专题19 几何探究型问题第01期解析版.docx
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专题19几何探究型问题第01期解析版
1.(2019•北京)在△ABC 中,D,E 分别是△ABC 两边的中点,如果 DE 上的所有点都在△ABC 的内部或
边上,则称 DE 为△ABC 的中内弧.例如,图 1 中 DE 是△ABC 的一条中内弧.
内弧 DE ,并直接写出此时 DE 的长;
专题 19几何探究型问题
»
»»
(1)如图 2,在
ABC 中,AB=AC = 2 2 ,D,E 分别是 AB,AC 的中点,画出△ABC 的最长的中
»»
(2)在平面直角坐标系中,已知点 A(0,2),B(0,0),C(4t,0)(t>0),在△ABC 中,D,E 分别
是 AB,AC 的中点.
,求△ABC 的中内弧 DE 所在圆的圆心 P 的纵坐标的取值范围;
①若 t = 1
2
»
②若在△ABC 中存在一条中内弧 DE ,使得 DE 所在圆的圆心 P 在△ABC 的内部或边上,直接写出 t 的
»»
取值范围.
【解析】
(1)如图 2,以 DE 为直径的半圆弧 DE ,就是△ABC 的最长的中内弧 DE ,连接 DE,
»»
∵∠A=90°,AB=AC = 2 2 ,D,E 分别是 AB,AC 的中点,
∴BC =
AC 2 2 1 1
= = 4,DE = BC = ⨯ 4=2,
sin B sin 45︒ 2 2
»
1
2
⨯ 2π=π.
(2)如图 3,由垂径定理可知,圆心一定在线段 DE 的垂直平分线上,连接 DE,作 DE 垂直平分线 FP,
作 EG⊥AC 交 FP 于 G,
①当 t =
1
2
1
时,C(2,0),∴D(0,1),E(1,1),F( ,1),
2
设 P(
1
2
,m)由三角形中内弧定义可知,圆心线段 DE 上方射线 FP 上均可,∴m≥1,
∵OA=OC,∠AOC=90°,
∴∠ACO=45°,
∵DE∥OC,
∴∠AED=∠ACO=45°,
作 EG⊥AC 交直线 FP 于 G,FG=EF = 1
2
,
根据三角形中内弧的定义可知,圆心在点 G 的下方(含点 G)直线 FP 上时也符合要求,
∴m ≤ 1
,
2
综上所述,m ≤
1
2
或 m≥1.
②如图 4,设圆心 P 在 AC 上,
∵P 在 DE 中垂线上,
∴P 为 AE 中点,作 PM⊥OC 于 M,则 PM =
3
2
,
∴P(t,
3
2
),
∵DE∥BC,
∴∠ADE=∠AOB=90°,
∴AE =AD 2 + DE 2 = 12 + (2t )2 =4t 2 + 1 ,
∵PD=PE,
∴∠AED=∠PDE,
∵∠AED+∠DAE=∠PDE+∠ADP=90°,
∴∠DAE=∠ADP,
∴AP=PD=PE = 1
2
AE,
由三角形中内弧定义知,PD≤PM,
3
22
∵t>0,
∴0 【名师点睛】此题是一道圆的综合题,考查了圆的性质,弧长计算,直角三角形性质等,给出了“三角 形中内弧”新定义,要求学生能够正确理解新概念,并应用新概念解题. 2.(2019•天津)在平面直角坐标系中,O 为原点,点 A(6,0),点 B 在 y 轴的正半轴上,∠ABO=30°.矩 形 CODE 的顶点 D,E,C 分别在 OA,AB,OB 上,OD=2. (Ⅰ)如图①,求点 E 的坐标; (Ⅱ)将矩形 CODE 沿 x 轴向右平移,得到矩形 C′O′D′E′,点 C,O,D,E 的对应点分别为 C′,O′,D′, E′.设 OO′=t,矩形 C′O′D′E 与ABO 重叠部分的面积为 S. ①如图②,当矩形 C′O′D′E 与ABO 重叠部分为五边形时,C′E′,E′D′分别与 AB 相交于点 M,F,试用 含有 t 的式子表示 S,并直接写出 t 的取值范围; ②当 3 ≤ S≤53 时,求 t 的取值范围(直接写出结果即可). 【解析】(Ⅰ)∵点 A(6,0), ∴OA=6, ∵OD=2, ∴AD=OA-OD=6-2=4, ∵四边形 CODE 是矩形, ∴DE∥OC, ∴∠AED=∠ABO=30°, 在 Rt△AED 中,AE=2AD=8,ED = AE2 - AD2 = 82 - 42 = 4 3 , ∵OD=2, ∴点 E 的坐标为(2,4 3 ). (Ⅱ)①由平移的性质得: O′D′=2,E′D′=4 3 ,ME′=OO′=t,D′E′∥O′C′∥OB, ∴∠E′FM=∠ABO=30°, ∴在 MFE′中,MF=2ME′=2t,FE′ = MF 2 - ME '2 = (2t )2 - t 2 = 3 t, ∴ 1 3t 2 