初等代数研究课后习题完整版余元希.docx
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初等代数研究课后习题完整版余元希
初等代数研究课后习题完整版
(1)对任何
a,b
N,
当且仅当
a
b时,b
a.
(2))对任何
a,b
N,
在a
b,
ab,a
b中有且只有一个成立
证明
:
对任何
a,b
N,
设A
a,
Bb
(1)
a”
a
b,则
B,
B,使A~B,,
BB,~A,ba
a”
b
a,则
B,
B,使B,~A,
A~B,B,ab
综上对任何
a,b
N,a
b
ba
(2)
由
(1)
a
b
ba
a
b与a1
b不可能同时成立,
假设a
b与a
b同时成立,
则B,
B,使A~B,且A~B,
1、证明自然数的顺序关系具有对逆性与全序性,即
B~B,与B为有限集矛盾,
ab与ab不可能同时成立,
综上,对任何a,bN,在ab,ab,a
b中有且只有一个成立
2、证明自然数的加法满足交换律
先证a
11
a,
设满足此式的
a组成集合
k,
显然有1+1=1+1成立
1k
,设
a
k,a11
a,则
a1
(a
)(a1)
(1a)
1
a
ak,
k
N,
取定a,则
1M,
设
b
M,abba,则
ab(a
b)
(b
a)ba
bM
I
M
N
对任何
a,b
N,
abba
证明:
对任何a,b
N设m为使等式abb
a成立的所有b组成的集合
3、证明自然数的乘法是唯一存在的
证明:
唯一性:
取定a,反证:
假设至少有两个对应关系
f,g,对bN,有
f(b),g(b)N,设M是由使f(b)g(b)成立的所有的b组成的集合,
f(b)g(b)a11M
设bN则f(b)g(b)f(b)ag(b)a
f(b)g(b),bM,MN即bN,f(b)g(b)
乘法是唯一的
存在性:
设乘法存在的所有a组成集合K当a1时,bN,
,设aK,
111,1bbb
即乘法存在
A2,A2
A3a
3,As
A
A7
4,A
5基数和为2
3343528
p24—6、证明:
Aa,B
b,
A中的x与B中的
y对应
A
Bab,
B
Aba
ab
AB
ab
AB
AB
B
A
p24—&证明:
1)3+4=7
31
343
231
(31)4
5
33
32
(3
2)
5
6
34
33
(3
3)
6
7
2)34
12
31
3
32
31
31
36
33
32
32
3
9
34
33
33
3
12
p24—12、证明:
1)(m
n)
m
n
A5
(mn)
mn1(m1)n
2)(mn)nmm
(mn)mn1mn(m1)nmm
p26—36、已知f(m,n)对任何m,nN满足
f(1,n)n1
f(m1,1)f(m,2)
f(m
1,n1)
f(m,f(m1,n))
求证:
1)
f(2,n)
n2
2)
f(3,n)
2n2
3)
f(4,n)
2n12
证明:
1)当n1时,f(2,1)f(11,1)f(1,2)2112结论成立,
假设nk时,结论成立,即f(2,k)k2,
当nk1时,
f(2,k1)f(11,k1)f(1,f(2,k))
f(1,k2)(k2)1(k1)2所以对一切自然数结论都成立
2)当n1时,f(3,n)f(21,n)f(2,2)22212结论成立
假设nk时,结论成立,即f(3,k)2k2
当nk1时,
f(3,k1)f(21,k1)
f(2,f(3,k))
f(2,2k2)2k22
2(k1)2
所以对一切自然数结论都成立
3)当n1时,f(4,1)f(3
1,1)f(3,2)2222112结论成立
假设nk时,结论成立,即
k1
f(4,k)2k12
当nk1时,
f(4,k1)f(3,f(4,k))
f(3,2k12)
2(2k12)22k22
所以对一切自然数结论都成立
p62—1、证明定理2.1
证明:
[a,b],[c,d]Z,[a,b][c,d][ac,bd]
因为自然数加法满足交换律[ac,bd][ca,db]
而[c,d][a,b][ca,db][a,b][c,d][c,d][a,b]
证明:
“”已知[a,b][c,d]则adbc
[a,b][c,d][ad,bc][1,1]
“”已知[a,b][c,d][1,1]则[ad,bc][1,1],adbc
[a,b][c,d]
p62—4、已知a,bN,求证([a,b])[a,b]
证明:
[a,b][b,a]([a,b])[b,a][a,b]
p62—5、已知[a,b],[c,d]Z,求证([a,b][c,d])[a,b][c,d]
证明:
左边([a,b][c,d])[ad,bc][bc,ad]
右边[a,b][c,d][b,a][c,d][bc,ad]所以左边等于右边([a,b][c,d])[a,b][c,d]
p62—7、已知a,b,cN,求证当且仅当adbc时[a,b][c,d]
证明:
“”已知adbc,[a,b][c,d][ad,bc]
因为adbc[ad,bc]是负数,[a,b][c,d]
已知[a,b][c,d]则[a,b][c,d][ad,bc]
因为[ad,bc]是负数,adbc
p62—9、已知
Z,求证:
1)
2)
II
证明:
设
[a,b],
[Gd]
[ac,b
d]
(ac)(bd)
(a
c)
acbd
ab,
(b
d)
(ab)
(c
d)
[ac
(ad
II
bd,ad
bc]
ac
bd
(ad
bc)
a(cd)b(dc)
b)(c
d)
p63—12、n名棋手每两个比赛一次,没有平局,若第
k名胜负的次数各为ak,bk,
、22
k1,2,,n,求证:
a1a2
a2b1
证明:
对于ak(k1,2,...,n),必存在一个bj(j1,2,...,n)使得ak
bj
a:
b2(k,j
22
a?
