学年河南省鹤壁高中高二下学期寒假学习效果检测数学试题理.docx
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学年河南省鹤壁高中高二下学期寒假学习效果检测数学试题理
河南省鹤壁高中2020-2021学年
高二下学期寒假学习效果检测(理)
考试时间:
120分钟
一.选择题(共12小题,每小题5分,共60分)
1.复数z满足z(1+i)=1﹣i,则z的虚部等于( )
A.﹣iB.﹣1C.0D.1
2.要安排3名学生到2个乡村做志愿者,每名学生只能选择去一个村,每个村里至少有一名志愿者,则不同的安排方法共有( )
A.2种B.3种C.6种D.8种
3.设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为( )
A.﹣15x4B.15x4C.﹣20ix4D.20ix4
4.如图,正方形ABCD的边长为1,延长BA至E,使AE=1,连接EC、ED,则sin∠CED=( )
A.B.C.D.
5.设随机变量ξ~N(μ,1),函数f(x)=x2+2x﹣ξ没有零点的概率是0.5,则P(0<ξ≤1)=( )
附:
若ξ~N(μ,σ2),则P(μ﹣σ<X≤μ+σ)≈0.6826,P(μ﹣2σ<X≤μ+2σ)≈0.9544.
A.0.1587B.0.1359C.0.2718D.0.3413
6.将四颗骰子各掷一次,记事件A=“四个点数互不相同”,B=“至少出现一个5点”,则概率P(B|A)等于( )
A.B.C.D.
7.数列{an}中,a1=2,am+n=aman.若ak+1+ak+2+…+ak+10=215﹣25,则k=( )
A.2B.3C.4D.5
8.用数学归纳法证明:
(n+1)(n+2)…(n+n)=2n•1•2•3…•(2n﹣1)(n∈N*).从k(k∈N*)到k+1,若设f(k)=(k+1)(k+2)…(k+k),则f(k+1)等于( )
A.f(k)+『2(2k+1)』B.f(k)•『2(2k+1)』
C.D.
9.如图,在底面半径和高均为1的圆锥中,AB、CD是底面圆O的两条互相垂直的直径,E是母线PB的中点,已知过CD与E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分,则该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离为( )
A.1B.C.D.
10.如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,P为对角线BD1的三等分点,P到各顶点的距离的不同取值有( )
A.3个B.4个C.5个D.6个
11.若n是正奇数,则7n+C7n﹣1+C7n﹣2+……+C7被9除的余数为( )
A.2B.5C.7D.8
12.已知函数,当x>0时,f(x)>0恒成立,则m的取值范围为( )
A.(1,+∞)B.(e,+∞)C.D.
二.填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
13.若x,y∈R+,且2y=3,则的最大值为 .
14.曲线y=lnx在x=1处的切线的倾斜角为α,则sin2α= .
15.甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4:
1获胜的概率是 .
16.设双曲线x21的左、右焦点分别为F1、F2,若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是 .
三.解答题(共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(10分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sinB﹣sinC)2=sin2A﹣sinBsinC.
(1)求A;
(2)若a+b=2c,求sinC.
18.(12分)数列{an}中,a1,2an+1an+an+1﹣an=0.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求满足a1a2+a2a3+…+an﹣1an的n的最大值.
19.(12分)如图,D为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,AE为底面直径,AE=AD.△ABC是底面的内接正三角形,P为DO上一点,PODO.
(1)证明:
PA⊥平面PBC;
(2)求二面角B﹣PC﹣E的余弦值.
20.(12分)设甲、乙两位同学上学期间,每天7:
30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.
(Ⅰ)用X表示甲同学上学期间的三天中7:
30之前到校的天数,求随机变量X的分布列和数学期望;
(Ⅱ)设M为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:
30之前到校的天数比乙同学在7:
30之前到校的天数恰好多2”,求事件M发生的概率.
21.(12分)已知椭圆E:
1(a>b>0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为c.
(Ⅰ)求椭圆E的离心率;
(Ⅱ)如图,AB是圆M:
(x+2)2+(y﹣1)2的一条直径,若椭圆E经过A、B两点,求椭圆E的方程.
22.(12分)已知函数f(x)=x2e﹣x
(Ⅰ)求f(x)的极小值和极大值;
(Ⅱ)当曲线y=f(x)的切线l的斜率为负数时,求l在x轴上截距的取值范围.
——★参*考*答*案★——
一.选择题(共12小题)
1.『解答』解:
∵复数z满足z(1+i)=1﹣i,
∴zi,
∴z的虚部为﹣1.故选:
B.
2.『解答』解:
要安排3名学生到2个乡村做志愿者,每名学生只能选择去一个村,
每个村里至少有一名志愿者,
则不同的安排方法共有:
6.故选:
C.
3.『解答』解:
(x+i)6的展开式中含x4的项为x4•i2=﹣15x4,故选:
A.
4.『解答』解:
法一:
利用余弦定理
在△CED中,根据图形可求得ED,CE,
由余弦定理得cos∠CED,
∴sin∠CED.故选B.
法二:
在△CED中,根据图形可求得ED,CE,∠CDE=135°,
由正弦定理得,即.
故选:
B.
5.『解答』解:
由题意得,P(0<ξ≤1),故选:
B.
6.『解答』解:
根据题意,记事件A=“四个点数互不相同”,B=“至少出现一个5点”,则P(AB),
P(A),
则P(B|A),故选:
A.