2 2 ∵S 矩形 C′O′D′E′=O′D′·E′D′=2×4 3 = 8 3 , ∴S=S 矩形 3t 2 2 ∴S = -3 t2+8 3 ,其中 t 的取值范围是: 0 2 ②当 S = 3 时,如图③所示: O'A=OA-OO'=6-t, ∵∠AO'F=90°,∠AFO'=∠ABO=30°, ∴O'F = 3 O'A = 3 (6-t), ∴S = 1 2 (6-t) ⨯ 3 (6-t) = 3 , 解得: t=6 - 2 ,或 t=6 + 2 (舍去), ∴t=6 - 2 ;当 S=5 3 时,如图④所示: O'A=6-t,D'A=6-t-2=4-t, ∴O'G = 3 (6-t),D'F = 3 (4-t), ∴S = 1 2 [ 3 (6-t) + 3 (4-t)]×2=5 3 , 5 解得: t =, 2 5 ∴当 3 ≤ S≤5 3 时,t 的取值范围为≤ t≤6 - 2 . 2 【名师点睛】本题是四边形综合题目,考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、平移的性质、 直角三角形的性质、梯形面积公式等知识;本题综合性强,有一定难度,熟练掌握含 30°角的直角三角 形的性质时是解题的关键. 3.(2019•陕西)问题提出: (1)如图 ,已知ABC,试确定一点 D,使得以 A,B,C,D 为顶点的四边形为平行四边形,请画出 这个平行四边形; 问题探究: (2)如图 2,在矩形 ABCD 中,AB=4,BC=10,若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC,且使 ∠BPC=90°,求满足条件的点 P 到点 A 的距离; 问题解决: (3)如图 3,有一座塔 A,按规定,要以塔 A 为对称中心,建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的 景区 BCDE.根据实际情况,要求顶点 B 是定点,点 B 到塔 A 的距离为 50 米,∠CBE=120°,那么,是 否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE? 若可以,求出满足要求的平行四边形 BCDE 的最大面积;若不可以,请说明理由.(塔 A 的占地面积忽略不计) 【解析】 (1)如图记为点 D 所在的位置. (2)如图, ∵AB=4,BC=10,∴取 BC 的中点 O,则 OB>AB. ∴以点 O 为圆心,OB 长为半径作⊙O,⊙O 一定于 AD 相交于 P1,P2 两点, 连接 BP1,P1C,P1O,∵∠BPC=90°,点 P 不能再矩形外, ∴△BPC 的顶点 P1 或 P2 位置时,△BPC 的面积最大, 作 P1E⊥BC,垂足为 E,则 OE=3, ∴AP1=BE=OB-OE=5-3=2, 由对称性得 AP2=8. (3)可以,如图所示,连接 BD, 作△BDE 的外接圆⊙O,则点 E 在优弧 BD 上,取 BED 的中点 E′,连接 E′B,E′D, ∵A 为 Y BCDE 的对称中心,BA=50,∠CBE=120°, ∴BD=100,∠BED=60°, »¼ 则 E′B=E′D,且∠BE′D=60°,∴△BE′D 为正三角形. 连接 E′O 并延长,经过点 A 至 C′,使 E′A=AC′,连接 BC′,DC′, ∵E′A⊥BD, ∴四边形 E′D 为菱形,且∠C′BE′=120°, 作 EF⊥BD,垂足为 F,连接 EO,则 EF≤EO+OA-E′O+OA=E′A, ∴ 1 ∴S 平行四边形 BCDE ≤S 平行四边形 BC′DE′=2 E′BD=1002·sin60°=5000 3 (m2), 所以符合要求的 Y BCDE 的最大面积为 5000 3 m2. 【名师点睛】本题属于四边形综合题,考查了平行四边形的判定和性质,圆周角定理,三角形的面积等 知识,解题的关键是理解题意,学会添加常用辅助线,属于中考压轴题. 4.(2019•海南)如图,在边长为1 的正方形 ABCD 中,E 是边 CD 的中点,点 P 是边 AD 上一点(与点 A、 D 不重合),射线 PE 与 BC 的延长线交于点 Q. ( )求证: PDE≌△QCE; (2)过点 E 作 EF∥BC 交 PB 于点 F,连结 AF,当 PB=PQ 时, ①求证: 四边形 AFEP 是平行四边形; ②请判断四边形 AFEP 是否为菱形,并说明理由. 