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导数复习知识点总结
高考数学复习详细资料一一导数概念与运算知识清单
1•导数的概念
函数y=f(x),如果自变量x在X0处有增量X,那么函数y相应地有增量y=f(x0+X)—f(X0),比值
yyf(xox)f(xo)
x叫做函数y=f(x)在x0到x0+x之间的平均变化率,即x=x。
如果当x0时,
_y
x有极限,我们就说函数y=f(x)在点x0处可导,并把这个极限叫做f(x)在点x0处的导数,记作f'
(x0)或y'Ix勺。
yf(x°x)f(x。
)
、lim—lim
即f(x0)=x0x=x0x。
说明:
yy
(1)函数f(x)在点x0处可导,是指x0时,x有极限。
如果x不存在极限,就说函数在点x0处不可导,或说无导数。
(2)x是自变量x在x0处的改变量,x0时,而y是函数值的改变量,可以是零。
由导数的定义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的步骤(可由学生来归纳):
(1)求函数的增量y=f(x0+X)—f(x0);
yf(x°x)f(x°)
(2)求平均变化率x=x;
lim—
(3)取极限,得导数f'(X>)=x0x。
2.导数的几何意义
函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点p(X0,f(x0))处的切线的斜率。
也
就是说,曲线y=f(x)在点p(X0,f(x0))处的切线的斜率是f'(X0)。
相应地,切线方程为y—y°=f/
(X0)(X—X0)。
3.几种常见函数的导数:
Inx
1
-logax
1,
—
logae
⑦
x;
J
⑧
x
③(sinx)cosx.④(cosx)
⑤(ex)ex;⑥(ax)axlna;
4•两个函数的和、差、积的求导法则法则1:
两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),
即:
(UV)'u'V.
法则2:
两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数,即:
(uv)'uvuv'.
IIIII
若C为常数,则(Cu)CuCu0CuCu.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数:
(Cu)'Cu'.
法则3:
两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母
Uu'vuv'
2
的平方:
v'二V(V0)。
形如y=f(X)的函数称为复合函数。
复合函数求导步骤:
分解一一求导一一回代。
法则:
y/Ix=y
|U•u/|X
2010高考数学复习详细资料一一导数应用
知识清单
单调区间:
一般地,设函数yf(x)在某个区间可导,
如果f'(x)0,则f(x)为增函数;
如果f(X)0,则f(x)为减函数;
如果在某区间恒有f(X)0,则f(x)为常数;
2•极点与极值:
曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0;曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正;
3.最值:
一般地,在区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值。
1求函数?
(x)在(a,b)的极值;
2求函数?
(x)在区间端点的值?
(a)、?
(b);
3将函数?
°)的各极值与?
(a)、?
(b)比较,其中最大的是最大值,其中最小的是最小值。
4.定积分
(1)概念:
设函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点a=x0 区间[a,b] n f 等分成n个小区间,在每个小区间[xi—1,xi]上取任一点Ei=1,2,…n)作和式In=i=1(Ei)△其中Ax为小区间长度),把门-^即厶x一时,和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a,b]上的定积分, 记作: n bblimf af(X)dX即af(X)dXn/E•、△ a,即a=i1(Ei)△x。 这里,a与b分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式。 基本的积分公式: 0dx=C; 1m1 xdx=m1x+C(m€Q,m^—1); lnx+C; exdxx x=e+C; C0Sxdx=sinx+C; sinxdx=_cosx+C(表中C均为常数)。 (2)定积分的性质 圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。 对于半径为 R的球,若将R看作(0, bb kf(x)dxkf(x)dx aa(k为常数); bbb af(x)g(x)dxaf(x)dxag(x)dx aaa b 边梯的面积Saf(X)dx。 课前预习 1•求下列函数导数 yrf^ bb af,x)dxaf2(x)dx aa o +^)上的变量,请你写出类似于 1的式子: ; 2式可以用语言叙述为: 。 1 y_2 5.曲线x和yX在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是 6•对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x—1)f(x)0,则必有( A.f(0)+f (2)2f (1)B.f(0)+f (2)2f (1) C.f(0)+f (2)2f (1)D.f(0)+f (2)2f (1) 7.