7.『解答』解:
由a1=2,且am+n=aman,
取m=1,得an+1=a1an=2an,∴,
则数列{an}是以2为首项,以2为公比的等比数列,则,
∴ak+1+ak+2+…+ak+10215﹣25,∴k+1=5,即k=4.故选:
C.
8.『解答』解:
由数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n•1•3…(2n﹣1)(n∈N*)时,
从“k”到“k+1”的证明,左边需增添的一个因式是2(2k+1),
则f(k+1)=f(k)•『2(2k+1)』,故选:
B.
9.『解答』解:
如图所示,
过点E作EF⊥AB,垂足为F.
∵E是母线PB的中点,圆锥的底面半径和高均为1,
∴OF=EF.∴.在平面CED内建立直角坐标系.
设抛物线的方程为y2=2px(p>0),F为抛物线的焦点.
C,∴1,解得p.F.即点F为OE的中点,
∴该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离为,故选:
D.
10.『解答』解:
建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设正方体的棱长|AB|=3,
则A(3,0,0),B(3,3,0),C(0,3,0),D(0,0,0),A1(3,0,3),B1(3,3,3),C1(0,3,3),D1(0,0,3),
∴(﹣3,﹣3,3),设P(x,y,z),
∵(﹣1,﹣1,1),
∴(2,2,1).
∴|PA|=|PC|=|PB1|,
|PD|=|PA1|=|PC1|,
|PB|,|PD1|.
故P到各顶点的距离的不同取值有,3,,共4个.故选:
B.
11.『解答』解:
∵n是正奇数,则7n+C7n﹣1+C7n﹣2+……+C71=(7+1)n﹣1=(9﹣1)n﹣1
=9n﹣C9n﹣1+C9n﹣2﹣…+C91,
∴它被9除的余数为1=﹣2,即它被9除的余数为7,故选:
C.
12.『解答』解:
由题意,若m≤0显然f(x)不是恒大于零,故m>0.(由4个选项也是显然,可得m>0),
则显然在(0,1』上恒成立;
当x>1时,⇔,
令g(t)=tet(t>0),g′(t)=(1+t)et>0,g(t)在(0,+∞)上单调递增.
因为mx>0,lnx>0(x>1),所以mx⋅emx>lnx⋅elnx⇔mx>lnx,即,
再设,令h′(x)=0,则x=e,
易得h(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,
所以,故,
所以m的取值范围为.故选:
D.
二.填空题(共4小题)
13.『解答』解:
32y≥2,∴()2;故答案为:
14.『解答』解:
由y=lnx,得y',
∴曲线y=lnx在x=1处的切线斜率k=2,
∵曲线y=lnx在x=1处的切线的倾斜角为α,
∴tanα=2,∴sin2α=2sinαcosα.故答案为:
.
15.『解答』解:
甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.
设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,
甲队以4:
1获胜包含的情况有:
①前5场比赛中,第一场负,另外4场全胜,其概率为:
p1=0.4×0.6×0.5×0.5×0.6=0.036,
②前5场比赛中,第二场负,另外4场全胜,其概率为:
p2=0.6×0.4×0.5×0.5×0.6=0.036,
③前5场比赛中,第三场负,另外4场全胜,其概率为:
p3=0.6×0.6×0.5×0.5×0.6=0.054,
④前5场比赛中,第四场负,另外4场全胜,其概率为:
p3=0.6×0.6×0.5×0.5×0.6=0.054,
则甲队以4:
1获胜的概率为:
p=p1+p2+p3+p4=0.036+0.036+0.054+0.054=0.18.故答案为:
0.18.
16.『解答』解:
如图,
由双曲线x21,得a2=1,b2=3,
∴.
不妨以P在双曲线右支为例,当PF2⊥x轴时,
把x=2代入x21,得y=±3,即|PF2|=3,
此时|PF1|=|PF2|+2=5,则|PF1|+|PF2|=8;
由PF1⊥PF2,得,
又|PF1|﹣|PF2|=2,①
两边平方得:
,∴|PF1||PF2|=6,②
联立①②解得:
,此时|PF1|+|PF2|.
∴使△F1PF2为锐角三角形的|PF1|+|PF2|的取值范围是().故答案为:
().
三.解答题(共6小题)
17.『解答』解:
(1)∵△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.
∵(sinB﹣sinC)2=sin2A﹣sinBsinC.
∴sin2B+sin2C﹣2sinBsinC=sin2A﹣sinBsinC,
∴由正弦定理得:
b2+c2﹣a2=bc,…………(2分)
∴cosA,∵0<A<π,∴A.…………(5分)
(2)∵a+b=2c,A,
∴由正弦定理得,
∴…………(7分)
解得sin(C),∴C,C,…………(9分)
∴sinC=sin()=sincoscossin.…(10分)
18.『解答』解:
(1)∵2an+1an+an+1﹣an=0.∴,…………(2分)
又,∴数列{}是以3为首项,2为公差的等差数列,
∴,∴;…………(5分)
(2)由
(1)知,,…………(7分)
∴a1a2+a2a3+…+an﹣1an,
∵a1a2+a2a3+…+an﹣1an,∴,…………(10分)
∴4n+2<42,∴n<10,∵n∈N*,∴n的最大值为9.…………(12分)
19.『解答』解:
(1)不妨设圆O的半径为1,OA=OB=OC=1,AE=AD=2,,,
,…………(2分)
在△PAC中,PA2+PC2=AC2,故PA⊥PC,…………(4分)
同理可得PA⊥PB
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