【解析】 (1)∵四边形 ABCD 是正方形, ∴∠D=∠ECQ=90°, ∵E 是 CD 的中点, ∴DE=CE, 又∵∠DEP=∠CEQ, ∴△PDE≌△QCE. (2)①∵PB=PQ, ∴∠PBQ=∠Q, ∵AD∥BC, ∴∠APB=∠PBQ=∠Q=∠EPD, ∵△PDE≌△QCE, ∴PE=QE, ∵EF∥BQ, ∴PF=BF, ∴在 PAB 中,AF=PF=BF, ∴∠APF=∠PAF, ∴∠PAF=∠EPD, ∴PE∥AF, ∵EF∥BQ∥AD, ∴四边形 AFEP 是平行四边形; ②四边形 AFEP 不是菱形,理由如下: 设 PD=x,则 AP=1-x, 由( )可得PDE≌△QCE, ∴CQ=PD=x, ∴BQ=BC+CQ=1+x, ∵点 E、F 分别是 PQ、PB 的中点, ∴EF 是△PBQ 的中位线, ∴EF = 1 2 1 + x BQ = , 2 由①知 AP=EF,即 1-x = 1 解得 x =, 3 12 ∴PD =,AP =, 33 1 + x 2 , 在 Rt△PDE 中,DE = 1 2 ∴PE =PD 2 + DE 2 = , 13 6 , ∴AP≠PE, ∴四边形 AFEP 不是菱形. 【名师点睛】本题是四边形的综合问题,解题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、 直角三角形的性质、平行四边形与菱形的判定、性质等知识点. 5.(2019•江西)在图 1,2,3 中,已知 Y ABCD,∠ABC=120°,点 E 为线段 BC 上的动点,连接 AE,以 AE 为边向上作菱形 AEFG,且∠EAG=120°. (1)如图 1,当点 E 与点 B 重合时,∠CEF=__________°; (2)如图 2,连接 AF. ①填空: ∠FAD__________∠EAB(填“>”“<”“=”); ②求证: 点 F 在∠ABC 的平分线上. (3)如图 3,连接 EG,DG,并延长 DG 交 BA 的延长线于点 H,当四边形 AEGH 是平行四边形时,求 BC AB 的值. 【解析】 (1)∵四边形 AEFG 是菱形, ∴∠AEF=180°-∠EAG=60°, ∴∠CEF=∠AEC-∠AEF=60°, 故答案为: 60°. (2)①∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴∠DAB=180°-∠ABC=60°, ∵四边形 AEFG 是菱形,∠EAG=120°, ∴∠FAE=60°, ∴∠FAD=∠EAB, 故答案为: =. ②如图,作 FM⊥BC 于 M,FN⊥BA 交 BA 的延长线于 N, 则∠FNB=∠FMB=90°, ∴∠NFM=60°,又∠AFE=60°, ∴∠AFN=∠EFM, ∵EF=EA,∠FAE=60°, ∴△AEF 为等边三角形, ∴FA=FE, ⎧∠AFN = ∠EFM ⎪ ⎩ ∴△AFN≌△EFM(AAS) ∴FN=FM,又 FM⊥BC,FN⊥BA, ∴点 F 在∠ABC 的平分线上. (3)如图, ∵四边形 AEFG 是菱形,∠EAG=120°, ∴∠AGF=60°, ∴∠FGE=∠AGE=30°, ∵四边形 AEGH 为平行四边形, ∴GE∥AH, ∴∠GAH=∠AGE=30°,∠H=∠FGE=30°, ∴∠GAN=90°,又∠AGE=30°, ∴GN=2AN, ∵∠DAB=60°,∠H=30°, ∴∠ADH=30°, ∴AD=AH=GE, ∵四边形 ABCD 为平行四边形, ∴BC=AD, ∴BC=GE, ∵四边形 ABEH 为平行四边形,∠HAE=∠EAB=30°, ∴平行四边形 ABEN 为菱形, ∴AB=AN=NE, ∴GE=3AB, ∴ BC AB 3. 【名师点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的性质、平行四 边形的性质,掌握全等三角形的判定定理和性质定理、菱形的性质、直角三角形的性质是解题的关键. 6.(2019•宁夏)如图,在△ABC 中,∠A=90°,AB=3,AC=4,点 M,Q 分别是边 AB,BC 上的动点(点 M 不与 A,B 重合),且 MQ⊥BC,过点 M 作 BC 的平行线 MN,交 AC 于点 N,连接 NQ,设 BQ 为 x. (1)试说明不论 x 为何值时,总有△QBM∽△ABC; (2)是否存在一点 Q,使得四边形 BMNQ 为平行四边形,试说明理由; (3)当 x 为何值时,四边形 BMNQ 的面积最大,并求出最大值. 