高等代数北大版第6章习题参考答案.docx
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高等代数北大版第6章习题参考答案
第六章
线性空间
1•设MuN,证明:
MRN=M、MUN=N。
证任取aeM,由MuN,得awN,所以awMDN,即证又因MflNuM,故Mp|N=M。
再证第二式,任取a^M或a已N,但MuN,因此无论哪一种情形,都有aeN,此即。
但NuMUN,所以MUN=N°
2.证明Mp|(NUD=(MriN)U(MrU),MU(NfU)=(MUN)n(MUD。
证VxwMCl(NUD,则在后一情形,于是xeMflN佥
所以xe(MC\N)\J(MC\L),由此得MCl(NUD=(MnN)U(Mri厶)。
反之,若xw(MnN)U(MfU),则xwMCIN或iwMClL.在前一情形,x已M、x已N、因此x^N\JL.故得xeMCl(NUE),在后一情形,因而xeM,xeL,x^N\jL,得xwMCl(NU厶),故(MnN)U(MClDuMri(NU厶),
于是Mn(NUD=(MriN)u(Mru)。
若xwMU(NDZJ,贝ijxeM,xeNf)厶。
在前一情形XxwMUN,且XwMU厶,因而xw(MUN)n(MUL)。
在后一情形,xwN,xwL,因而xiWUN,且XwMU厶,即Xw(MUN)n(MUL)所以(MUN)n(MUL)uMU(NUL)
故MU(Np|L)=(MUN)pl(MUL)
即证。
3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间:
1)次数等于n(n>l)的实系数多项式的全体,对于多项式的加法和数量乘法;
2)设A是一个nXn实数矩阵,A的实系数多项式f(A)的全体,对于矩阵的加法和数呈乘法;
3)全体实对称(反对称,上三角)矩阵,对于矩阵的加法和数量乘法;
4)平面上不平行于某一向量所成的集合,对于向疑的加法和数量乘法;
5)全体实数的二元数列,对于下面定义的运算:
(?
勺2(。
+"(4+9,9+2+吧)
ko(a,勺)=(kaP込+°:
6)平面上全体向量,对于通常的加法和如下定义的数量乘法:
£。
=0;
7)集合与加法同6),数量乘法定义为:
k。
a=a;
8)全依正实数r,加法与数量乘法定义为:
a®b=ah,k°a=ak;
解1)否。
因两个n次多项式相加不一定是n次多项式,例如
(*+5)+(-£一2)=3。
2)令匸{f(A)|f(x)为实数多项式,八是nXn实矩阵}因为
f(x)+g(x)=h(x),kf(x)=d(x)
所以
f(A)+g(A)=h(A),kf(A)=d(A)
由于矩阵对加法和数量乘法满足线性空间定义的广8条,故v构成线性空间。
3)矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的广8条性质,只需证明对称矩阵(上三
角矩阵,反对称矩阵)对加法与数量乘法是否封闭即可。
下面仅对反对称矩阵证明:
当A,B为反对称矩阵,k为任意一实数时,有
(A+B)'二A'+B'二-A-B二-(A+B),A+B仍是反对称矩阵。
(K4)'=KA'=K(—4)=一(山),所以kA是反对称矩阵。
故反对称矩阵的全体构成线性空间。
4)否。
例如以已知向量为对角线的任意两个向量的和不属于这个集合。
5)不难验证,对于加法,交换律,结合律满足,(0,0)是零元,任意(a,b)的负元是
(-a,(厂-b)。
对于数乘:
L(d,")=(1。
a,l。
b=~d')=(a,Z?
),
2
k・(L(a、b)=k.(lajb+^—12a2)=伙匕k[lb+a2]+(/«)2)
222
={kla,k[lb+必丄a2]+(la)2)=(kla,空—a2+巴二12(/«)2)
2222
=(kla.kl(kl~i}a2+klh)=伙/)©"),
2
(k+/).(«,b)=[(k+l)a,伙‘)伙+/_)2a2+伙+/)/?
]
2
b)㊉/.(«,b)=(ka.kb+■—_—a2)©(la.lb+—~~—a2
22
z/...k伙一1)2k(k_l).门"
=(ka+la.kb+cr+—a"+klcr)
22
=[伙+/)«,伙+水+/一"a2+伙+l)b].
2
即伙+/)o(ayb)=ko(a.b)©/o(a.b)。
上。
[(%也)®(a29b2)]=ko(a}+a2.b{+b2+axa2)
=[k(®+“2),k®+b2+“心2+川:
一"(q+a2)2)],
2
koabi)㊉ko(a2,b2)=(g,kt\+虫;—!
■)a:
)㊉(ka2,kb2+纟(;」)a})
22
z..,fk(k—V).k(k—Y)•>.、
=(ka、+ka2,kb{+a[+kb2+a;+k^a}a2)
22
z.zx.zr,、k(k—\)yk(k—\)•>.>.、
=(K(6Zj+a2).k(b[+b2+““)+百++a;+k^axa1一kqa?
