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股票市场分析方法综述非线性动力学
中国社会科学院经济文化研究中心
调查研究通讯
No.2002-122002年7月16日
股票市场分析方法综述:
非线性动力学
《股市动力学》课题组
在前文中,我们曾对以时间序列方法研究股价波动的模型做过综述。
从随机走动开始,最后导出了一个股价波动的二阶线性微分振动方程。
应该说,线性振动理论到目前为止已经非常成熟和完整了。
如果股价在某个均衡点附近只有较小的波动,那么线性振动方程可以给出一定程度的近似描述(如股市的小幅盘整行情)。
但是,股市的波动幅度有时很大,而且其波动形态通常是不规则的,存在着诸如跃升、跳水、滞后、反转等复杂现象;对此,线性振动理论已无能为力,需要运用非线性振动的理论和方法对其进行研究和分析。
本文将对以非线性动力学方法研究股价波动的某些内容做出综述。
一、线性振动
众所周知,超额需求(即需求与供给的差额)会创造出通常能抵消其自身的经济力量。
即当需求大于供给时(超额需求为正),价格上升或供给增加,从而消除超额需求;反之(超额需求为负),则价格降低或供给减少,也使超额需求趋于消失。
如果情况确实如此的话,那么这种反作用的发生必须是通过超额需求变化的加速来实现的。
这是理解下文讨论的中心思想的关键所在。
以x表示某个市场上在一个t时对一种给定商品的超额需求量。
这种商品可以是特定的真实商品,如小麦、玉米,也可能是某些股票。
假设x是时间t的连续可微函数。
x'表示超额需求的变化率(对时间t),例如在一天里超额需求增加或减少的程度。
s表示某一商品(如股票)的市场总存量或市场规模。
s决定了超额需求(x)所影响的范围,为方便起见,可假定s是不变的。
x"是超额需求的加速度(即上述速度的变化率),它是t的一个连续可微函数。
这种规定不仅在直觉上是可信的,而且它也是振动动态概念的基础。
如果经济力量要对超额需求这种外生振动作出反应,以便恢复均衡(即使超额需求为零)。
那么为了满足x的零速度(即x'=0,这时超额需求没变化,或为正、或为负)向某种非零速度的转变,首先加速度必须是非负的。
“首先”改变的是x的加速度;如果存在局部的线性化系统是实现稳定的首要的必要条件,则加速度反应的方向将和位移(即超额需求x)的方向相反。
价格是把供需关系转化为超额需求函数的一个指标函数。
价格在下述模型的公式表述中是隐含的。
但可以在这种表述中得到下述结论:
p'=kx'
(1)
即商品超额需求的变化率与商品价格变化率成比例,进而可得出(上式两边同时积分):
p=k0+kx
(2)
其中,k和k0是由经济条件和计量单位所决定的常数,k0为均衡价格。
由式
(2)可知当超额需求为零时,p为均衡价格k0。
一个更为真实的模型应该考虑到非负超额需求的发生与价格p变化之间的滞后关系,以及p变化与“恢复力”的加速度之间的滞后。
这种复杂程度增加所产生的影响,可以先不予以考虑。
假如偏离均衡的位移幅度已达到了x,那么恢复力将被假定等于-ax,其中a为恢复力的“刚性系数”;a值越大,恢复到初始均衡的经济力量也就越大。
现在可以把第一个市场“运动方程”表为
x"=-a(x/s)(3)
或者sx"+ax=0,
它又可被重新表示为
x"+(Ωn)2x=0。
(4)
方程(3)所反映的是恢复力取决于市场总存量与超额需求的加速度。
换言之,超额需求(即位移)变化的方向与幅度是和相比于市场总规模的超额需求相对规模成比例的。
方程(4)已看到了下文的分析结果,它显示:
a/s可以用反应振动的频率n来重新表述,即
n=(1/2π)(a/s)1/2(5)
在这个简单的例子中,常数Ω为2π。
式(5)表示:
反应频率n随s增加而减少,随a的增加而增加;这和预期结果相符。
s的值越大,对给定的位移幅度x来讲,该系统的惯性也就越大;a的值越大,恢复力也就越强,对变化的加速度的影响也就越大。
当x趋于零时(即超额需求趋于消失),正如式(3)所示,加速度会放慢。
可以很容易地写出微分方程(3)通解的一种表达式,即
