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层流的解析解与近似解
第6章层流的解析解与近似解
粘性流动基本方程组的解析解有着它固有的数学困难,真正能做解析解的流动为数不多,而且都是比较简单的流动。
本章将介绍几种粘性流动的解析解,有助于我们开阔思路,认识多种实际流动的性质。
首先先介绍一下粘性流研究的意义和研究的特点以及粘性流动的基本方程组,接着介绍一些解析解。
在介绍解析解时先考虑常特性不可压缩流体,通过基本方程,解得流场的速度和温度分布,最后求出摩擦阻力系数和热交换系数。
为了认识可压缩流动的特性,介绍两种简单的可压缩流动的解析解。
另外本章只限于雷诺数不大的流动。
6.1粘性流研究的意义
一切流体都具有粘性,但是人类最经常接触的流体,如水和空气其粘性都很小,要考虑粘性的影响就会使数学问题变得非常复杂;另外,对于这些粘性小的流体,忽略其粘性所得到的结果又能在一定程度上符合实际情况,因此,理想无粘性流体理论最先得到了发展,它比粘性流体理论要成熟得多。
应当指出,虽然理想流体理论取得了重大的成就,但在某些方面却有不可逾越的先天性缺陷。
例如,它不能预估管道流动的压力损失,也不能计算在流体中运动的物体所受到的阻力。
后一问题与著名的达朗伯疑题有关。
达朗伯对理想流体进行了严谨的研究后得出了如下结论:
当任意形状的固体在静止的充满无限空间的无粘性流体中作匀速直线运动,它不承受沿运动方向的作用力,即物体所受阻力为零。
在他所做假设的前提下,这一结论的逻辑推理是完全正确的,但它却与实际完全不符,因为所有的物体在流动中运动时都受到阻力作用。
这从反面说明了考虑粘性的必要性。
例1圆柱绕流
对于理想不可压缩流体,
其中——远前方静压,——流体密度。
图6-1给出了上述理想流体的压力系数与实际测量值的比较。
图中的实验曲线对应于两个不同的数。
图6-1圆柱表面的压力分布,理想流体理论与实验测量数据的比较
由图6-1可见,在圆柱的前缘(和)附近,理想流体的理论结果与实际符合较好。
但在后缘()附近两者差别则相当大。
对于理想流体,圆柱前后的流动是完全对称的,所以理论阻力为零。
但是实测的压力分布前后不对称,圆柱后部的实测压力系数低与前部对应点处的值,使圆柱受到向后作用的力,即压差阻力。
另外,实际流体也引起表面摩擦阻力。
理想流体理论不能计算出这些阻力,这是它与实际流动情况的重要差别。
图6-2真实流绕圆柱的流动
由图6-1还可看出,理想流体结果与亚临界雷诺数流动的差别较大,与超临界雷诺数流动的差别较小。
实际上流体在圆柱体后部处于减速增压流动阶段,由于粘性耗散,使边界层内底层流体动能不断消耗,无力克服迎面高压。
这股流体将在该处与固体壁面脱离,这种现象称为边界层分离。
流体分离后,静压不易再有较大的回升,并在其后形成宽的尾迹,见图6-2。
在图6-1中实际流体在圆柱体后缘呈现出的低压区就是这样产生的。
分离点的位置以及尾迹流的宽度和特性取决于雷诺数的数值。
亚临界雷诺数通常对应于层流流动,流体易于分离,而超临界雷诺数通常对应于湍流流动,流体有较强的承受逆压力梯度的能力,不易分离。
这就是图6-1中不同的雷诺数有不同的压力分布曲线的原因。
图6-3圆柱的阻力系数随雷诺数的变化
图6-3表示无量纲阻力系数与雷诺数的关系曲线,其中F为单位长度圆柱所受到的阻力,D为圆柱直径。
由图可见,亚临界雷诺数时,阻力系数很大,随着雷诺数增加,阻力系数下降,在附近,阻力系数急剧降低,这对应于由层流边界层转变为湍流边界层。
阻力系数的这种变化与图6-1中压力系数分布随雷诺数的变化是一致的。
例2二维机翼绕流
二维机翼是指沿展向无限长,且翼型不变的机翼。
圆柱绕流是非线性体的典型例子,机翼绕流则是流线型体的典型例子。
