空间几何体的外接球模型.docx
- 文档编号:5040661
- 上传时间:2022-12-12
- 格式:DOCX
- 页数:26
- 大小:237.32KB
空间几何体的外接球模型.docx
《空间几何体的外接球模型.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《空间几何体的外接球模型.docx(26页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
空间几何体的外接球模型
空间几何体的外接球模型
类型一:
长方体模型一(三条线两两垂直,不找球心的位置即可求出球半径)
图1
图4
方法:
a
找三条两两垂直的线段,直接用公式(2R)
b2c2,求出R
b2c2,即2R
B
a
例1
A.
(1)已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为
16B.20C.24
(2)若三棱锥SABC的三条侧棱两两垂直,且)
4,体积为16,则这个球的表面积是(C)
D.32
SA2,SBSC4,则该三棱锥的外接球半径
为(
A.3B.6C.36
解析:
【A(2R)2.416166,R3
D.9
(3)
若三棱锥的三个侧面两垂直,且侧棱长均为
•、3,则其外接球的表面积是
解:
(1)
Va2h
16a2
4R
2a2a2
h2441624,S
24,选C;
(3)
4R23
R29
(4)在正三棱锥
SABC中,
N分别是棱
SC、BC的中点,且AM
MN,若侧棱SA23,
则正三棱锥SABC外接球的表面积是
36
解:
引理:
正三棱锥的对棱互垂直。
证明如下:
如图(3)-1,取AB,BC的中点D,E,连接AE,CD,AE,CD交于H,
SH
AB,
AC
BC,AD
BD,CDA
B,AB平面SCD,
AB
SC,同理:
BCSA,AC
SB,即正三棱锥的对棱互垂直
本题图如
1图(3)-2,
AMMN,
SB//MN,
AM
SB,A
CSB,SB
平面SAC,
SB
SA,SB
SC,SBSA,
BCSA,
SA
平面SBC,
SASC,
连接SH,则H是底面正三角形ABC的中心,SH平面ABC,
(3)题-1
故三棱锥SABC的三棱条侧棱两两互相垂直,
1
C
(3)题-2
36,
6、4、3,那么它的外接球的表面积是
ab12
bc8,
abc
24,a3,b
4,
ac6
S
4R2
29
(6)
(2R)2
2a
b2
2323c3,R—,
R
4
V
4r3
4
33
3
3
3
8
2,
(2R)2(2.3)2(2,3)2(2,3)236,即4R2
正三棱锥SABC外接球的表面积是36
(5)如果三棱锥的三个侧面两两垂直,它们的面积分别为
(6)已知某几何体的三视图如图所示,三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形,则该几
何体外接球的体积为
解析:
(5)三条侧棱两两生直,设三条侧棱长分别为a,b,c(a,b,cR),则
长方体模型二:
(一条直线垂直于一个平面)
ab
sinAsinB
―2r),001!
PA;
sinC2
第三步:
利用勾股定理求三棱锥的外接球半径:
①(2R)2PA2(2r)2
2R.PA2(2r)2;
②R2r20012
R
00i2
例题2:
(1)在四面体SABC中,SA平面ABC,
BAC
120,SA
AC2,AB1,则该四面
体的外接球的表面积为(D
)A.11
B.7
d.40
3
解析:
在ABC中,BC2AC2
AB22ABBC
cos120
BC、门,ABC的外接球直径为
2r
BCsin
BAC
7
_3
2
4
(2R)2(2r)2SA2
)2
40
T,
(2)三棱锥SABC中,侧棱SA
该三棱锥的外接球体积等于
平面ABC,底面
32
ABC是边长为3的正三角形,
SA23,则
1题设:
如图5,PA平面ABC
解题步骤:
第一步:
将ABC画在小圆面上,A为小圆直径的一个端点,作小圆的直径AD,连接PD,贝UPD必过球心0;
第二步:
Oi为ABC的外心,所以0。
!