x=αsin(ωt+φ),ω=(Ωn)(6)
其中α为振动的振幅,ω为振荡的固有频率,φ为相位,α和φ是由方程的初始条件决定的。
方程(6)是式(3)的一个解这一结论很容易以x对时间t两次求导来说明:
x'=αωcos(ωt+φ)(7)
x"=-αω2sin(ωt+Φ)-ω2x(8)
上述定义的微分方程是很简单的,但却非常有意义。
可以直接看出:
超额需求的一阶时间导数x'(超额需求的变化率),即超额需求变动的流量,比超额需求状态x(存量)、以及超额需求的加速度x"要“超前”π/2弧度,即90度;一个流量的导数之间缺乏相位匹配,一般不被经济学家所注意。
当超额需求振动的幅度为α时,其速率的振幅就为αω,其中ω是根据弧度模2π来限定的;准确地说,速率的振幅为α(a/s)1/2,加速度的振幅为α(a/s)。
这样,对于给定的超额需求量来讲,市场总规模越大,变化速度的振幅就越小,这是很自然的。
现在的这个模型即使对物理应用来说也太简单了,更不要说应用于经济学了。
作为走向现实的第一步,首先对式(3)加以修改,允许系统存在摩擦或阻尼,即假定对恢复力做出反应的加速度与变化速度成比例地降低。
这样,我们就得出:
sx"=-ax-bx'(9)
其中,-bx'代表系统中摩擦(或阻尼)力的影响。
在继续进行分析之前,有必要指出:
方程(3)通解的另一种表达为
x=αexp[i(ωt+Φ)],i=√-1(10)
其中,常数所代表的意义与式(3)相同(在本文中exp[]这一符号表示以e为底的指数形式)。
式(9)的通解是x=cexp[γt]的一种类型,其中c是由初始条件决定的常数,γ可以是复数。
如果把这些代入到式(9),则结果是
cexp[γt](sγ2+bγ+a)=0(11)
解这个方程得到下述结果:
γ=-b/(2s)±[b2/(4s2)-a/s]1/2(12)
很显然,在方程(12)中存在三种结果,它们依赖于大括号这一项的符号。
如果大括号内这一项为正,这表示阻尼效应超过恢复效应,则可以认为:
通解可以双曲性正弦或余弦来表示。
超额需求x的解轨线作为时间的函数最初上升,然后下降,从而形成一个单峰曲线;此时不存在振荡。
第二种情况是大括号项为零,这种情况没有什么重要意义,它仅仅是上述刚讨论过的情况与下述情况的临界状态。
第三种情况是γ的解存在复数共轭根,这种解可表达为:
x=Aexp[(-b/2s)t]sin(ω1t+Φ)(13)
其中ω1是由下述方程给定的
ω1=(a/s-b2/4s2)1/2(14)
很明显,这种解轨线是一种有阻尼的振动轨线,其中阻尼效应依赖于阻尼系数b和市场总规模或所交易商品的总存量s。
振动减弱至零的速度是由b/2s所给定的。
需要指出的是,这种阻尼系统振动的固有频率不同于非阻尼系统的固有频率。
从式(14)可见,阻尼系统的频率减少了b2/4s2,且市场总规模越大,振荡频率就越低。
非阻尼系统的频率随s1/2的增加而减小。
但是当阻尼系统的频率也随S1/2的增加而减小时,对于较大的s来说,也就是对总规模非常大的市场来说,这两种频率的差别将会缩小。
阻尼与非阻尼系统的振动频率之间差别是很小的。
迄今为止,分析一直集中于对单一脉冲、振动的市场反应的线性描述。
当然,可以分析一系列随机振动对方程解轨线的影响,但更有价值的是分析市场系统发生振动的正弦曲线轨线。
于是,可用下述方程定义“驱动函数”的影响:
sx"+bx'+ax=δcos(Ψt)(15)
其中,Ψ为“驱动方程”的频率,δ是一个适当的常数。
这一方程的含义是,在所研究的市场上,超额需求的产生是由其他地方的活动所刺激的,例如其他某种竞争性或互补性市场上的超额需求,或者是决定本市场供求的外生因素的振动,它们都没有包含在前述基本的微分方程(3)中。
式(15)的解由两部分构成:
其一为方程齐次部分的解,它和方程(9)的解相同。
更值得关注的是(15)所反映的长期动态,这部分解是由非齐次方程的特解所给定的。
该解的实部为
x=(δ/(Ψz))sin(Ψt-Φ)(16)
x′=(δ/z)cos(Ψt-Φ)(17)
