
+=(a>b>o)的两个顶点为1(,0)Aa-,2(,0)Aa,与y轴平行的直
线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是22
221xyab
-=.
2.过椭圆22
221xyab
+=(a>0,b>0)上任一点00(,)Axy任意作两条倾斜角互补的直线
交椭圆于B,C两点,则直线BC有定向且20
20BCbxkay=(常数).
3.若P为椭圆22
221xyab
+=(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1,F2是焦点,
12PFFα∠=,21PFFβ∠=,则
tant22
accoacαβ
-=+.4.设椭圆22
221xyab
+=(a>b>0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上
任意一点,在△PF1F2,记12FPFα∠=,12PFFβ∠=,12FFPγ∠=,则有
sinsinsinc
ea
αβγ==+.
5.若椭圆22
221xyab
+=(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当0
6.P为椭圆22 221xyab +=(a>b>0)上任一点,F1,F2为二焦点,A为椭圆内一定点, 则2112||||||2||aAFPAPFaAF-≤+≤+,当且仅当2,,AFP三点共线时,等号成立. 7.椭圆 22 0022 ()()1xxyyab--+=与直线0AxByC++=有公共点的充要条件是2222200()AaBbAxByC+≥++.8.已知椭圆22 221xyab +=(a>b>0),O为坐标原点,P、Q为椭圆上两动点,且 OPOQ⊥. (1)22221111||||OPOQab+=+; (2)|OP|2+|OQ|2 的最大值为22224abab+; (3)OPQS∆的最小值是22 22 abab+. 9.过椭圆22 221xyab +=(a>b>0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点,弦 MN的垂直平分线交x轴于P,则 ||||2PFe MN=.10.已知椭圆22 221xyab +=(a>b>0),A、B、是椭圆上的两点,线段AB的垂直平 分线与x轴相交于点0(,0)Px,则2222 0ababxaa---<<.11.设P点是椭圆22 221xyab +=(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点 记12 FPFθ∠=,则 (1)2122||||1cosbPFPFθ =+. (2)122 tan2PFFSbγ∆=.12.设A、B是椭圆22 221xyab +=(a>b>0)的长轴两端点,P是椭圆上的一点, PABα∠=,PBAβ∠=,BPAγ∠=,c、e分别是椭圆的半焦距离心率,则有 (1)2222 2|cos|||sabPAaccoαγ=-. (2)2 tantan1eαβ=-.(3)222 22cotPABabSbaγ∆=-.13.已知椭圆22 221xyab +=(a>b>0)的右准线l与x轴相交于点E,过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A、B两点,点C在右准线l上,且BCx⊥轴,则直线AC经过线段EF的点. 14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应 焦点的连线必与切线垂直. 15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦 半径互相垂直. 16.椭圆焦三角形,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). (注: 在椭圆焦三角形,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)17.椭圆焦三角形,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18.椭圆焦三角形,半焦距必为内、外点到椭圆心的比例项. --(会推导的经典结论) 高三数学备课组 双曲线 1.双曲线22 221xyab -=(a>0,b>0)的两个顶点为1(,0)Aa-,2(,0)Aa,与y轴 平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是22 221xyab +=. 2.过双曲线22 221xyab -=(a>0,b>o)上任一点00(,)Axy任意作两条倾斜角互补 的直线交双曲线于B,C两点,则直线BC有定向且20 20BCbxkay=-(常数). 3.若P为双曲线22 221xyab -=(a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1, F 2 是焦点,12PFFα∠=,21PFFβ∠=,则 tant22 cacocaαβ -=+(或tant22 cacocaβα -=+).4.设双曲线22 221xyab -=(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点) 为双曲线上任意一点,在△PF1F2,记12FPFα∠=, 12PFFβ∠=,12FFPγ∠=,则有 sin(sinsin)c ea αγβ==±-. 5.若双曲线221ab -=(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当1 6.P为双曲线22 221xyab -=(a>0,b>0)上任一点,F1,F2为二焦点,A为双曲线内一定点,则21||2||||AFaPAPF-≤+,当且仅当2,,AFP三点共线且P和2,AF在y轴同侧时,等号成立. 7.双曲线22 221xyab -=(a>0,b>0)与直线0AxByC++=有公共点的充要条件是22222AaBbC-≤. 8.已知双曲线22 221xyab -=(b>a>0),O为坐标原点,P、Q为双曲线上两动点,且OPOQ⊥. (1)22221111||||OPOQab +=-; (2)|OP|2+|OQ|2的最小值为22224abba-;(3)OPQS∆的最小值是22 22abba -.9.过双曲线22 221xyab -=(a>0,b>0)的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,则||||2 PFeMN=.10.已知双曲线22 221xyab -=(a>0,b>0),A、B是双曲线上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点0(,0)Px,则22 0abxa +≥或220abxa+≤-.11.设P点是双曲线22 221xyab -=(a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记12FPFθ∠=,则 (1)2 122||||1cosbPFPFθ =-. (2)122cot2PFFSbγ∆=.12.设A、B是双曲线22 221xyab -=(a>0,b>0)的长轴两端点,P是双曲线上的一点,PABα∠=,PBAβ∠=,BPAγ∠=,c、e分别是双曲线的半焦距离 心率,则有 (1)22222|cos||||s| abPAaccoαγ=-. (2)2tantan1eαβ=-.(3)22 222cotPABabSba γ∆=+. 13.已知双曲线 221 ab -=(a>0,b>0)的右准线l与x轴相交于点E,过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于A、B两点,点C在右准线l上,且BCx ⊥轴,则直线AC经过线段EF的点. 14.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交 点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连 线必与焦半径互相垂直. 16.双曲线焦三角形,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常 数e(离心率). (注: 在双曲线焦三角形,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17.双曲线焦三角形,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18.双曲线焦三角形,半焦距必为内、外点到双曲线心的比例项.
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- 关 键 词:
- 椭圆 双曲线 对偶 性质