同底数幂的乘法.docx

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同底数幂的乘法

同底数幂的乘法

14．1　整式的乘法

同底数幂的乘法

教学目标

知识与技能

1．探索并理解同底数幂的乘法法则，并能运用其熟练地进行运算；

2．运用同底数幂的乘法法则解决一些简单实际问题，体会数式通性的思想方法．

过程与方法

学生利用乘方的意义计算出同底数幂的乘法的结果，再经历观察、猜想、归纳的过程

得出同底数幂的乘法法则，体会由特殊到一般、数式通用的数学思想。

情感态度价值观

使学生认识到数学与现实生活的密切联系，让学生充分参与到数学学习的过程中来，

使他们体验到成功的乐趣。

教材分析

本节课是学生在学习了单项式乘以单项式、单项式乘以多项式之后安排的内容，既是单项式与多项式相乘的应用与推广，又为今后学习乘法公式作准备。

学情分析

在学习本章之前，学生已经掌握了用字母表示数、列简单的代数式，会把一些简单的实际问题中的数量关系用代数式表示。

而同底数幂的乘法法则的导出，是一个有特殊到一般的过程，他们对于字母表示幂指数还是首次遇到，所以他们会感到抽象，不易理解。

因此，我采用了由特殊的数到式逐渐引导学生，让学生体会由特殊到一般的思维过程。

教学重点

同底数幂的乘法法则．

教学难点

正确理解与推导同底数幂的乘法法则．

教法与学法

教学方法：

问题探究法，讨论法，练习法。

通过实际问题引人课题，引导学生观察、归纳得出计算法则，在通过练习较强对法则的理解和巩固

学习方法：

自主学习，合作学习。

学生通过自主思考同底数幂相乘的计算特点，在自主探究的基础上，通过小组合作，相互质疑，共同探究使法则得到深化。

课型：

新授课

时间分配：

一、章头学习（3分钟）二、创设情景，导入新课（5分钟）三、自主探究，引出法则（10分钟）四、合作探究，理解法则（10分钟）五、学以致用，深化法则（8分钟）六、总结梳理，内化法则（4分钟）

教学准备

多媒体课件，神十发射的视频

教学过程：

一、章头学习

前我们学习了第十三章的内容，从今天起，我们将一起探究第十四章《整式的乘法与因式分解》——板书课题，先请同学们默读章节导读，思考：

本节课我们将从哪些方面来进行学习呢？

二、创设情景，导入新课

导语：

同学们，相信大家对神舟十号飞船一定不会陌生吧，（不会），神十的成功发射再次让中国成为世界的焦点，中国人的航天梦想再次得到了腾飞。

（1）让我们看看神十的升空吧！

（出示神十升空视频）

（2）神十的飞行速度为104米/秒，每天飞行的时间为105秒，它每天约飞行多少米？

（出示课件）可列式为：

104×105

（3）这个式子包含了哪些运算呢？

（乘法、乘方）104表示什么意思呢？

an呢？

a,n,an分别叫什么名字呢？

同学们仔细观察，104与105这两个幂有何共同特点呢？

（底数相同）我们把具有这种特点的运算叫做同底数幂的乘法——板书课题

三、自主探究，引出法则

1、谁能举出同底数幂相乘的例子呢？

（教师根据学生的举例教师板书底数是数、字母、多项式的例子）

23×22a3·a25m×5n（x－y）3×（x－y）2

2、你有办法计算他们吗？

学生自主尝试计算，并说说计算的理由

23×22＝[

（2）×

（2）×

（2）]×[

（2）×

（2）]＝2（5）

a3·a2＝[（a）×（a）×（a）]×[（a）×（a）]＝a（5）

5m×5n＝（5×5×…×5）（m）个））×（5×5×…×5）（n）个）＝5（m＋n）

（x－y）3×（x－y）2＝（x－y）×（x－y）×（x－y）×（x－y）×（x－y）＝（x－y）5

3、观察以上式子的计算，你有什么发现？

（同底数幂相乘，底数不变，指数相加）——教师板书

4、如果我们将具有以上规律的式子用am·an来表示，你能计算它的结果吗？

（在我们现阶段，m,n分别为正整数）am·an＝a（m＋n）（m，n都是正整数）

5、学生齐读法则，并在上勾画出来

四、合作探究，理解法则

学习法则的目的是为了准确的计算，先让我们来扫清计算的障碍吧！

下列计算正确吗？

为什么？

x3＋x3＝x3＋3＝x6　x3·x3＝2x3＝x6a2·a5＝a10（x＋y）2（x－y）3＝（x＋y）5

小组交流：

你觉得在运用同底数幂的乘法法则时应注意些什么？

五、学以致用，深化法则

1、抢答

（1）x2·x5　

（2）a·a6　（3）xm·x2m＋1（4）102×104×105　

展示点评：

学生自主解答，师生共同点评．对

（2）（3）理解:

单独的一个数或字母的指数为1，am·an·ap＝am+n+p

2、同桌互动：

同桌一人写一个同底数幂乘法算式，另一个同学计算

3、变式练习：

（1）2m-2·2m＋1＝a11，则m＝

（2）已知am＝2，an＝3，则am＋n＝

六、总结梳理，内化法则

1．学生谈谈本节课的收获

2、教师梳理本节课的学习

本节课我们先通过乘法的意义计算出了同底数幂相乘的结果，然后经历观察、猜想、归纳出了同底数幂的乘法法则，最后利用法则进行计算，我们也体会到了由特殊到一般，数式通用的数学思想，本节课同学们发言积极，思维活跃，老师要为你们精彩的表现点赞。

七、作业

课本第98页练习

板书设计：

14.1整式的乘法——同底数幂的乘法

an

法则：

同底数幂相乘，底数不变，指数相加am·an＝a（m＋n）（m，n都是正整数）

教后反思

第2课时　幂的乘方

1．探索并理解幂的乘方法则．

2．运用幂的乘方法则进行计算．

幂的乘方运算．

幂的乘方法则总结及应用．

一师一优课　一课一名师　（设计者：

　　　）

一、创设情景，明确目标

1．根据乘方的意义填空：

a·a·a＝________；

a2·a2·a2＝________；

am·am·am＝________（m为正整数）．

2．激趣导入

你能说出444与533两个数中，哪个比较大吗？

学习本节后你就可以回答这个问题了！

二、自主学习，指向目标

自学教材第95至96页，思考下列问题

（1）（am）n的意义是n个am相乘．

（2）幂的乘方运算法则是：

（am）n＝amn（m，n都是正整数）

用文字语言可描述为：

幂的乘方，底数不变，指数相乘．

（3）同底数幂的乘法与幂的乘方运算形式的区别是前者是底数相同的幂相乘，即乘法运算；后者是幂的乘方，即是乘方运算；

同底数幂的乘法与幂的乘方运算法则的区别是运算的结果都是底数不变，前者是指数相加；后者是底数相乘．

三、合作探究，达成目标

　幂的乘方法则的推导

活动一：

根据乘方的意义及同底数幂的乘法法则填空，看看计算的结果有什么规律：

（1）（32）3＝32×32×32＝3（6）；

（2）（a2）3＝a2×a2×a2＝__a6__；

（3）（am）3＝__am×am×am__＝__a3m__（m是正整数）．

展示点评：

对于任意底数a与任意正整数m、n，（am）n＝amam……am,\s\do4（n个am））＝__amn__．

由此可得到幂的乘方法则：

（am）n＝__amn__（m，n都是正整数），即：

幂的乘方，底数__不变__，指数__相乘__．

小组讨论：

同底数幂相乘与幂的乘方的区别？

反思小结：

幂的乘方法则一定要与同底数幂相乘的乘法法则区分开：

两个法则都是底数不变，但同底数幂相乘时，指数相加；而幂的乘方时，指数相乘，这是本质区别．

针对训练：

1．63表示__3__个__6__相乘；（62）3表示__3__个__62__相乘．

2．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”．

（1）a5＋a5＝2a10（×）

（2）（x2）3＝x5（×）

（3）（－3）2·（－3）4＝（－3）6＝－36（×）

（4）[（m－n）3]4－[（m－n）2]6＝0（√）

3．下列运算正确的是（C）

A．（a3）3＝a6　　　B．a4·a4＝a16　　　C．（a3）4＝a12　　　D．a3＋a4＝a7

4．小明的解答有错误吗？

如果错误，请说出正确的结果．

（1）（x3）3＝x6；

（2）a6·a4＝a24.

解：

（1）（x3）3＝x9；

（2）a6·a4＝a10.

　幂的乘方的应用

活动二：

计算：

（1）（103）5　

（2）（a4）4　（3）（am）2　（4）－（x4）3

思考：

以上计算形式是幂的哪种运算？

其运算法则如何？

运算中有负号的应先确定什么？

展示点评：

都是幂的乘方运算，注意和同底数幂的乘法法则区分开；运算用有符号的，先确定结果的符号，再运用法则进行运算．

解答过程见课本P96例2解答过程．

小组讨论：

如何灵活运用幂的运算进行计算？

反思小结：

对于幂的运算，应当先观察形式，应用适当的法则进行运算．

针对训练：

5．若（x2）n＝x8，则n＝__4__．

6．若xm·x2m＝2，求x9m的值．

解：

原式＝（x3m）3＝23＝8.