图6-4给出了儒科夫斯基翼型表面的压力分布。
这是在理想流体与实际测量有相同的升力条件下进行的比较。
由图可见,这里的理想流动的结果比圆柱绕流的情况好得多。
几乎沿翼型的整个表面理想流体的结果都与实验符合,只是在翼型的尾部的上表面有较大的差别,这也是沿流动升压使边界层分离的结果。
图6-5给出了儒科夫斯基翼型的升力系数和阻力系数随攻角的变化。
由图可见,攻角在到的范围内,理想流体导出的升力系数与实验符合得很好,这时没有发生严重的分离。
至于阻力的计算,则和圆柱绕流的情况一样,理想流体理论不能得出有用的结果。
图6-4儒科夫斯基翼型表面的压力分布在
流体理想与实际测量有相同的升力条件下图6-5儒科夫斯基翼型的升力系数
理论值与实测值的比较和阻力系数随攻角的变化
从上面两个例子可见,理想流体理论虽在某些方面(如圆柱体前缘附近的压力分布,翼型的压力分布和升力等)能得出与实际情况大体符合的结果,但不能用这种理论来预估阻力,它也不能处理不同雷诺数引起的差别以及分离等问题,而在许多工程技术问题中人们是很关心这些问题的。
因此需要研究有粘性的实际流体的运动和力的作用关系,即粘性流体的运动学和动力学。
6.2粘性流体研究的特点(以不可压粘性流不变为例)
6.2.1粘性流体有旋(只要壁面相对流场运动就是有旋运动)
理想流体运动一般为无旋运动,但也可作有旋运动。
根据亥姆霍兹定理,质量力有势的正压理想流体的涡量和环量具有守恒性,如果初始时刻或入口截面上运动是无旋的,则整个流场都是无旋的,反之则都有旋。
均匀流绕物体流动或物体在静止介质中运动时,从理想流动的观点来看,全流场都是无旋流动。
理想流体的有旋运动出现在质量力无势的斜压流体中,这类运动在气象学中会碰到。
与此相反,粘性流体运动除个别情况外,都是有旋运动,而且涡量和环量没有守恒性,在流动过程中,涡量不断生成,传输和衰减。
粘性运动的有旋性可通过实验观察到,也可从基本方程出发,从数学上得到证明。
下面从不可压缩流体的N-S方程出发,用反证法来证明有旋性。
根据矢量分析和不可压缩流体的连续方程,可得
因而不可压缩流体的N-S方程
可写成
(6.2.1)
如果流体作无旋运动,则,上式变为
(6.2.2)
在无旋流场中必有速度势,当质量力为重力时,则速度和质量力可表为
则上式可写成
(6.2.3)
式中——单位质量的重力,
——与重力平行的轴
对上式沿任一方向积分得伯努利方程
(6.2.4)
式(6.2.2)和(6.2.3)与不可压理想流动的方程完全相同。
由此可见,粘性流体作无旋运动时,其微分形式和积分形式的方程都与理想流动相同,如果不考虑边界条件,则两者的解完全相同,但边界条件必须满足。
理想流动的边界条件只对固壁上的法向速度有规定,而粘性流动除规定法向速度外,还要求切向无滑动,比理想流动多一个边界条件。
理想流动Euler方程或伯努利方程的解是唯一的,不满足壁面无滑条件,故粘性流体作无旋运动与边界上的无滑条件相矛盾,是不可能的。
另外,从两种流动的微分方程看,Euler方程是一阶方程,只要求一个边界条件就可定解,而N-S方程是二阶方程,要有两个边界条件。
当粘性流体作无旋运动时,二阶项消失,降为一阶方程,无滑条件成为多余的约束,根据微分方程定解理论就得不到解。
由此可知,除个别情况外,粘性流体运动总是有旋运动。
6.2.2旋涡的扩散性(对应无粘,不可压,质量有势)
质量力有势的不可压缩粘性流体的涡量方程(涡旋传输方程)
在可压缩条件下,要加正压条件。
(6.2.5)
以和分别表示柱坐标的径向和周向坐标,各速度分量与坐标和时间有关
则
故涡量方程为:
(6.2.6)
在极坐标系中,本流动的涡量方程可写为:
(6.2.7)
作相似变换:
(6.2.8)
其中
可得:
(6.2.9)
(6.2.10)
把(6.2.9)和(6.2.10)代入(6.2.7)可得
