初中数学经典四边形习题50道附答案.docx
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初中数学经典四边形习题50道附答案
四边形经典例题50道
8、在正方形ABCD中,直线EF平行于对角线AC,与边AB、
BC的交点为E、F,在DA的延长线上取一点G,使AG=AD,1.已知:
在矩形ABCD中,AEBD
A_
_D
于E,∠DAE=3∠BAE,求:
∠EAC若EG与DF的交点为H,求证:
AH与正方形的边长相等。
O_
的度数。
_E
_B
C_
D_
2.已知:
直角梯形ABCD中,BC=CD=a
_A
且∠BCD=60,E、F分别为梯形的腰AB、
_G_E
DC的中点,求:
EF的长。
_
9、若以直角三角形ABC的边AB为
_D
边,在三角形ABC的外部作正方形
_
B_
_C
ABDE,AF是BC边的高,延长_AFA使
AG=BC,求证:
BG=CD。
3、已知:
在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,
__F
AD=BC,E、F分别为AD、BC的中点,
BD平分∠ABC交EF于G,EG=18,
GF=10求:
等腰梯形ABCD的周长。
_
G_
_F
10、正方形ABCD,E、F分别是AB、AD延长线
_H_C
上的一点,且AE=AF=AC,EF交BC于
_D
G,交AC于K,交CD于H,求证:
_
EG=GC=CH=H。
F
_K
_j
_G
E_
4、已知:
梯形ABCD中,AB∥CD,以AD,AC
_A
_A
_B
_E
_D
D_
为邻边作平行四边形ACED,DC延长线交
F_
_C
BE于F,求证:
F是BE的中点。
11、在正方形ABCD的对角线BD
_E
上,取BE=AB,若过E作BD的垂
_F
线EF交CD于F,求证:
CF=ED。
_
_C
_B
12、平行四边形ABCD中,∠A、∠D的平分线相交于E,AE、_
5、已知:
梯形ABCD中,AB∥CD,ACCB,
DE与DC、AB延长线交于G、F,求证:
AD=DG=GF=F。
A
AC平分∠A,又∠B=60,梯形的周
长是20cm,求:
AB的长。
_
_E
_B
A_
_B
_C
6、从平行四边形四边形ABCD的各顶点作对角线的垂线AE、
BF、CG、DH,垂足分别是E、F、G、H,求证:
EF∥GH。
_D
C_
_
_A_D
13、在正方形ABCD的边CD上任取一
_E
F_
点E,延长BC到F,使CF=CE,求证:
_O
A__D
7、已知:
梯形ABCD的对
H_
_G
BEDF
_E
角线的交点为E若在平行边的一边BC
_
E_
的延长线上取一点F,使
S
ABCEBF=S,求证:
_A
_D
14ABCDAB=CD、在四边形中,,
_G
_
_C
_B_F
_C
_A
_P
_D
P、Q分别是AD、BC中点,M、
DF∥AC。
E_
N分别是对角线AC、BD的中点,
求证:
PQMN。
_
H_
_B_C
F_
B_C
AB=37cm,BE=26cm,EC=14cm求,:
平行四边形ABCD的面积。
15、平行四边形ABCD中,AD=2AB,AE=AB=BF求证:
CEDF。
_
21、在梯形ABCD中,AD∥BC,高AE=DF=12cm两,对角线
BD=20cm,AC=15cm,求梯形
_
ABCD的面积。
___
B_E_F_C
_A_B16、在正方形ABCD中,P是BD上一
__E
点,过P引PEBC交BC于E,过P
引PFCD于F,求证:
APEF。
22、在梯形ABCD中,二底AD、
_
_OBC的中点是E、F,在EF上任
_H
取一点O,求证:
SOAB=SOCD
__F
__C
A__B23、平行四边形ABCD中,EF平行于对角线AC,且与AB、
BC分别交于E、F,求证:
_F_D
_A
17、过正方形ABCD的顶点B引
S
ADE=SCDF
_E
对角线AC的平行线BE,在BE
_D_C
上取一点F,使AF=AC,若作菱
_E
形CAFé,
_
_F
求证:
AE及AF三等分∠BAC。
24、梯形ABCD的底为AD、BC,若CD的中点为E
求证:
SABE=
1
2
SABCD
_
_E
18、以ABC的三边AB、BC、CA分别为边,在BC的同侧作
等边三角形ABD、BCE、CAF,
求证:
ADEF是平行四边形。
_D
E_
_
_F
_A
25、梯形ABCD的面积被对角线BD分成37两部分,求这个_
梯形被中位线EF分成的两部分
_
19、M、N为ABC的边AB、AC的中点,E、F为边AC的三
的面积的比。
等分点,延长ME、NF
交于D点,连结AD、DC,
求证:
⑴BFDE是平行四
边形,⑵ABCD是平行四
_M
_A
E_
_F
D_
_E
_F
边形。
_
__N
_
A__D
26、在梯形ABCD中,AB∥CD,M是
_N
BC边的中点,且MNAD于N,求证:
_M
20、平行四边形
ABCD的对角线交于
O_
SABCD=MN?