四、总结梳理，内化目标

1．知识结构图：

乘方的意义

2.理解幂的乘方法则，并能灵活应用幂的乘方法则进行运算．

3．注意幂的乘方法则与同底数幂相乘的区别：

前者是底数不变，指数相乘；后者是底数不变，指数相加．

五、达标检测，反思目标

1．（a2）3＝__a6__；（x6）5＝__x30__．

2．（am）4＝__a4m__；（x3m）2n＝__x6mn__．

3．若a2m＝4，则a3m＝__±8__．

4．若x为正整数，且3x·9x·27x＝96，则x＝2．

5．计算：

（1）（ym）2·（－y3）

解：

原式＝y2m·（－y3）

＝－y2m＋3

（2）（y2）3·y2＋（y2）2y4

解：

原式＝y6·y2＋y4y4

＝2y8

6．

（1）已知xa＝2，xb＝3，求xa＋b的值．

解：

xa＋b＝xa·xb＝2×3＝6

（2）已知xa＝2，xb＝3，求x2a＋3b的值．

解：

x2a＋3b＝x2a·x3b

＝（xa）2·（xb）3

＝22·33

＝4×27＝108

1．上交作业：

一、计算：

（1）－b·（－b3）5；　　　

（2）2（x3）5－（x5）3；　　　（3）a·（a2）4·（－a2）．

解：

原式＝2x15－x15

＝x15

二、已知am＝2，bm＝5，求（a3）m＋（b2）m的值．

解：

原式＝a3m＋b2m

＝（am）3＋（bm）2

＝23＋52

＝8＋25

＝33

2．课后作业：

见《学生用书》．

第3课时　积的乘方

1．探索并理解积的乘方法则．

2．运用积的乘方法则进行计算．

积的乘方运算法则及其应用．

幂的运算法则的灵活运用．

一师一优课　一课一名师　（设计者：

　　　）

一、创设情景，明确目标

若已知一个正方体的棱长为1.1×103cm，你能计算出它的体积是多少吗？

这个结果是幂的乘方形式吗？

积的乘方如何运算呢？

能不能找到一个运算法则？

有前两节课的探究经验，老师想请同学们自己探索，发现其中的奥妙．

二、自主学习，指向目标

自学教材第97至98页，思考下列问题：

1．（ab）n的意义是n个ab相乘．

2.积的乘方运算法则是：

（ab）n＝anbn（n为正整数）

用文字形式可描述为：

等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．

3．和幂有关的运算法则有：

同底数幂相乘；幂的乘方；积的乘方，应当如何区分？

（一是注意运算形式：

是乘法，还是乘方；二是从法则的运算结果进行区分．）

三、合作探究，达成目标

　积的乘方运算法则推导

活动一：

阅读课本P143页的内容，展示点评：

1．根据乘方的意义：

（ab）3表示______个______相乘；（ab）m表示______个______相乘．

2．填出下列运算每一步的依据：

（ab）2＝（ab）·（ab）→依据：

____________

＝（a·a）·（b·b）→____________

＝a2b2→____________

3．计算：

（ab）3＝________＝________＝________

（ab）n＝________＝________＝________

展示点评：

（ab）n＝________（n为正整数）即：

积的乘方，等于把________分别乘方，再把________相乘．

小组讨论：

如何区分同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方这三个运算法则？

反思小结：

一是注意运算形式：

同底数幂相乘是乘法运算，幂的乘方是乘方运算；二是注意法则，即（幂的）乘法指数就是加，（幂的）乘方指数就是乘；积的乘方就是先将各个因式先乘方再相乘．

针对训练：

1．

（1）同底数幂相乘，底数不变，指数__相加__；幂的乘方，底数不变，指数__相乘__；积的乘方，等于各个因式__乘方__的积．

（2）m，n为正整数时，am·an＝__am＋n__；（am）n＝__amn__；（ab）n＝__anbn__

2．如果（x3yn）2＝x6y8，则n等于（D）

A．3　　　B．2　　　C．6　　　D．4

3，4见《学生用书》相应部分。

5．若等式（－2a2·am）3＝－8a12恒成立，则m＝__2__

　积的乘方法则的应用

活动二：

计算：

（1）（2a）3；

（2）（－5b）3；

（3）（xy2）2；

（4）（－2x3）4.

