降幂公式辅助角公式应用.docx
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降幂公式辅助角公式应用
降幂公式、辅助角公式应用
降幂公式
(cos
α)^2=(1+cos2
α)/2
(sin
α)^2=(1-cos2
α)/2
(tan
α)^2=(1-cos(2
α))/(1+cos(2
α))推导公式如下
直接运用二倍角公式就是升幂,将公式
Cos2α变形后可得到降幂公式:
cos2
α=(cos
α)^2-(sinα)^2=2(cos1=1α-)^22(sin-α)^2
cos2
α=2(cos
α)^2
-1,(cosα)^2=(cos2α+1)/2
cos2α=1-2(sin
α)^2,(sin
α-cos2)^2=(1α)/2
降幂公式
例10、(2008惠州三模)已知函数f(x)3sin2xsinxcosx
(I)求函数f(x)的最小正周期;
(II)求函数f(x)在x
0,
的值域.
2
解:
f(x)
3sin2xsinxcosx
3
1cos2x
1sin2x
2
2
1sin2x
3cos2x
3
sin(2x)
3
(I)T
2
2
2
2
3
2
2
(II)∴0
x
∴
2x
4
3
)1
3
∴
sin(2x
2
3
3
2
3
所以f(x)的值域为:
2
3
3,
2
点评:
本题考查三角恒等变换,三角函数图象的性质,注意掌握在给定范围内,三角函数值域的求法。
例
11
、(
2008
广东六校联考)已知向量a=
(cos
3x,
sin
3x
,b=
x
,
x),且
2
)
(cos
sin
2
2
2
x∈[0,
].
2
(1
)求ab
(2
)设函数f(x)ab+a
b,求函数f(x)的最值及相应的
x的值。
解:
(I)由已知条件:
0
x
r
r
3x
x
3x
x
,得:
a
b
(cos
cos
sin
sin)
2
2
2
2
2
(cos3x
cosx)2
(sin3x
sinx)2
2
2cos2x
2sinx
2
2
2
2
(2)f(x)2sinx
cos3xcosx
sin3xsinx
2sinxcos2x
2
2
2
2
2sin2x
2sinx
1
2(sinx
1)2
3
,因为:
0x
,所以:
0
sinx1
2
2
2
x
1
fmax(x)
3
0,或x
1时,fmin(x)
1
所以,只有当:
2
时,
,x
2
点评:
本题是三角函数与向量结合的综合题,考查向量的知识,三角恒等变换、函数图象等知识。
例12、(2008
北京文、理)已知函数f(x)sin2
x
3sinxsin(x)(f0)的最
2
小正周期为π.
(Ⅰ)求ω的值;
(Ⅱ)求函数f(x)在区间[0,2
]上的取值范围.
3
解:
(Ⅰ)f(x)
1
cos2
x
3
sin2x
2
2
=
3sin
x
1cos2
x
1
2
2
2
=sin(2
x
)
1.
6
2
2
因为函数f(x)的最小正周期为π,且ω>0,所以
2
解得ω=1.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
f(x)
sin(2x
)
1.
2
6
2
,
因为0≤x≤
3
所以
1
7
≤2x
6
≤.
2
6
所以
1
)≤1.
≤(2x
2
6
1
3
3
因此0≤sin(2x
)
]
≤
,即f(x)的取值范围为[0,
2
6
2
2
点评:
熟练掌握三角函数的降幂,由2倍角的余弦公式的三种形式可实现降幂或升幂,在训
练时,要注意公式的推导过程。
辅助角公式与三角函数的图像变换
r
(
3sinx,cosx),
r
例
9、(2008深圳福田等)已知向量a
b(cosx,cosx),函数
r
r
1
f(x)2a
b
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)当x
[
]时,若f(x)1,求x的值.
6
2
解:
(1)
f(x)
23sinxcosx
2cos2x
1
3sin2x
cos2x
2sin(2x).
6
所以,T=.
(2)
由f(x)
1,得sin
2x
1
6
,
2
∵x
[,],∴2x
6
[,7]
∴2x
6
5
∴x
3
6
2
2
6
6
点评:
向量与三角函数的综合问题是当前的一个热点,但通常难度不大,一般就是以向
量的坐标形式给出与三角函数有关的条件,并结合简单的向量运算,而考查的主体部分则是
三角函数的恒等变换,以及解三角形等知识点.
例10、(2007山东文)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,tanC37.
(1)求cosC;
uuur
uuur
5
,且a
b
9,求c.
(2)若CB?
CA
2
sinC
解:
(1)QtanC
3
7,
37
cosC
1
又Qsin2C
cos2C
1
解得cosC
.
8
QtanC0,
C是锐角.
cosC
1
.
8
uuur
uuur
5
5
abcosC
ab
20.
(2)由CB?
CA
,
,
2
2
又Qa
b
9
a2
2abb2
81.
a2
b2
41.
c2
a2
b2
2abcosC
36.
c
6.
点评:
本题向量与解三角形的内容相结合,考查向量的数量积,余弦定理等内容。
例11、(2007
湖北)将y
x
π
的图象按向量a
π
平移,则平移后所得图
2cos
6
,2
3
4
象的解析式为(
)
x
π
2
B.y2cos
x
π
A.y2cos
4
3
2
3
4
C.y
2cos
x
π
2
D.y
x
π
3
12
2cos
12
2
3
解:
由向量平移的定义,在平移前、后的图像上任意取一对对应点
P'
x',y',Px,y
,则
π
uuur
'
'
'
'
a
2
'
x
x
y2,代入到已知解析式中可得选A
4
,
PP
x,y
y
x
y
4
点评:
本题主要考察向量与三角函数图像的平移的基本知识,以平移公式切入,为中档题。
注意不要将向量与对应点的顺序搞反,或死记硬背以为是先向右平移
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- 公式 辅助 应用