平面ABC,算出小圆Q的半
径0,Dr(三角形的外接圆直径算法:
利用正弦定理,得
解析:
2r-2,(2R)24
sin60
32
3
1216,R24,R2,外接球体积-8
3
长方体模型三:
对棱相等模型(补形为长方体)
题设:
三棱锥(即四面体)中,已知三组对棱分别相等,求外接球半径(ABCD,ADBC,ACBD)第一步:
画出一个长方体,标出三组互为异面直线的对棱;
a,b,c,AD
BCx,ABCDy,ACBDz,列方程组,
2a
b2
2x
2
22
b2
2c
2
y
(2R)2
2a
b2
2x
yz
2
2c
2a
2z
补充:
Va
BCD
abc1
abc
41
abc
6
3
第二步:
设出长方体的长宽高分别为
第三步:
根据墙角模型,
2Ra2b2c2
图12
R2
222
xyz
,求出R,
8
例如,
正四面体的外接球半径可用此法。
例三:
(1)在三棱锥ABCD中,ABCD2,ADBC3,AC
BD
则三棱锥ABCD外接球的表面积为
29
O
2
设长宽高分别为
a,b,c,则a2b29,
b2
2c
4,c2a
2222
162(abc)9
416
222
29,2(abc)941629,
2
2
2
29
9
9
a
b
c
4R
S——
2
2
2
(2)
如图所示三棱锥
ABCD,
其中AB
CD
5,AC
BD
6,ADBC7,则该三棱锥外接球的
解析:
如图12,设补形为长方体,三个长度为三对面的对角线长,
表面积为
解析:
同上,设补形为长方体,三个长度为三对面的对角线长,设长宽高分别为
2222222
2(abc)253649110,abc55,4R55,S
【55;对称几何体;放到长方体中】
(3)正四面体的各条棱长都为2,则该正面体外接球的体积为
解析:
这是特殊情况,但也是对棱相等的模式,放入长方体中,2R.3,
厂逅、,43占V3
R,V
2382
a,b,c,
类型二:
圆锥模型
题设:
如图6,7,8,P的射影是ABC的外心三棱锥PABC的三条侧棱相等棱锥PABC的底面ABC在圆锥的底上,顶点P点也是圆锥的顶点
第一步:
确定球心0的位置,取
ABC的外心Oi,则P,O,Oi三点共线;
第三步:
勾股定理:
OA201A20102
例-
4
(1)
一个几何体!
的三视
见图女
口右图所示,
A.
3
B.
2
C.
16
-D
3
解:
选C,
(、3
R)2
1
R2
3
2、3R
R
2
S4
16
3,
R2
3
第二步:
先算出小圆01的半径A01r,再算出棱锥的高P01h(也是圆锥的高);
R2(hR)2r2,解出R
则该几何体外接球的表面积为
以上都不对
R21R2,423R0,
(2)在三棱锥PABC中,PA
PBPC.3,侧棱PA与底面ABC所成的角为60,则该三棱锥外
接球的体积为()
A.B.—
C.4
D.4
3
3
解:
选D,圆锥A,B,C在以r
3_.
的圆上,R1
2
(3)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为
1,底面边长为23,则该球的表面积为
(4)正四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为2,各顶点都在同一个球面上,则此球的体积为
解:
(3)由正弦定理或找球心都可得2R
S4R249,
(4)方法一:
找球心的位置,易知r
4
V
3
方法二:
大圆是轴截面所的外接圆,即大圆是
4
2R2,R1,V——
3
(5)—个正三棱锥的四个顶点都在半径为
h1,hr,故球心在正方形的中心ABCD处,R1,
SAC的外接圆,此处特殊,
RtSAC的斜边是球半径,
1的球面上,其中底面的三个顶点
设底面边长为a,则2R
a
sin60
33
4
在该球的一个大圆上,则该正三棱锥的体积是()
A迈
B
-C
-D
3
4
3
4
12
解析:
高hR
1,
底面外接圆的半径为
R1,直径为
2R2,
三棱锥的体积为V-Sh—
34
2,则该三棱锥的外接球体积
(6)正三棱锥SABC中,底面ABC是边长为,3的正三角形,侧棱长为等于•
解析:
ABC外接圆的半径为
三棱锥SABC
的直径为
2R
2
4
2
sin60
,外接球半径R
3,
或R2
(R、3)21,R
2
,外接球体积V
4R3
4
8
323
.3
3
3
33
27
类型三、直棱柱模型(直棱柱的外接球、圆柱的外接球)
图10-2,
10-3,直三棱柱内接于球
题设:
如图10-1,
是任意三角形)
(同时直棱柱也内接于圆柱,棱柱的上下底面可以
第一步:
确定球心
O的位置,01是ABC的外心,则
00,
平面ABC;
第二步:
算出小圆
O,的半径AO,
0011AA1
2
!
