高考数学理专题训练附解答概率与统计.docx
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高考数学理专题训练附解答概率与统计
专题概率与统计
统计案例与数学期望
大题肢解一
(2020江西省上饶市一模)在贯彻中共中央、国务院关于精准扶贫政策的过程中,某单位在某市定点帮扶某村户贫困户.为了做到精准帮扶,工作组对这户村民的年收入情况、危旧房情况、患病情况等进行调查,并把调查结果转化为各户的贫困指标.将指标按照,,,,分成五组,得到如图所示的频率分布直方图.规定若,则认定该户为“绝对贫困户”,否则认定该户为“相对贫困户”;当时,认定该户为“亟待帮住户”.工作组又对这户家庭的受教育水平进行评测,家庭受教育水平记为“良好”与“不好”两种.
(1)完成下面的列联表,并判断是否有的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关:
受教育水平良好
受教育水平不好
总计
绝对贫困户
相对贫困户
总计
(2)上级部门为了调查这个村的特困户分布情况,在贫困指标处于的贫困户中,随机选取两户,用表示所选两户中“亟待帮助户”的户数,求的分布列和数学期望.
附:
,其中.
【肢解1】完成下面的列联表,并判断是否有的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关:
受教育水平良好
受教育水平不好
总计
绝对贫困户
相对贫困户
总计
【肢解2】上级部门为了调查这个村的特困户分布情况,在贫困指标处于的贫困户中,随机选取两户,用表示所选两户中“亟待帮助户”的户数,求的分布列和数学期望.
【解析】
(1)由题意可知,绝对贫困户有(户),可得出如列联表:
受教育水平良好
受教育水平不好
总计
绝对贫困户
相对贫困户
总计
.
故有的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关.
(2)贫困指标在的贫困户共有(户),
“亟待帮助户”共有(户),
依题意的可能值为,,,
,,,
则的分布列为
故.
1.独立性检验的一般步骤:
(1)根据样本数据制成2×2列联表;
(2)根据公式K2=计算K2的值;
(3)查表比较K2与临界值的大小关系,作统计判断.
2.求离散型随机变量ξ的均值与方差的方法:
(1)理解ξ的意义,写出ξ可能取的全部值;
(2)求ξ取每个值的概率;
(3)写出ξ的分布列;
(4)由均值的定义求E(ξ);
(5)由方差的定义求D(ξ).
【拓展1】(2020届辽宁省沈阳市东北育才学校高三上学期第三次模拟)手机支付也称为移动支付,是指允许用户使用其移动终端(通常是手机)对所消费的商品或服务进行账务支付的一种服务方式.随着信息技术的发展,手机支付越来越成为人们喜欢的支付方式.某机构对某地区年龄在15到75岁的人群“是否使用手机支付”的情况进行了调查,随机抽取了100人,其年龄频率分布表和使用手机支付的人数如下所示:
(年龄单位:
岁)
年龄段
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
[55,65)
[65,75]
频率
0.1
0.32
0.28
0.22
0.05
0.03
使用人数
8
28
24
12
2
1
若以45岁为分界点,根据以上统计数据填写下面的2×2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关?
年龄低于45岁
年龄不低于45岁
使用手机支付
不使用手机支付
参考数据:
0.025
0.010
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
参考公式:
.
【解析】
(1)由统计表可得,低于45岁人数为70人,不低于45岁人数为30人,
可得列联表如下:
年龄低于45岁
年龄不低于45岁
使用手机支付
60
15
不使用手机支付
10
15
于是有K2的观测值.
故可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关.
【拓展2】(2020届辽宁省沈阳市东北育才学校高三上学期第三次模拟)手机支付也称为移动支付,是指允许用户使用其移动终端(通常是手机)对所消费的商品或服务进行账务支付的一种服务方式.随着信息技术的发展,手机支付越来越成为人们喜欢的支付方式.某机构对某地区年龄在15到75岁的人群“是否使用手机支付”的情况进行了调查,随机抽取了100人,其年龄频率分布表和使用手机支付的人数如下所示:
(年龄单位:
岁)
年龄段
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
[55,65)
[65,75]
频率
0.1
0.32
0.28
0.22
0.05
0.03
使用人数
8
28
24
12
2
1
(1)若以45岁为分界点,根据以上统计数据填写下面的2×2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关?
年龄低于45岁
年龄不低于45岁
使用手机支付
不使用手机支付
(2)若从年龄在[55,65),[65,75]的样本中各随机选取2人进行座谈,记选中的4人中“使用手机支付”的人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.
【解析】由题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,3,相应的概率为:
,
,
,,
于是X的分布列为:
0
1
2
3
所以.
变式训练一
1.(2019年湖北模拟)通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下2×2列联表:
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
15
25
40
总计
55
45
100
(1)能否有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关?
请说明理由.
(2)利用分层抽样的方法从以上爱好该项运动的大学生中抽取6人组建“运动达人社”,现从“运动达人社”中选派2人参加某项校际挑战赛,求选出的2人中恰有1名女大学生的概率.