AD。
O,作OEBC,
__E_
34、正方形ABCD中,M为AB的任意点,MNDM,BN平分∠CBF,
求证:
MD=NM
_D
_C
27、求证:
四边形ABCD的两条对角线之和小于它的周长而
_N
大于它的周长之半。
28、平行四边形ABCD的对边AB、CD的中点为E、F,
_A_M_B_F
求证:
DE、BF三等分对角线AC。
35、在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=12cm,BC=28cm,EF∥AB
A__D
且EF平分ABCD的面积,求:
BF的长。
_G_E
_A_E_D_F
_H29、证明:
顺次连结四
边形的各边中点的四边
_
形是平行四边形,其周
长等于原四边形的对角线之和。
_C_B_F
36、平行四边形ABCD中,E为AB上的任一点,若CE的延
长线交DA于F,连结DE,求证:
SADE=SBEF
30、在正方形ABCD的CD边上取一点G,在CG上向原正方
_
形外作正方形GCEF,求证:
DEBG,DE=BG。
A__E
D_
__H
F_
_G
37、过四边形ABCD的对角线BD的中点E作AC的平行线
FEG,与AB、AC的交点分别为F、G,求证:
AG或FC平分
此四边形的面积,
__C
_C31、在直角三角形ABC中,CD是斜边AB的高,∠A的平分
线AE交CD于F,交BC于E,EGAB于G,求证:
CFGE是
_G
_D
菱形。
_E
_C
_F
_
_E
_F
38、若以三角形ABC的边AB、AC为边向三角形外作正方形
ABDE、ACFG,求证:
D_
__G
_E
SAEG=SABC
32、若分别以三角形ABC的边AB、AC为边,在三角形外作
_G
正方形ABDE、ACFG,求证:
BG=EC,BGEC。
_E
。
_D
_A
_F_G_P
__A
D_
39、四边形ABCD中,M、N分别
_D
_
H_
F_
是对角线AC、BD的中点,又AD、
BC相交于点P,求证:
_
_C
SPMN=
1
4
SABCD。
33、求证:
对角线相等的梯形是等腰梯形。
_
_D
_A
_F
40、正方形ABCD的边AD上有一点E,满足BE=ED+D,C如
果M是AD的中点,求证:
∠EBC=2∠ABM,
_
_C
46、正方形ABCD中,点P与B、C的连线和BC的夹角为15
_A_M_E
D_
求证:
PA=PD=A。
D
_D
_C
_P
_B
_C
41、若以三角形ABC的边AB、BC为边向三角形外作正方形
_A_B
ABDE、BCFG,N为AC中点,求证:
DG=2BN,BMDG。
47、四边形ABCD中,AD=BC,EF为AB、DC的中点的连线,
_D
并分别与AD、BC延长线交于M、N,求证:
∠AME=∠BNE。
_M
_N
_G
_
_M
_C
_F
_D
_F
_
_42、从正方形ABCD的一个顶点C作CE平行于BD,使BE=BD,
_E
若BE、CD的交点为F,求证:
DE=DF。
48、正方形ABCD中,MNGH,求证:
MN=HG。
A__D
_B_G_C
_M
_E
_N
_F
_H
_A_D
_B_C
49、正方形ABCD中,E是边CD的中点,F是线段CE的中
43、平行四边形ABCD中,直线FH与AB、CD相交,过A、D、
C、B,向FH作垂线,垂足
为、、、,求证:
GFEH
1
点求证:
∠DAE=
2
∠BAF。
_A
_D
AG-DF=CE-BH。
_F
_E
D_
C_
_F
E_
_B_C
_G
_
50、等腰梯形ABCD中,DC∥AB,
_E
_
H_
AB>CD,AD=BC,AC和BD交于O,
且所夹的锐角为60,E、F、M分
_o_m
别为OD、OA、BC的中点。
求证:
三角形EFM为等边三角形。
_F
热点一计算类
44、四边形ABCD中,若∠A=∠C,求证各角平分线围成的
四边形等腰梯形。
_
例1.如图,在□ABCD中,已知AD
=8㎝,AB=6㎝,DE平分∠ADC交BC边于点E,则BE
等于()A.2cmB.4cm
A
D
C.6cmD.8cm
45、正方形ABCD中,∠EAF=45求证:
BE+DF=EF。
例2.如图,□ABCD中,AC.BD为
AB
对角线,BC=6,BC边上的高为4,则阴影部分的面积为
().A.3B.6C.12D.24