其中,z=(b2+(Ψs-a/Ψ)2)1/2
和前面一样,超额需求流量与其速度在相位上相差π/2,但更重要的是速度与驱动项在相位上也相差3Φ,其中
tg(Φ)=(Ψ/s-a/Ψ)/b(18)
这一结果的重要意义在于:
如果Φ为0,且仅当Φ为0时,驱动项与速度的相位才一致;换言之,只有当Ψ满足方程Ψ/s-a/Ψ=0时,两者相位才一致。
另外,可以看到:
在低频时,x′领先于驱动项;在高频时,x′滞后于驱动项。
它表明:
外来振动与超额需求速度反应两者会交替出现领先和滞后;只有在极个别的情况下,两者才是同相位的。
通常,经济学者很少考虑x′领先于驱动项这种可能性。
在进入非线性情况之前,应考虑最后一种可能性:
阻尼因子b接近于零。
此时,如方程(6)中的调和振动的固有频率ω与驱动项的频率Ψ是不可比的,即ω/Ψ不是一个有理数,那么受到驱动的系统的振动就被称为是准周期的。
所谓准周期振动是指:
它可无数次地回到一个给定的点附近,但决不会重复相同的轨迹;即它不是严格的周期振动。
这样,至少在这个方面,我们最后得到了一项具有经济数据特点的结果。
因为,如物价或股价的波动几乎没有严格的周期运动的表象。
二、非线性振动
可以通过两种方式中的任何一种,把非线性引入到上述模型之中。
既可以把恢复力的刚性系数a作为超额需求x的一个非线性函数,也可以考虑修改阻尼因子b。
描述非调和振子的一种简单方法是建立一个具有驱动项的非阻尼模型。
这一模型的主要变化是刚性系数现在成了x的一个函数,而不是一个常数。
现在根据下述方程中x的符号来分析反作用恢复力的对称性:
a(x)=-(a1x+a3x3)(19)
其中基本的运动方程为
sx"+a(x)=δcos(Ψt)(20)
与前述方程相同,一阶反应自然被认为是正的,即a1>0。
但现在a3的符号可正、可负。
如a3为正,则非线性项(a3x3)会加强线性项;或者说,对位移的反应此时会比在线性条件下更大。
如果a3为负,则恢复力就较弱。
得到非线性模型的另一种方式是修改阻尼项。
前述基本线性微分方程(9)描述了阻尼调和运动,但它仅仅是对小振幅情况的一种近似描述。
该方程显示:
如果b为负,那么将出现负阻尼,则该系统的能量将会无限增加。
这是一个不合理的结果,即使当位移很小时也是如此。
解决这一问题的一种常用的简单方法就是使阻尼系数b作为位移x的非线性函数。
当位移很小时,阻尼系数为负;当位移较大时,使阻尼系数为正。
即当x值较小时,系统会产生能量;反之,x值较大时,该系统会耗散能量。
可把b(x)定义为:
b(x)=-b0(1-(x/x0)2),b0>0(21)
这样,当x值较小时,b(x)为负;为x值较大时,b(x)为正;x0是系统的一个参数,它决定阻尼的大或小。
如果将b的这一定义代入式(9),所得结果即为著名的范德玻尔方程,其完整形式为:
sx"+b(x)x'+ax=0(22)
这一方程的经济含义是,对于数量相对较小的超额需求来说,恢复力被速度项抵消了;但当超额需求变得极大时,通常的方法就开始适用了。
直观的例子是对某些受欢迎企业股票的需求,或者对一家受欢迎餐馆的需求,这里受欢迎这三个字被定义为正的超额需求。
同时,即使超额需求为负(即存在超额供给),该方程也是成立的。
在这两种情况下,均衡发生的微小变化都具有不稳定成份。
方程(22)的解是一个极限环;对不稳定均衡(称为中心)小的偏离会发散于极限环,而大的位移却会收敛于极限环。
选择1/(a/s)1/2,即一个时期为时间单位,并选择一个合适的振幅单位,可把(22)式简化为:
x"-(ε-x2)x'+x=0(22a)
其中,ε为b0/ω,ω2=a/s。
当ε值较小时,极限环的时间历程接近于正弦曲线,振荡接近于对称;但是当ε的值变得较大时,极限环将不再对称,振幅呈现“锯齿”状。
现在可以用相图来对问题做出说明。
相图是系统相空间的图形。
相空间是系统运动的所有可能状态通过选择合适的坐标或变量来描述的空间。
特定的初始条件给定后,可能会导致系统出现暂态运动,当这种现象所形成的状态点消失后时,相空间中留下来的点轨迹就概括了该系统的长期动态特性。
