高考数学 热点题型和提分秘籍 专题12 任意角和弧度制及任意角的三角函数 文.docx
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高考数学 热点题型和提分秘籍 专题12 任意角和弧度制及任意角的三角函数 文.docx
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高考数学热点题型和提分秘籍专题12任意角和弧度制及任意角的三角函数文
专题12任意角和弧度制及任意角的三角函数
1.了解任意角的概念
2.了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化
3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义
热点题型一象限角与终边相同的角
例1、
(1)终边在直线y=x上,且在[-2π,2π)内的角α的集合为________。
(2)如果α是第三象限的角,试确定-α,2α的终边所在位置。
【答案】
(1)
(2)见解析
即+2kπ<-α<π+2kπ(k∈Z),
所以角-α的终边在第二象限。
由π+2kπ<α<+2kπ(k∈Z),
得2π+4kπ<2α<3π+4kπ(k∈Z)。
所以角2α的终边在第一、二象限及y轴的非负半轴。
【提分秘籍】
1.终边在某直线上角的求法步骤
(1)数形结合,在平面直角坐标系中画出该直线。
(2)按逆时针方向写出[0,2π)内的角。
(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合。
(4)求并集化简集合。
2.确定kα,(k∈N*)的终边位置的方法
先用终边相同角的形式表示出角α的范围,再写出kα或的范围,然后根据k的可能取值讨论确定kα或的终边所在位置。
【举一反三】
设角α是第二象限的角,且=-cos,则角属于( )
A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】C
热点题型二扇形的弧长及面积公式
例2、
(1)已知扇形周长为10,面积是4,求扇形的圆心角。
(2)已知扇形周长为40,当它的半径和圆心角取何值时,才使扇形面积最大?
【解析】
(1)设圆心角是θ,半径是r,
【提分秘籍】弧度制应用的关注点
1.弧度制下l=|α|·r,S=lr,此时α为弧度。
在角度制下,弧长l=,扇形面积S=,此时n为角度,它们之间有着必然的联系。
2.在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形。
【举一反三】
已知扇形的圆心角是α=120°,弦长AB=12cm,求弧长l。
【解析】设扇形的半径为rcm,如图。
由sin60°=,
得r=4(cm),
∴l=|α|·r=×4=π(cm)。
热点题型三三角函数的定义及其应用
例3.
(1)若角θ的终边经过点P(-,m)(m≠0)且sinθ=m,则cosθ的值为________。
(2)顶点在原点,始边在x轴的正半轴上的角α,β的终边与圆心在原点的单位圆交于A,B两点,若α=30°,β=60°,则弦AB的长为________。
【答案】
(1)-
(2)
【提分秘籍】三角函数定义的应用方法
(1)已知角α终边上一点P的坐标,可求角α的三角函数值。
先求P到原点的距离,再用三角函数的定义求解。
(2)已知角α的某三角函数值,可求角α终边上一点P的坐标中的参数值,可根据定义中的两个量列方程求参数值。
(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小,根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标。
【举一反三】
已知角α的终边与单位圆的交点P,则sinα·tanα=( )
A.-B.±C.-D.±
【答案】C
【解析】由|OP|2=+y2=1,得y2=,y=±。
得y=时,sinα=,tanα=-,此时,sinα·tanα=-。
当y=-时,sinα=-,tanα=,
此时,sinα·tanα=-,故选C。
1.【2017北京】在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若,=___________.
【答案】
【解析】因为和关于轴对称,所以,那么,(或),
所以.
1.【2016高考新课标3理数】在中,,边上的高等于,则()
(A)(B)(C)(D)
【答案】C
2.【2016高考新课标2理数】若,则()
(A)(B)(C)(D)
【答案】D
【解析】,
且,故选D.
【2015高考新课标1,理2】=()
(A)(B)(C)(D)
【答案】D
【解析】原式===,故选D.
(2014·新课标全国卷Ⅰ]如图11,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]上的图像大致为( )
图11
A B
C D
【答案】C
1.sin(-270°)= ( )
A.-1B.0C.D.1
【解析】选D.因为-270°角的终边位于y轴的非负半轴上,在其上任取一点(0,y),则r=y,所以sin(-270°)===1.
2.已知α是第四象限角,则π-α是 ( )
A.第一象限角B.第二象限角
C.第三象限角D.第四象限角
【解析】选C.因为α,π-α的终边关于y轴对称,所以由题意得π-α是第三象限角.
3.小明出国旅游,当地时间比中国时间晚一个小时,他需要将表的时针旋转,则转过的角的弧度数是 ( )
A.B.C.-D.-
【解析】选B.由题意小明需要把表调慢一个小时,逆时针旋转时针弧度.
4.已知角α的终边上一点的坐标为,则角α的终边在第 象限( )
A.一B.二C.三D.四
【解析】选D.因为=,所以α在第四象限.
5.下列命题中正确的是 ( )
A.若两扇形面积的比是1∶4,则它们弧长的比是1∶2
B.若扇形的弧长一定,则面积存在最大值
C.若扇形的面积一定,则弧长存在最小值
D.任意角的集合可与实数集R之间建立一一对应关系
6.若tanα<0,且sinα>cosα,则α在 ( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限[]
【解析】选B.因为tanα<0,所以α在第二或第四象限,又sinα>cosα,所以α在第二象限.
7.对于第四象限角的集合,下列四种表示中错误的是 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.先选定一周,A:
270°到360°再加360°的整数倍,B:
-90°到0°再加360°的整数倍,D:
630°到720°再加360°的整数倍,故A,B,D都正确,只有C错误.
8.已知角α的始边与x轴的正半轴重合,顶点在坐标原点,角α终边上的一点P到原点的距离为,若α=,则点P的坐标为 ( )
A.(1,)B.(,1)
C.()D.(1,1)
【解析】选D.设点P的坐标为(x,y),则由三角函数的定义得
即
故点P的坐标为(1,1).
9.下列终边相同的角是 ( )
A.kπ+与,k∈Z
B.kπ±与,k∈Z
C.kπ+与2kπ±,k∈Z
D.(2k+1)π与(4k±1)π,k∈Z
10.如图,设点A是单位圆上的一定点,动点P从A出发在圆上按逆时针方向转一周,点P所旋转过的弧AP的长为l,弦AP的长为d,则函数d=f(l)的图象大致为 ( )
【解析】选C.如图,取AP的中点为D,设∠DOA=θ,
则d=2sinθ,l=2θR=2θ,
所以d=2sin.
11.已知α(0<α<2π)的正弦线和余弦线长度相等,且符号相同,那么α的值为 .
【答案】或
【解析】根据正弦线和余弦线的定义知,
当α=和时,其正弦线和余弦线长度相等,且符号相同.
12.若sinθ·cosθ<0,=cosθ,则点P在 ( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
13.已知角α的终边经过点P(3a-9,a+2),且cosα≤0,sinα>0,则a的取值范围是 .
【答案】(-2,3]
【解析】由得
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