例3.如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,
例2.已知命题“如果一个平行四AD边形
O
E
的两条对角线互相垂直,那么这个平行
C
B
四边形是菱形”,写出它的逆命题:
F
AOB60°,AB2,则矩形的对角线AC的长是
()
AD
H
O
A.2B.4C.23D.43
BC
___________________________
例4.如图5,在ABCD中,
AEBC于
例3.在矩形ABCD中,AB1,AD3,AF平分
AD
DAB,过C点作CEBD于E,延长AF、EC交于
E,AEEBECa,且a是一
点H,下列结论中:
①AFFH;②BOBF;③
2230
xx的根,
元二次方程
B
则ABCD的周长为(
E
C
CACH;④BE3ED,正确的A.②③
B.③④C.①②④D.②③④
例4.13.在下列命题中,是真命题的是()
A.两条对角线相等的四边形是矩形B.两条对角线互相垂
A.422B.1262
直的四边形是菱形C.两条对角线互相平分的四边形是平行
C.222D.22或1262
四边形D.两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
热点三动态与操作类
例5.如图,四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠CDA=90°,
例1.(2009年甘肃庆阳)如图7,将正六边形绕其对称中
BE⊥AD于点E,且四边形ABCD的面积为8,则BE=()
心O旋转后,恰好能与原来的正六边形重合,那么旋转的
A.2B.3
角度至少是度.
C.22D.23
例2.(2009年温州)在所给的9×9方格中,每个小正方形
的边长都是1.按要求画平行四边形,使它的四个顶点以及
对角线交点都在方格的顶点上.
(1)在图甲中画一个平行四
例6.只用下列正多边形地砖中的一种,能够铺满地面的是
边形,使它的周长是整数;
(2)在图乙中画一个平行四边形,
()
使它的周长不是整数.(注:
图甲、图乙在答题纸上)
A.正十边形B.正八边形C.正六边形D.正五边形
【答案】解:
(1)
例7.如图6,在ABCD中,AB=6,AD=9,∠BAD的平分
线交BC于点E,交DC的延长线于点F,BG⊥AE,垂足为G,
(2)
BG=42,则ΔCEF的周长为()
A.8B.9.5
C.10D.11.5
例8.若一个正多边形的一个外角是40°,
则这个正多边形的边数是A.10
B.9C.8D.6
例9.已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,
BC=DC=5,点P在BC上移动,则当PA+PD取最小值时,△
APD中边AP
上的高为
()
A、
2
17
17
4
B17
17
A
F
D
8
C、17
17
D、3BEC
热点二.命题与结论类
例1.如图,□ABCD中,E、F分别为BC、AD边上的点,
要使BFDE,需添加一个条件:
.
例3.8ABCDD如图,将边长为㎝的正方形折叠,使点落在
BC边的中点E处,点A落在F处,折痕为MN,则线段CN
A
D
的长是()
M
A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm
例4.(2009年山东青岛市)如图,
F
N
在梯形ABCD中,AD∥BC,
(21OBBC)求第个平行四边形21、第个平行四边形
ABCC和第6个平行四边形的面积.
111
例3.如图所示,两个全等菱形的边长为1米,一个微型机
器人由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运
AD6cm,CD4cm,
C
B
E
BCBD10cm,点P由B出发沿BD方向匀速运动,
动,行走2009米停下,则这个微型机器人停在______点。
例4.在△ABC中,BC=10,B1、C1分别是图①中AB、AC
速度为1cm/s;同时,线段EF由DC出发沿DA方向匀速运
动,速度为1cm/s,交BD于Q,连接PE.若设运动时间为
的中点,在图②中,
B分别是AB,AC的三等
1、B、C、C
212
t(s)
AED
问题:
Q
(1)当t为
P
(0t5).解答下列
何值时,PE∥AB?