bf
...bn
p63—16、已知p10a
p10cd,求证padbc
证明:
由已知:
s,t
Z使10ab
ps,
10cdpt
10a
ps,d10c
pt
adbc
10ac
apt(10ac
cps)
p(csat)
padbc
p63—17、设2不整除a,求证8a21
证明:
因为2不整除a,所以存在唯一一对
q,rZ,使a
2qr,
其中0r2
r1,a24q24q1a2
4q(q1)
8a21
p63—20、设aZ,求证a(a1)(a2)(a3)1是奇数的平方
(a1)(a2)肯定为偶数
证明:
a(a
1)(a
2)(a3)1
[(a
1)
1](a1)[(a2)(a2)1]1
[(a
1)2
(a1)][(a
2)2
(a
2)]1
(a
1)2(a
2)22(a
1)(a
2)
1
[(a
1)(a
2)1]2
a1,a2肯定一奇一偶
(a1)(a2)1肯定为奇数
p63—22、证明:
前n个自然数之和的个位数码不能是2、4、7、9
证明:
前n个自然数的和为°n)n
2
因为:
n个自然数的和仍为自然数1+n与n中必定一个为奇数一个为偶数
若个位数码为2
则1+n与n的个位数码只能是1,4或4,1
而(1+n)-n=1个位数码不能为2
若个位数码为4
则1+n与n的个位数码只能是1,8或8,1也不可能成立若个位数码为7
则1+n与n的个位数码有2种可能,则2,7或1,14
也不可能成立,若个位数码为9
则1+n与n的个位数码有2种可能,即2,9或1,18也不可能成立,
综上,前n个自然数和的个位数码不能是2,4,7,9
p63—26、证明2.3定理1(a1,a2,……a.,)=(a1,a2,……an)
证明:
因为:
(a1,a2,……a“)是印^,……an的公因数中的最大数
所以R需考虑非负整数(a1,a2,an,)=(a1,a2,an)
p63—29、证明2.3定理4的推论(a,b)1的充要条件是有x,yZ使得axby1
证明:
因为(a,b)1
a,b不全为0
“”由定理4
x,yZ使axby(a,b)1
“”设(a,b)
d则da,db,daxbyd1d(a,b)1
p63—30、证明2.3定理6及其推论。
定理6:
若mN,贝U(ma,mb)m(a,b)
证明:
若a,b都为0,则(0,0)m(0,0)显然成立
若a,b不全为零,则X0,y°Z使ax°by。
(a,b)
IIIIII
maxmby(ma,mb)而maxmbym(axby)
因为x,yZ,ax0by°axbyax0by。
axby
m(ax0by0)maxmbym(a,b)maxmbym(a,b)(ma,mb)
而(ma,mb)amx^mby0m(a,b)(ma,mb)m(a,b)
推论:
设d是a,b的公因数,贝U(a/d,b/d)1的充要条件是d(a,b)
证明:
“”d是a,b的公因数dNdd(a/d,b/d)(a,b)
“”因为d(a,b)x,yZ,使axbyd
x,yZ,使(a/d)x(b/d)y1(a/d,b/d)1
p64—32、证明2.3定理七及其推论
定理七:
若(a,c)1,bZ,b,c中至少有一个不为0,则(ab,c)(b,c)
证明:
b,c中至少有一个不为0x,yZ使abxcy(a
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