【解析】 (1)∵MQ⊥BC, ∴∠MQB=90°, ∴∠MQB=∠CAB,又∠QBM=∠ABC, ∴△QBM∽△ABC. (2)当 BQ=MN 时,四边形 BMNQ 为平行四边形, ∵MN∥BQ,BQ=MN, ∴四边形 BMNQ 为平行四边形. (3)∵∠A=90°,AB=3,AC=4, ∴BC =AB2 + AC2 = 5, ∵△QBM∽△ABC, ∴ QB QM BM x QM BM = = ,即 = , AB AC BC 3 4 5 45 解得,QM =x,BM =x, 33 ∵MN∥BC, 5 BCAB= 53 解得,MN=5 - 25 9 x, 1254324575 则四边形 BMNQ 的面积 =⨯ (5 -(x -)2 + 293273232 , 4575 ∴当 x =时,四边形 BMNQ 的面积最大,最大值为. 3232 【名师点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定、二次函数的性质,掌握相似 三角形的判定定理、二次函数的性质是解题的关键. ( 7. 2019•安徽)如图,Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC,P 为△ABC 内部一点,且∠APB=∠BPC=135°. ( )求证: PAB∽△PBC; (2)求证: PA=2PC; (3)若点 P 到三角形的边 AB,BC,CA 的距离分别为 h1,h2,h3,求证 h12=h2·h3. 【解析】 (1)∵∠ACB=90°,AB=BC, ∴∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC, 又∠APB=135°, ∴∠PAB+∠PBA=45°, ∴∠PBC=∠PAB, 又∵∠APB=∠BPC=135°, ∴△PAB∽△PBC. ( )∵PAB∽△PBC, PBAB ==, PBPCBC 在 Rt△ABC 中,AB=AC, ∴ AB BC = 2 , ∴ PB =2PC,PA = 2PB , ∴PA=2PC. (3)如图,过点 P 作 PD⊥BC,PE⊥AC 交 BC、AC 于点 D,E, ∴PF=h1,PD=h2,PE=h3, ∵∠CPB+∠APB=135°+135°=270°, ∴∠APC=90°, ∴∠EAP+∠ACP=90°, 又∵∠ACB=∠ACP+∠PCD=90°, ∴∠EAP=∠PCD, ∴Rt△AEP∽Rt△CDP, ∴ PE AP h DP PC h 2 ∴h3=2h2, ∵△PAB∽△PBC, ∴ h 1 = h 2 AB BC = 2 , ∴ h =2h , 12 ∴ h 2 = 2h 12 2 = 2h ⋅ h = h h . 2 2 2 3 即: h12=h2·h3. 【名师点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质,判断出∠EAP=∠PCD 是解本题的关键. 8.(2019•重庆 A 卷)如图,在平行四边形 ABCD 中,点 E 在边 BC 上,连结 AE,EM⊥AE,垂足为 E,交 CD 于点 M,AF⊥BC,垂足为 F,BH⊥AE,垂足为 H,交 AF 于点 N,点 P 是 AD 上一点,连接 CP. (1)若 DP=2AP=4,CP = 17 ,CD=5,求△ACD 的面积. (2)若 AE=BN,AN=CE,求证: AD =2 CM+2CE. 【解析】 (1)作 CG⊥AD 于 G,如图 1 所示: 设 PG=x,则 DG=4-x, 在 Rt△PGC 中,GC2=CP2-PG2=17-x2, 在 Rt△DGC 中,GC2=CD2-GD2=52-(4-x)2=9+8x-x2, ∴17-x2=9+8x-x2, 解得: x=1,即 PG=1, ∴GC=4, ∵DP=2AP=4, ∴AD=6, ∴ 1 ⨯ AD×CG = ⨯ 6×4=12. 2 2 (2)连接 NE,如图 2 所示: ∵AH⊥AE,AF⊥BC,AE⊥EM, ∴∠AEB+∠NBF=∠AEB+∠EAF=∠AEB+∠MEC=90°, ∴∠NBF=∠EAF=∠MEC, ⎧∠NBF = ∠EAF ⎪ ⎩ ∴△NBF≌△EAF, ∴BF=AF,NF=EF, ∴∠ABC=45°,∠ENF=45°,FC=AF=BF, ∴∠ANE=∠BCD=135°,AD=BC=2AF, ⎧∠MEC = ∠EAF ⎪ ⎩ ∴△ANE≌△ECM, ∴CM=NE, 2 NE =MC, 22 ∴AF =2 2 MC+EC, ∴AD =2 MC+2EC. 【名师点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式等 知识;熟练掌握平行四边形的性质,证明三角形全等是解题的关键.
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