展示点评：

计算时，应严格按照法则，不漏项，特别是符号．

小组讨论：

幂的运算中若混合应用多个幂的运算法则，应当按照什么运算顺序进行运算？

（解答过程见课本P97例3）

反思小结：

在幂的运算中若混合应用多个幂的运算法则时，应当先算积的乘方，再算幂的乘方．最后再按四则混合运算顺序依次运算．

针对训练：

6．填空

（1）（2a2b）3＝__8a6b3__；

（2）（－2×104）3＝__－8×1012__．

7．计算：

（－0.25）2013×（－4）2014.

解：

原式＝（－0.25）2013×（－4）2013×（－4）＝[（－0.25）×（－4）]2013×（－4）＝1×（－4）＝－4

8.一个正方体的棱长为2×102mm.

（1）它的表面积是多少？

（2）它的体积是多少？

解：

（1）6×（2×102）2＝6×4×104＝24×104＝2.4×105（mm2），则它的表面积是2.4×105mm2.

（2）（2×102）3＝8×106（mm3），则它的体积是8×106mm3.

四、总结梳理，内化目标

1．知识结构图：

2.理解积的乘方法则，并能灵活进行运算．

3．正确区分同底数幂相乘，幂的乘方与积的乘方三个运算法则，并能综合应用进行运算．

五、达标检测，反思目标

1．下列运算正确的是（D）

A．a2＋a3＝a5　　　　B．a2×a3＝a6　　　　C．（a2b3）3＝a5b6　　　　D．（a2）3＝a6

2．计算：

－（3a2b3）4的计算结果是（D）

A．81a8b12B．12a6b7C．－12a6b7D．－81a8b12

3．计算：

（1）（－a2b3）3·（－a2b）4；

解：

原式＝－a6b9·a8b4

＝－a14b13

（2）（2×102）2×（3×103）2；

解：

原式＝4×104×9×106

＝3.6×1011

4．已知

＋（4a－b－2）2＝0，求代数式

（－3ab2）2的值．

解：

可得：

　∴

∴原式＝

（－3×1×4）2

＝

×144

＝36

5．已知ax＝4，bx＝5，求（ab）2x的值．

解：

（ab）2x＝a2x·b2x

＝（ax）2·（bx）2

＝16×25＝400

1．上交作业：

课本第104页　2

（2）（3）（4）．

2．课后作业：

见《学生用书》．

第4课时　单项式乘以单项式

1．探索并掌握单项式乘以单项式的法则．

2．灵活运用单项式乘以单项式的法则进行运算．

单项式与单项式相乘的运算法则及其应用．

灵活地进行单项式与单项式相乘的运算．

一师一优课　一课一名师　（设计者：

　　　）

一、创设情景，明确目标

我们知道：

长方形的面积＝____________

（1）如图：

长为a，宽为b的长方形的面积＝____________.

（2）如果有6个这样的长方形拼在一起（如图），面积又是多少呢？

你能用两种方法表示吗？

①________________________________________________________________________

②________________________________________________________________________

你会用我们所学的知识说明从等式左边推导到等式右边的过程吗？

二、自主学习，指向目标

1．

（1）am·an＝________（m，n都是正整数）；

（2）（am）n＝________（m，n都是正整数）；

（3）（ab）n＝________（n都是正整数）；

（4）a2－2a2＝________；a2·2a2＝________；（－2a2）3＝________．

2．在进行单项式乘以单项式的运算时，运用了乘法的________律和________律，以及________的运算性质来计算．

3．单项式与单项式相乘，把它们的________、________分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则__________________________．

三、合作探究，达成目标

　单项式乘以单项式运算法则

活动一：

1.填出下列运算每一步的依据：

（3×105）×（5×102）　　　　依据

＝（3×5）·（105×102）→____________

＝15×107→____________

＝1.5×108→____________

2．运用上述规律及运算性质计算：

ac5·2bc2＝________＝________.