(6.2.11)
(6.2.12)
得:
(6.2.13)
与有限制,则有
(6.2.14)
把(6.2.14)代入(6.2.8)
(6.2.15)
其中,为积分常数。
(6.2.16)
将涡量分量用速度表示,并应用斯托克斯定理,将面积分变为线积分
式中为封闭曲线围成的面积,或流管的任意截面积;为封闭曲线微元线段。
上式表示任意涡管强度等于沿涡管周线的速度环量。
(6.2.17)
因时,,故积分常数为
得整个流场的涡量和速度分布为
(6.2.18)
(6.2.19)
6.2.3旋涡的耗散
由粘性流体的能量方程
(6.2.20)
其中
(6.2.21)
公式(6.2.21)的第二个等式可用张量形式写出
(6.2.22a)
对于不可压缩流动,,则上式可化为
(6.2.22b)
表示单位体积的耗散率。
单位质量的耗散率可写为
(6.2.23a)
不可压缩流为
(6.2.23b)
由于粘性内摩擦,能量方程中出现耗散项,其量值始终为正值,这在物理上表示作变形运动的流体将部分机械能不可逆地变为热能,使绝热系统的熵值增加,所以变形率和粘性系数越大,耗损越大;另一方面,也表示外力对流体作的功不可能全部变为动能,总有一部分转化为无用的热而损耗。
粘性流体运动的耗散功与变形率的平方成正比,也与粘性系数成正比,因此一般粘性流体作高速运动时,能量耗散很大,温度很高,而低速流动耗散很小,可以忽略。
6.3粘性流体运动的基本方程简介
6.3.1连续方程
在流场中任取一体积为,边界为的流体系统。
根据质量守恒定律,在流动过程中,系统内的总质量保持不变,即质量在系统中体积分的随体导数等于零,写为
上式可写成
(6.3.1)
或
(6.3.2)
上式称为积分形式的质量方程或连续方程。
因为体积V是任取的,故微分形式的连续方程为:
(6.3.3)
或
(6.3.4)
对不可压缩流体,上式变为:
(6.3.5)
可压缩流体的连续方程(6.3.4)表示流体微元单位体积质量的相对增加率等于体积减小率;不可压缩流体连续方程(6.3.5)表示流体体积保持不变。
6.3.2动量方程
1.直角坐标系中的动量方程
按动量定律,流场中任意系统的总动量变化率应等于作用于该系统上所有外力的合力。
作用于流体系统上的外力有质量力和表面力。
质量力作用于流体质点,如重力、电介流体在电磁场中的电磁力等;表面力是周围流体作用于外表面的力。
如图6-6所示,在流场中任取一封闭系统,系统的边界面为S,体积为V。
设单位质量流体所受的质量力为F,界面上作用的应力张量为。
以n为界面外法线单位矢量。
图6-6流体系统示意图
按动量定律,系统的动量方程可写为:
(6.3.6)
上是又可写为:
(6.3.7)
方程(6.3.7)称为积分形式的动量方程。
根据质量守恒定律,方程(6.3.6)的第一项可写成:
(6.3.8)
根据奥高定理,方程(6.3.6)可写成
(6.3.9)
因为系统是任取的,且被积函数连续,便得
(6.3.10)
方程(6.3.10)称为矢量形式的动员微分方程。
将广义牛顿应力关系式代人上式,得
(6.3.11)
代入上式,则式(6.3.11)成为分量形式的动量方程
(6.3.12)
如果u,v,w分别表示直角坐标x,y,z轴的速度分量,以分别表量力在三个轴上的单位质量力,则式(6.3.12)变为
(6.3.13)
对不可压缩流体,为常数时,微分形式的动量方程为
(6.3.14)
写成分量形式为
(6.3.15)
方程(6.3.13)称为Navier-Stokes方程,或简称N-S方程。
方程等号左边第一项表示单位体积流体的动量变化率;等号右边第一项表示单位体积流体所受的质量力
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