附:
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
K2=,其中n=a+b+c+d.
【解析】
(1)因为K2=≈8.249>6.635,
所以有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关.
(2)由题意,抽取的6人中,有男生4名,分别记为a,b,c,d;女生2名,分别记为m,n.
则抽取的结果共有15种:
(a,b),(a,c),(a,d),(a,m),(a,n),(b,c),(b,d),
(b,m),(b,n),(c,d),(c,m),(c,n),(d,m),(d,n),(m,n),
设“选出的2人中恰有1名女大学生”为事件A,事件A所包含的基本事件有8种:
(a,m),(a,n),(b,m),(b,n),(c,m),(c,n),(d,m),(d,n).
则P(A)=.
故选出的2人中恰有1名女大学生的概率为.
2.(2019年湖北省宜昌模拟)某公司招收大学毕业生,经过综合测试录用了14名男生和6名女生,这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示(单位:
分).公司规定:
成绩在180分以上者到甲部门工作,在180分以下者到乙部门工作,另外只有成绩高于180分的男生才能担任助理工作.
(1)现用分层抽样的方法从甲、乙两部门中选取8人.若从这8人中再选3人,求至少有一人来自甲部门的概率;
(2)若从甲部门中随机选取3人,用表示所选人员中能担任助理工作的人数,求的分布列及数学期望.
【解析】
(1)根据茎叶图可知,甲、乙两部门各有10人,用分层抽样的方法,应从甲、乙两部门中各选取人.
记“至少有一人来自甲部门”为事件,则.
故至少有一人来自甲部门的概率为.
(2)由题意可知,的可能取值为0,1,2,3.
,
所以的分布列为
0
1
2
3
所以.
二项分布
大题肢解二
(2019河南洛阳市模拟)雾霾天气对人体健康有伤害,应对雾霾污染、改善空气质量的首要任务是控制PM2.5,要从压减燃煤、严格控车、调整产业、强化管理、联防联控、依法治理等方面采取重大举措,聚焦重点领域,严格考核指标.某省环保部门为加强环境执法监管,派遣四个不同的专家组对A、B、C三个城市进行治霾落实情况抽查.
(1)若每个专家组随机选取一个城市,四个专家组选取的城市可以相同,也可以不同,求恰有一个城市没有专家组选取的概率;
(2)每一个城市都要由四个专家组分别对抽查情况进行评价,并对所选取的城市进行评价,每个专家组给检查到的城市评价为优的概率为,若四个专家组均评价为优则检查通过不用复检,否则需进行复检.设需进行复检的城市的个数为X,求X的分布列和期望.
【肢解1】若每个专家组随机选取一个城市,四个专家组选取的城市可以相同,也可以不同,求恰有一个城市没有专家组选取的概率;
【肢解2】每一个城市都要由四个专家组分别对抽查情况进行评价,并对所选取的城市进行评价,每个专家组给检查到的城市评价为优的概率为,若四个专家组均评价为优则检查通过不用复检,否则需进行复检.设需进行复检的城市的个数为X,求X的分布列和期望.
【解析】
(1)随机选取,共有34=81种不同方法,
恰有一个城市没有专家组选取的有C(CA+C)=42种不同方法,
故恰有一个城市没有专家组选取的概率为=.
(2)设事件A:
“一个城市需复检”,则P(A)=1-=,X的所有可能取值为0,1,2,3,
P(X=0)=C·=,P(X=1)=C··=,P(X=2)=C··=,P(X=3)=C·=.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
由题意知X~B,
所以E(X)=3×=.
二项分布的期望与方差
如果ξ~B(n,p),则用公式E(ξ)=np;D(ξ)=np(1-p)求解,可大大减少计算量.
变式训练二
1.(2019四川成都诊断)某部门为了解一企业在生产过程中的用水量情况,对其每天的用水量做了记录,得到了大量该企业的日用水量的统计数据,从这些统计数据中随机抽取12天的数据作为样本,得到如图所示的茎叶图(单位:
吨).若用水量不低于95吨,则称这一天的用水量超标.
(1)从这12天的数据中随机抽取3个,求至多有1天的用水量超标的概率;
(2)以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率,估计该企业未来3天中用水量超标的天数,记随机变量X为未来这3天中用水量超标的天数,求X的分布列、数学期望和方差.
【解析】
(1)记“从这12天的数据中随机抽取3个,至多有1天的用水量超标”为事件A,
则P(A)=+==.
(2)以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率,易知用水量超标的概率为.
X的所有可能取值为0,1,2,3,
易知X~B,P(X=k)=C,k=0,1,2,3,
则P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.
所以随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
所以数学期望E(X)=3×=1,D(X)=3××=.
2.(2020湖南师范大学附属中学高三上学期第二次月考)某种产品的质量以其质量指标值衡量,并依据质量指标值划分等级如下表:
从某企业生产的这种产品中抽取200件,检测后得到
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