实际动态轨线在相空间中趋向收敛的点集被称为(前向)极限集合。
极限集合既可以是一个不动点(即系统一旦进入这个状态,就会呆在那儿不动),一个极限环(这时系统作周而复始的周期运动),也可以是一个混沌吸引子或奇怪吸引子(这时系统作具有往复特点的无规则非周期运动)。
简单地说,吸引子就是系统动态轨迹的“吸引集”。
x
x'
t
0
x
(b)
(a)
图1:
(a)相图,(b)时间历程。
在上述例子中,相空间中的每一点可用向量(x、x')来表示。
这个向量是和定义动态系统的微分方程的解或流一致的。
对于有阻尼的振动而言,当ε较小时,式(22)的相图也和图1一样接近于圆形(见图1a);但当ε变大时,相图接近于斜长方形,其时间历程也由近似于正弦波(见图1b)变成锯齿形的了。
在任何情况下,相图都表现出系统的长期动态。
其所以被称为是长期的,原因在于其目的是为了分析暂态行为消失之后,即系统的相轨迹对初始条件的依赖减少到零之后,长时期内动态系统的轨迹。
相图所描述的长期解集合中的点(如图1a中圆上的点的集合)就是一个吸引子,即一个明显的界限选择,因为它吸引着所有动态轨道的解轨迹,这些解轨迹一开始就靠近吸引子或吸引集。
另外,由图1a可见,所有从圆内、外的点出发的轨线最终趋向于圆,即它是一个吸引环。
有一点应该特别指出,范德玻尔方程可以在一定程度上用来描述股市的追涨杀跌行为。
作为题外话,由(22)式所定义的这类行为可用来描述超临界或亚临界分岔的概念,即当一个参数越过临界值时行为发生的质变。
如果一定要进行类比的话,股市从牛市向熊市或相反的转变;在数学上看,也是一种动态系统的分岔问题。
实际上,市场行为或市价波动形态的变化对于参数的变化更为敏感。
上述(22)式一类的模型还可描述滞后概念。
在直觉上,滞后可根据一个反应函数的非唯一性来定义;因此,当反应函数达到其不稳定部分时,反应会跳过这段不稳定部分;根据达到不稳定部分的不同方向,发生的跳跃点不相同。
输出
0
输入
图2.滞后效应图
t0t1
图2具体描述了这一观点。
如果输入一直增加,输出函数将连续地到达t1点,在这一点上,输出产生一个向下的突跳,而后输出在反应函数的较低(稳定)分支上又连续变化。
但是,如果输入水平在t1点之后减少,则轨迹将沿着曲线连续降到t0点;在这一点上,反应函数又向上跳回到它上面的(稳定)部分中去了,在此之后,当输入连续减少时,输出也将连续下降。
实际上,突跳、反转、滞后这类现象在股市的波动中也是屡见不鲜的。
下面将把前述的试验纳入到一个具有普遍性、但仍非常简单的陈述之中。
下述方程就是著名的杜芬方程:
x"+δx'-βx+x3=γcos(ωt)(23)
方程(23)是最简单的杜芬方程形式。
基中γcos(ωt)是驱动项。
δx'为阻尼项,这里再次假定它是线性的(在(22)式中它是非线性的),但为正。
-βx+x3是第一次在方程(19)定义了恢复力刚性系数的非线线形式。
但它的表述形式在两个方程中存在着重要的区别。
在方程(23)中,x项系数的符合为负,x3的符号为正;这与(19)式中的情况正好相反。
它所表现的动态效应是:
当发生小的超额需求变化时,市场以一种不稳定的方式作出反应,反作用力促进了超额需求进一步增加;但当超额需求量较大时,市场最终将以相反的(稳定)方向作出强烈的反应。
虽然这一方程本身是简单的,但它的潜在结果却有丰富的意义。
到目前为止,前述所有模型都产生了可识别的决定论的解轨迹,即使解的时间轨迹明显包含着不连续的跳跃。
前述模型的解轨迹包含了不动点、周期解以及不连续的滞后效应;但它们没有产生出具有往复特点的不规则非周期运动(拟周期运动仍然是决定论的)。
相反,杜芬模型可以表现出具有随机波动特点的解的时间轨迹。
这里给出一个混沌吸引子的例子,它和前面所谈到的拥有不动点、周期吸引子和拟周期吸引子的例子完全不同。
影响解轨迹特性变化的关键因素有两个。
第一是要求解轨迹具有相临轨迹的指数发散特征,即所谓对初始条件敏感依整。
第二是长期解轨迹的极限集,也即长期动态的最终轨迹,必须是紧的。