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f(x)在(a,b)的图象如图所示,贝q函数f(x)在开区间(a,b) 有极小值点() A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个 8. fx 已知函数 1xax e 1x。 (I)设a0,讨论y fx的单调性;(n)若对任意x0,1恒有fx1 求 a的取值围。 9. 32 f(x)x3x2在区间 1,1上的最大值是( ) (A)—2 (B)0 (C)2 (D)4 10 .设函数f(x)= =2x33(a 1)x21,其中a1. (I)求f(x)的单调区间; (n)讨论f(x)的极值。 3 11.设函数f(x)x3x2分别在X1、x2处取得极小值、极大值.xoy平面上点A、B的坐标分别为 uuuuiur (心心))、(X2,f(X2)),该平面上动点P满足PA? PB4,点Q是点P关于直线y2(x4)的对称点.求 (I)求点A、B的坐标; (II)求动点Q的轨迹方程. 12.请您设计一个帐篷。 它下部的形状是高为1m的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥 (如右图所示)。 试问当帐篷的顶点0到底面中心O1的距离为多少时,帐篷的体积最大? 13.计算下列定积分的值 (1) 3 1(4x x2)dx 2 5 (2) 1(x 1)dx. (3) 2(x 0 sinx)dx 2cos2xdx (4)2; 14. (1)一物体按规律x=bt3作直线运动,式中x为时间t通过的距离,媒质的阻力正比于速度的平方.试求物体由x=0运动到x=a时,阻力所作的功。 (2)抛物线y=ax2+bx在第一象限与直线x+y=4相切.此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S.求使S达到最大值的a、b值,并求Smax. 典型例题 一导数的概念与运算 EG: 如果质点A按规律s=2t3运动,则在t=3s时的瞬时速度为() A.6m/sB.18m/sC.54m/sD.81m/s 变式: 定义在D上的函数f(x),如果满足: xD,常数MO, 都有|f(x)| M=1为上界的有界函数,数a的取值围. 以M=1为上界的有界函数,数a的取值围. f(x) 则lim- f(2 x)f (2) EG: 已知 xx0 x 的值是() 1 1 A.4 B .2 C.4 D.—2 设f3 4,则lim f3 hf3 为 变式1: h0 2h () A.—1 B.—2 C. —3D.1 A2fx°bfx° C3fx°d4fx° 变式2: 设^在x°可导,则讥5*J。 "等于() A.(—3,0)U(3,+x) B.(—3,0)U(0,3) EG: 求所给函数的导数: 则不等式f(x)g(x)V0的解集是 D.(—x,-3)U(0,3) C.(—x,-3)U(3,+x) EG: 已知函数yxlnx.(i)求这个函数的导数; (2)求这个函数在点x1处的切线的方程. x 变式1: 已知函数ye (1)求这个函数在点xe处的切线的方程; (2)过原点作曲线y二ex的切线,求切线的方程. 变式2: 函数y=ax2+1的图象与直线y=x相切,则a=() 111 A.8B.4C.2D.1 EG: 判断下列函数的单调性,并求出单调区间: (1)f(x)x33x; (2)f(x)x22x3; ⑶f(x)sinxx,x(0,); 32 ⑷f(x)2x33x224x1. 变式1: 函数f(x)XeX的一个单调递增区间是 A.1,0B.2,8C.1,2D.0,2 y-x3x2ax5 变式2: 已知函数3 (1)若函数的单调递减区间是(-3,1),则a的是 ⑵若函数在[1,)上是单调增函数,则a的取值围是 变式3: 设t0,点P(t,0)是函数f(x)x3»与g(x)bx2c的图象的一个公共点,两函数的 图象在点P处有相同的切线• (I)用t表示a,b,c; (n)若函数y f(x)g(x)在(—1,3)上单调递减,求t的取值围. EG: 求函数f(x) ^x34x4 3的极值. 求函数 f(x) 〔x34x403 3在,3上的最大值与最小值 变式1: 函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f(x)在佝b)的图象如图所示,贝U函数f(x)在开区 间(a,b)有极小值点() A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个 32 变式2: 已知函数f(x)axbxcx在点xo处取得极大值5,其导函数yf'(x)的图象经过点(1,0), (2,0),如图所示•求: (I)X。 的值;(n)a,b,c的值. 4 3— 变式3: 若函数f(x)axbx4,当x2时,函数f(x)极值3, (1)求函数的解析式; (2)若函数f(x)k有3个解,数k的取值围. f(x) 3x 12 —x 2x c 变式4: 已知函数 2 ,对x〔—1,2〕,不等式f(x)c2恒成立,求 c的取 值韦。 EG: 利用函数的单调性, 证明: lnx x ex,x0 11 lnx 1x 变式1: 证明: x1 x 1 变式2: (理科)设函数f(x)=(1+x)2—In(1+x)2.若关于x的方程f(x)=x2+x+a在[0,2]上恰好有两个相异的实根,数a的取值围. 