分点,在图(3)中
B1、B、B;C、CC分别是
29129
AB、AC的10等分点,则B1C1B2C2B9C9的值是
BFC
△PEQ的面积为y
(2)设
()
(cm
2),求y与t之间的函数关系式;
A.30B.45C.55D.60
(3)是否存在某一时刻t,使
2
S△S△?
若存在,
PEQBCD
25
求出此时t的值;若不存在,说明理由.
(4)连接PF,在上述
运动过程中,五边形
PFCDE的面积是否
发生变化?
说明理由.
例5.(2009桂林百色)如图,正方形ABCD的边长为2,将
长为2的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑
例5.如图,正方形ABCD
边长为1,动,沿正方形
DC
A
Q
D
M动.如果Q点从A点出发,沿图中所示方向按A→B→C→D→A
的边按逆时针方向运动,
滑动到ARB2009止,同时点从点出发,沿图中所示方向按当它的运动路程为
时,点P所在位置为
B→C→D→A→B滑动到B止,在这个过程中,线段QR的中
A(P)
B
BC
R
点M所经过的路线围成的图形的面积为().
A.2B.4πC.πD.π1
热点四规律类
例1.2009ABCD(年北京市)如图,正方形纸片的边长为
1MNADBCB,、分别是、边上的点,将纸片的一角沿过点
的直线折叠,使AMNAAD落在上,落点记为′,折痕交
于点E,MNADBCAN=若、分别是、边的中点,则′
A
______;当点P所在位置为D点
时,点P的运动路程为______(用含
自然数n的式子表示).
E
M
O
N
B
F
热点五证明类
C
例1.已知:
如图在ABCD中,过对角线BD的中点O作
直线EF分别交DA的延长线、AB、DC、BC的延长
D
线于点E、M、N、F。
;若M、N分别是AD、BC边的上距DC最近的n等分
(1)观察图形并找出一对全等三角形:
点(n2,且n为整数),则A′N=(用含有n
△________≌△____________,请加以证明;
的式子表示)
(2)在
(1)中你所找出的一对全等三角形,其中一个三
例2.如图所示,在矩形ABCD中,AB12,AC=20,
两条对角线相交于点O.以OB、OC为邻边作第1个平
角形可由另一个三角形经过怎样的变换得到?
例2.如图,ABCD是正方形.G是
行四边形
OBBC,对角线相交于
1
BC上的一点,DE⊥AG于E,BF⊥
AEMD
AGAD
于F.
A'
点
A,再以A1B1、A1C为邻边作
1
(1)求证:
第2个平行四边形A1B1C1C,对角
E
F
CBN
线相交于点
O;再以O1B1、O1C1
1
B
G
C
△ABF≌△DAE;
为邻边作第3个平行四边形
OBBC⋯⋯依次类推.
(1)
1121
(2)求证:
DEEFFB.
例3.数学课上,张老师出示了问题:
如图1,四边形ABCD
求矩形ABCD的面积;
是正方形,点E是边BC的中点.AEF90,且EF交
正方形外角DCG的平行线CF于点F,求证:
AE=EF.例3.(2009年北京市)在ABCD中,过点C作CE⊥
经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:
取AB的
中点M,连接ME,则AM=EC,易证△AME≌△ECF,
CD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转90得到线段
所以AEEF.
EF(如图1)
(1)在图1中画图探究:
在此基础上,同学们作了进一步的研究:
①当P为射线CD上任意一点(P1不与C重合)时,连
(1)小颖提出:
如图2,如果把“点E是边BC的中点”
改为“点E是边BC上(除B,C外)的任意一点”,其它条
结EP1绕点E逆时针旋转90得到线段EC1.判断直线FC1与
E
件不变,那么结论“AE=EF”仍然成立,你认为小颖的观点直线CD的位置关系,并加以证明;
正确吗?
如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明②当P2为线段DC的延长线上任意一点时,连结EP2,将
B
理由;
(2)小华提出:
如图3,点E是BC的延长线上(除
线段EP2绕点E逆时针旋转90得到线段EC2.判断直线C1C2
与直线CD的位置关系,画出图形并直接写出你的结论.
C点外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE=EF”仍然
成立.你认为小华的观点正确吗?
如果正确,写出证明过
程;如果不正确,请说明理由.
2)若AD=6,tanB=
4
3
AE=1,在①的条件下,设CP1=x,
ADAD
AD
F
SP1FC1=y,求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x
FF
例4.
BB
ECGECG
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