这在数学上的必然结论是:
即使时间轨迹是反复出现的,但完全相同的轨迹是决不可能出现两次的。
在方程(23)中,如把参数定为δ=0.3,β=-1,γ=0.3,ω=1,其解具有近似周期解轨迹的特点。
当把ε的值改为0.05,并让β=0,又使γ的值(即周期驱动函数的振幅)提高到7.5,则更为混沌的运动便出现了。
有关的时间历程和相图的图象可参见文后所列的参考文献。
由于(23)式引入了周期驱动函数,因此它实际上是在三维空间中运动的方程。
也就是说,对于微分方程而言,产生混沌运动的必要条件是,其相空间的维数不能少于三维。
当把滞后或延迟因素(注意:
这里的滞后或延迟与上文所谈的不同,这里的滞后指的是变量x的当前值受到其以前值的影响)加入到超额需求模型中去的时候,即使没有上述周期驱动函数,也会产生混沌运动。
众所周知,把滞后加入到一个微分方程中,实际上是把无数个自由度(即无穷维)引入了系统;因此,甚至更为复杂的解也是可能出现的。
引入滞后是对经济模型的一种明显的扩展。
人们可能会预期超额需求的发生与市场开始作出反应之间存在一种滞后,这部份是由于反应通常是通过价格发挥作用的。
而人们可能预期超额需求发生与随后的价格变化之间存在一种滞后。
由上述分析可见,当把非线性引入到模型中时,即使是很简单的非线性方程也能产生非常复杂的行为。
三、小结
到目前为止,通过几个基本的线性和非线性方程(如式(4)、式(15)、式(22a)、式(23)),就可以产生四种基本的运动形态:
不动点吸引子、周期吸引子、拟周期吸引子和混沌吸引子(或分形吸引子)。
这里最复杂的运动当属混沌运动。
由于混沌运动具有对初始条件的敏感性,即从一点出发的运动轨迹和与此点稍稍不同的另一点出发的运动轨迹,两者在若干时间之后的运动形态差别甚大。
这种运动性质,提供了对股票市场有效性的另一种解释。
以往对股市有效性的解释,依赖于股价运动具有随机游走的特征;然而,近十年的大量研究表明,股价波动并不服从正态分布,如此,随机游走假设便难以成立了。
在这种情况下,股市有效性可建基于股价波动的混沌特性之上。
而混沌运动的长期不可预测性(由对初始条件的敏感性所决定),与随机运动的完全不可预测性,两者可谓异曲而同工。
实际上,股票市场有效性成立与否,取决于股价运动是否具有某种不可预测性。
就此而言。
混沌运动的形态,也不一定是提供这种不可预测性的唯一来源。
例如前述混沌概念是针对非线性系统的稳态运动而言的,而一些非线性系统可能具有很长的过渡性动力学行为,最后呈现周期性的或拟周期性的稳定运动。
这种相当长的过渡过程若为具有初态敏感性的往复非周期运动,可称为暂态混沌。
在系统达到稳态运动之前,暂态混沌与真正的混沌极难区分。
又如,确定性的非线性系统受到小随机噪声扰动,也可能出现类似的混沌运动。
还有,系统的最终状态也可能对初始条件敏感。
其原因在于非线性系统可以具有多个吸引子(或称之为多个稳态解),而且其吸引域具有分形边界。
终态敏感性说明,对于具有多个吸引子的非线性系统,平衡态(不动点)和周期运动仍可能是不可预测的。
总之,市场价格波动的某种不可预测性的来源是非常多样化的。
而某种形式的不可预测性才是市场有效性的基石。
这个特点为股价波动的建模、模拟和实验提供了更大的选择空间。
主要参考文献
[1]:
柯堤“股票市场分析方法综述:
从随机波动到动力学过程”,2002年7月。
[2](美)理查德·H·戴等著:
《混沌经济学》。
[3]詹姆斯·B·拉姆齐:
“作为非线性过程经济系统的分析方法”,刊于上述[2]中的第10章。
[4](美)埃德加·E·彼得斯著:
《资本市场的混沌与秩序》,经济科学出版社,1999年3月。
[5]周纪卿、朱因远:
《非线性振动》,西安交通大学出版社,1998年9月。
[6]刘延柱、陈立群编著:
《非线性振动》,高等教育出版社,2001年8月。
[7]韩茂安、顾圣士编著:
《非线性系统的理论和方法》,科学出版社,2001年8月。
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