h
2
(AA,h也是圆柱的高);
第三步:
勾股定理:
OA2O1A2O1O2
R..r2(;)2,解出R
例5
(1)一个正六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,
9
且该六棱柱的体积为-,底面周长为3,则这个球的体积为
8
解:
设正六边形边长为a,正六棱柱的高为h,底面外接圆的关径为
3、3
底面积为S63(-)2,V柱
428
R2
R1,球的体积为V-
3
(2)直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上,
AB
AC
AA1
2,BAC120,则此
球的表面积等于
解:
BC2,3,2r—34,r
sin120
2,R.5,
20
(3)在直三棱柱ABC
AB1C1中,
AB
4,AC6,A
4则直三棱柱ABCA1B1C1的外接球
的表面积为
160
3
R2
解析:
2
36
28
40
3
28,
BC2.7,2r
160
S-
3
2.7
仝
2
1•题设:
:
如图9-1,平面
PAC平面ABC,
且AB
BC(即AC为小圆的直径)
第一步:
易知球心0必是
PAC的外心,即
PAC的外接圆是大圆,先求出小圆的直径
AC
2r;
第二步:
在PAC中,可根据正弦定理a
b
c
2R,求出R
sinA
sinB
sinC
2.如图
9-2,平面PAC
平面ABC,且AB
BC
(即AC为小圆的直径)
OC2
O1C2O1O2
R2r2O1O2
AC
2R2O1O2
3.如图
9-3,平面PAC
平面ABC,且AB
;BC
(即AC为小圆的直径),且P的射影是
ABC的
外心
三棱锥PABC的三条侧棱相等三棱P
ABC的底面ABC在圆锥的底上,
顶点
P点也是
圆锥的顶点
解题步骤:
类型四、垂面模型
图9-1图9-2
P
O
A
Oi
C
B
图9-3
p
O
A
C
B
图9-4
第一步:
确定球心o的位置,取ABC的外心01,则PQ,。
^!
三点共线;
第二步:
先算出小圆01的半径A01r,再算出棱锥的高P01h(也是圆锥的高);
第三步:
勾股定理:
OA201A20102R2(hR)2r2,解出R
4.如图9-3,平面PAC平面ABC,且ABBC(即AC为小圆的直径),且PAAC,则
利用勾股定理求三棱锥的外接球半径:
①(2R)2PA2(2r)22R■.PA2(2r)2;
②R2
r2OO12
R.,r2
OO12
例6.
三棱锥
(1)三棱锥PABC中,PABC外接球的半径为
平面PAC平面ABC,△PAC边长为2的正三角形,
ABBC,则
解析:
PAC的外接圆是大圆,
(2)三棱锥PABC中,平面
PABC外接球的半径为_
PA2PC
P
解析:
cos
9
2、2
-4
2R-
sin60m'3
PAC平面ABC,
AC2994
2PAPC
92
T,R
(3)三棱锥PABC中,平面PAB
2
R、3,
2,
AC
7
sin
平面ABC,△PAB和
PAPC3,
1(-)2①
981
AB
sin
BC,则三棱锥
ABC均为边长为2的正三角形,则三棱
解析:
2r,
2r2
2
4
r1r2,O2H
V3
1
sin60
3,
3,
R2
o2h2
2
r,
14
5,R
.15;
33
3
3
法二:
o2h
1
,O1H
1
AH1,
.3
3
R2
AO2
AH2
O1H2
O1O2
§,RT
33
锥PABC外接球的半径为
(4)已知
EAB所在的平面与矩形
ABCD所在的平面互相垂直,
EAEB3,AD2,AEB60,
则多面体EABCD的外接球的表面积为。
16
■3
小v'13
R
.1
32;
法二
O1M
「2O2D-
2
2
3
13
R2
—4,
R2,
S16
4
4
解析:
折叠型,法一:
EAB的外接圆半径为r,.3,OOA1,
D
模型五
两直角三角形拼接在一起
(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型
C
题设:
APBACB
90,求三棱锥
ABC外接球半径(分析:
取公共的斜边的中点O,连接
1OCOP-AB,
2
半径),当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关,只要不是平角球半径都为定值。
例7
(1)在矩形ABCD中,AB4,
则四面体ABCD的外接球的体积为(
A.空B.竺
129
5解:
(1)2RAC5,R,V
2
(2)在矩形ABCD中,AB2,BC
的外接球的表面积为
OP,OC,贝UOAOB
BC
O为三棱锥PABC外接球球心,然后在OCP中求出
3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BAC)
125
6
4125
38
3,沿BD将矩形ABCD折叠,连接AC,所得三棱锥A
125
3
R3
125
BCD
解析:
(2)BD的中点是球心0,2RBD-.13,S4R213;
径,且SC2,
则此棱锥的体积为(
)
A.辽
B.乜C
返
D.
6
6
3
2
6」
h
26,V
1sh1山
2一6
、2
解:
OO1R2
r21(33)2
3
3
334
3
6
(3)三棱锥PABC中,平面PAC平面ABC,AC2,PAPC,ABBC,则三棱锥PABC
外接球的半径为.
解:
AC是公共的斜边,AC的中点是球心0,球半径为R1
(4)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球0的求面上,ABC是边长为1的正三角形,SC为球0的直
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 空间 几何体 外接 模型