展示点评：

归纳：

单项式与单项式相乘，把它们的________、________分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则____________________．

小组讨论：

单项式与单项式相乘，在计算时应注意什么问题？

反思小结：

当系数是带分数的一定要化成假分数，还应注意运算顺序．应用法则时，一要注意首先确定积的系数和符号；二要注意勿漏仅在一个单项式里含有的因式．

针对训练：

1．见《学生用书》第1题．

2．（－5ax）（3x2y）2的计算结果是（A）

A．－45ax5y2　　　　　B．－15ax5y2

C．－30ax5y2D．45ax5y2

　单项式乘以单项式运算法则的运用

活动二：

计算：

（1）（－5a2b）（－3a）；

（2）（2x）3（－5xy2）．

（解答过程见课本P98例4）

展示点评：

在这两道运算中，系数分别含有负号，要注意什么问题？

小组讨论：

归纳单项式乘以单项式的一般步骤．

（先确定积的符号，再运算）

反思小结：

运用单项式乘以单项式的法则时，可按如下三个步骤进行：

一是先把各因式的系数相乘，作为积的系数；二是把各因式的同底数幂相乘，底数不变，指数相加；三是只在一个因式里出现的字母，连同它的指数作为积的一个因式．

针对训练：

见《学生用书》相应部分

1．填空：

（1）a2－2a2＝__－a2__；

（2）a2·2a3＝__2a5__；

（3）4y·（－2xy2）＝__－8xy3__．

2．已知单项式－3x4m－ny2与2x3ym＋n的和为一个单项式，则这两个单项式的积是__－

x6y4__．

3．见《学生用书》第6题．

四、总结梳理，内化目标

1．单项式乘以单项式的法则，并能灵活运用单项式乘以单项式的法则进行运算；

2．运用单项式乘以单项式的法则时，注意其运算步骤，以及系数和符号的问题．

3．单项式与单项式的和与积，有什么区别？

五、达标检测，反思目标

1．下列运算正确的是（D）

A．（－2xy）（－3xy）3＝－54x4y4　　　　B．5a3·（3a3）2＝15a12

C．（－0.1x）（－10x2）3＝－x2D．（2×10n）（

×10n）＝102n

2．化简（－3x2）·2x3的结果是（A）

A．－6x5　　　　B．－3x5　　　　C．2x5　　　　D．－6x6

3．用科学记数法表示：

（1.2×103）×（2.5×1011）×（4×109）的结果是__1.2×1024__．

4.如果单项式－3x4a－by2与x3ya＋b是同类项，那么这两个单项式的积是（D）

A．3x6y4B．－3x3y2C．3x3y2D．－3x6y4

5．计算：

（1）

x2y3·

；

解：

原式＝－

×

·x3y4z2

＝－

x3y4z2

（2）（－4x2y）·（－x2y2）·

.

解：

原式＝－4×（－1）×

·x4y6

＝2x4y6

1．上交作业：

课本P104第3、9题．

2．课后作业：

见《学生用书》．

第5课时　单（多）项式乘以多项式

1．单（多）项式与多项式相乘的运算法则的探索与运用；

2．会进行整式的混合运算．

单项式与多项式相乘的法则．

灵活运用法则进行单项式乘以多项式，多项式乘以多项式的运算．

一师一优课　一课一名师　（设计者：

　　　）

一、创设情景，明确目标

三家连锁店以相同的价格m（单位：

元/瓶）销售某种商品，它们在一个月内的销售量（单位：

瓶）分别是a、b、c.你能用不同的方法计算它们在这个月内销售这种商品的总收入吗？

展示点评：

你可以用几种方法求出三家连锁店销售商品的总收入？

它们有何关系？

这将为我们学习单（多）项式乘以多项式打开知识的大门．

二、自主学习，指向目标

自学教材第99－101页，思考并回答下列问题：

1．单项式乘以多项式的依据是乘法的分配律，其法则是：

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．

2．多项式乘以多项式，可以先把其中的一个多项式看作一个整体，再进行运算，因此它的运算依据是单项式乘以多项式的运算法则．其法则是：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．

3．在进行单项式乘以多项式和多项式乘以多项式运算的过程中，应当注意什么问题？

（一是要注意符号；二是要注意不要漏乘，重复乘．）

三、合作探究，达成目标

　单项式乘以多项式

活动一：

填空

（1）m（a＋b＋c）＝________，其依据是________________________________________________________________________．

（2）归纳：

单项式与多项式相乘，就是根据________________________，就是用单项式去乘多项式的____________，再把所得的积________________．

例1　计算：

（1）（－4x2）（3x＋1）；

（2）

·

ab.

小组讨论：

在进行单项式乘以多项式的运算时，关键是什么？

同时要注意什么问题？

展示点评：

关键是把单项式乘以多项式转化成单项式乘以单项式，再运用幂的运算法则进行运算；运算时要注意符号的变化．

解答过程见课本P100例5

反思小结：

①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式，在相乘时不能漏项；②注意确定积的符号．

针对训练：

见《学生用书》相应部分

　多项式乘以多项式

活动二：

看图填空：

（1）①如上图，大长方形的长是________，宽是________，则面积等于___________