32 EG: 函数f(x)x3xxR,若fmxf1mx°恒成立擞m的取值围 3fmsinf1m00— 变式1: 设函数f(x)x3xxR,若2恒成立,数m的取值围. 22 变式2: 如图,曲线段OMB是函数f(x)x(0x6)的图象,BAx轴于点a,曲线段OMB上一点M(t,t) 处的切线PQ交x轴于点P,交线段AB于点Q, (1)若t已知,求切线PQ的方程⑵求QAP的面积的最大值 变式3: 用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小形,然后把四边翻折900角,再焊接而成,问该容器的高为多少时,容器的容积最大? 最大的容积是多少? c(x)1200—x3 变式4: 某厂生产某种产品x件的总成本75(万元),已知产品单价的平方与产品件数x成反比,生产100件这样的产品单价为50万元,产量定为多少时总利润最大? EG: 计算下列定积分: (理科定积分、微积分) ⑴卞; (2): (2x于)dx;(3)0sinxdx; 22 (4)sinxdx;(5)°sinxdx 变式1: 计算: ; 2cos2x,dx (1)0cosxsinx; (2) 变式2: 2 求将抛物线yx和直线x1围成的图形绕X轴旋转一周得到的几何体的体积. 1 2八 变式3: 在曲线yxx0上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围的面积为12,试求: (1) 切点A的坐标; (2)在切点A的切线方程. 实战训练 1.设函数f(x)在定义域可导,y=f(x)的图象如右图所示,贝U导函数y=f(x)的图象可能为() 2.已知曲线S: y=3x-x3及点P(2, 2),则过点P可向S引切线的条数为( 2 3.C设S上的切点(x0,y0)求导数得斜率,过点P可求得: (x。 1)(x02) 4.函数yxcosxsinx在下面哪个区间是增函数( (B)(,2) 35 (0(" (D)(2,3) 4 5.y=2x3-3x2+a的极大值为6,那么a等于() (A)1,-1 (B)3,-17 (C)1,-17 (D)9,-19 7•设11为曲线y1=sinx在点(0,0)处的切线,12为曲线y2=cosx在点(2,0)处的切线,则11与12的夹角 为. 8.设函数f(x)=x3+ax2+bx—1,若当x=1时,有极值为1,则函数g(x)=x3+ax2+bx的单调递减区间 y—x2 9.(07)已知函数yf(x)的图象在点M(1,f (1))处的切线方程是2,则f (1)f (1) 3 10.(07)函数f(x)12xx在区间[3,3]上的最小值是 32 11.(07)曲线yx2x4x在点(1,3)处的切线方程是9..已知函数 32 f(x)xaxb(a,bR) (I)若函数f(x)图像上任意一点处的切线的斜率小于1,求证: a3; (U)若x0,1,函数yf(x)图像上任意一点处的切线的斜率为k,试讨论k<1的充要条件。 (I)求](t)的表达式;(n )诗询在区间(-1,1)的单调性并求极值• xx 12. 1,将f(x)的最小值记为g(t). (07)设函数f(x)=-cos2x-4tsin°cos2+4t2+t2-3t+4,x€R,其中< 实战训练B 时() f(x) 0, g(x)0 B. f(x)0,g(x)0 f(x) 0, g(x)0 f(x)0,g(x)0 2. (07) 曲线 1 x o ye在点(4, e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( 92 e A.2 B. 4e2 2 C.2e 2 D.e 3.(07) 曲线 在点(2, e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( 92 e A.4 B. 2e2 2 e 2~ C.eD.2 4.(07) 已知二次函数f(x) 2 axbxc的导数为f'(x),f'(0) 0,对于任意实数x都有f(x)0,则 f (1) 0 5.(07)5.若 f(0)的最小值为 sinxA. -xsinx nB. 42 sinx—x n 42 sinx—x D.n 0 6.(07)若 n 2,贝U下列命题正确的是( 2 sinx—x A.n 2 3 3 sinx—x sinx—x sinx—x B.n C.n D.n ) (x)与g(x)仅当x0时的函数值为0,且 7.(07)已知f(x)与g(x)是定义在R上的连续函数,如果 f(x)>g(x),那么下列情形不可能出现的是() A.0是f(x)的极大值,也是g(x)的极大值 B.0是f(x)的极小值,也是g(x)的极小值 C.0是f(x)的极大值,但不是g(x)的极值 d.0是f(x)的极小值,但不是g(x)的极值 (07全国一) 曲线 13 y3x x 在点 1,4 3处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( 1 c.3 10.(07)设f(X)是函数f(x)的导函数,将yf(x)和yf(X)的图象画在同一个直角坐标系中,不可 能正确的是() 12.(07)函数f(x)xlnx(x0)的单调递增区间是 3 13.(07)已知函数f(x)x12x8在区间[3,3]上的最大值与最小值分别为M,m,则Mm 22 14.(07)设函数f(x)tx22t2xt1(xR,t0). (I)求f(X)的最小值h(t); (n)若h(t)2tm对t(O,2)恒成立,数m的取值围. 2 15.(07)已知a是实数,函数f(x)2ax2x3a•如果函数yf(x)在区间[1,1]上有零点,求a的 取值围.
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