)
即ko(a^b.)®(a2.b2)=ko(a}b})㊉/:
叽①厶).所以,所给集合构成线性空间。
6)否.因为lo 7)否,因为(k+l)oa=a.koa+1oa=a+a=2a,所以伙+/)©«H伙。 a)+(/。 a),所给集合不满足线性空间的定义。 8)显然所给集合对定义的加法和数量乘法都是封闭的,满足 i)a®b=ah=ba=b㊉a\ ii)(a㊉/? )㊉e=(ab)㊉c=abc=a㊉(be)=a㊉(Z? ㊉c); i〃)l是零兀: a㊉1=o・l=a; 的负元是—: «©—=«•—=1,且丄㊉a=1; aaaa u)l㊉a=a=a\ vi)(ko(/oa))=ko((/)=(a);=/=『=(kl)oa; vii)(k+/)oa=aJ=ak・a! =(ka)㊉(la); viii)ko(a®b)=ko(ab)=(ab)k=akbk=(koa)®(kob). 所以,所给集合/T构成线性空间。 4在线性空间中,证明: 1)k0=02)k(a-p)=ka-kp. 证1)kO=k(a+(-a))=ka+k(-a)=ka+k(-Y)a=(k+(-k))a=Oa=0<> 2)因为k(a一0)+£0=k(a一/? +0)=ka、所以k(a一卩)=ka-k卩。 3) 5证明: 在实函数空间中,1,cos2cos2/式线性相关的。 证因为cos2/=2cos,/—1,所以1,cos2r,cos2r式线性相关的。 6如果是线性空间P[x]中三个互素的多项式,但其中任意两个都不互素,那么他们线性无关。 证若有不全为零的数広北2北3flM+k2f2(X)+k3f3(X)=0, 不妨设人工0,则/1(x)=-7^/2(x)--^/3(x),这说明f2(x\f3(x)的公因式也是兀(劝的因式,即/,(x),/2(A/3U)有非常数的公因式,这与三者互素矛盾,所以t(X),/2(X),厶CO线性无关。 7在P4中,求向量: 在基刍,02,乙,6下的坐标。 设 1)设有线性关系f=Ci£}+bs2+C£3+ds4,贝卜 可得歹在基斫心心召下的坐标为a=-,b=-,c=-- 444 可得歹在基习,£2,6,6下的坐标为a=l.b=O.c=-l.d=0° 8求下列线性空间的维数于一组基: 1)数域P上的空间P/,x/r;2)中全体对称(反对称,上三角)矩阵作成的数域P上的空间;3)第3题8)中的空间;4)实数域上由矩阵八的全体实 解1)严〃的基是{Q}(iJ=12・・・,心且dim(pM)=& 是对称矩阵所成线性空间的一组基,所以是 ii)令Gy= 即%=-ciji=1,(/H丿),其余元素均为零,则 ・-1 {G2,…仇2少…©2小…QlS}是反对称矩阵所成线性空间S〃的一组基,所以它是巴二维的。 2 ill){気,…俎工艺—旦^…厶枷}是上三角阵所成线性空间的一组基•所以它是巴凹维的。 2 3)任一不等于1的正实数都是线性无关的向量•例如取2,且对于任一正实数"•可经2线性表出,即・d=(log2d)o2・所以此线性空间是一维的,且2是它的一组基。 1,77=3q 4)因为所以 con=co.n=3q+\> a)2ji=3g+2 <1、 fl] E,n=3q 于是A2= M? = 1 =E,而A"=< A.n=3g+1。 < 、1> =3q+2 9•在P*中•求由基气,馮厲宀,到基〃的过渡矩阵,并求向量纟在所指基下的坐标。 设 ®=(1,0,o,o)A勻=(0,1,0,0)巧=(0,0,1,0)耳=(0,0,0,1), =(XPX2,X3,X4)在下的坐标; 7=(2,1-04) %=(0,1,2,2) 7/3=(-2,1,1,2) 久=(134.2) •斫=(12-10)、 J^2=(1,-1,1,1)[6=(-1,2丄1) 04=(-1,-1,。 1)丿 M=(1,0,0,0)在列下的坐标; M=(1,0,0,-1)在〃],〃2,〃3昇74下的坐标; 056、 3 I)(77】,〃2,773,〃4)=(£「£2,巧,£4,) 36 121 013丿 这里A即为所求由基®,6心,匂,到〃的过渡矩阵,将上式两边右乘得A= 得(気、乙心心)=A"1, 于是 /\ 州1 \ =(£[,^29^3*^4) E丿 =(弘,〃2,〃3,〃4)A'* 所以在基下的坐标为 I左ah X3 丄9-||2一3兰刃 -34-9O 这里A'l= 2)令e=(1,0AO),e2=(0,1,0,0),e3=(0,0J,0),e4=(0,0,0J)则 a 1 (〃]刀2刀3,〃4)=(如勺角"4)0 <1 1-1 -12 —1 11 0=(“2・SSA, 11 1> 0-21> 113 211 二(勺,勺s,勺)B, 222丿 将(5勺勺,5)=(£],勺吗,®)代入上式,得 (〃],〃2,〃皿)=(%6,$3,6)“B, 这里 且A^B即为所求由基“匂禺%到基7,〃2,〃3皿的过渡矩阵,进而有 §=(1,0,0,0)二(,e2e3,e4) 0 0 <0; rr 0 0 <0> 3 13 5 13 2_ 13 2 13> 所以歹在£},£2,£^£4下的坐标为(看,A 2 13 3 13 3)e^e2e3,e4同2), "1 1 1 J A'1 1 1、 仃 2 1 0) -1 -1 B= 1 1 1 1 -1 0 3 0 -1 -1 1 0 1> 1 1 1 、 1 -1 - 1 -1 1 — 1 9 -1 -1 1 丿 同理可得 £ 4 q 1 1 1 \ 1 1 -1 -1 则所求由习,勺,$3,6到771'〃2卯3刀4的过渡矩阵为 AhB= 4 丄 4 1 7 4 £ 4 3 4 £ 4 再令M="〃]+b〃2+c〃3+d〃4,即 (1,OQO)=仏hc,〃)弘 〃3 =(a,b、c、d)] <0 1 1 1 1 0 3 0 -1 1 1 0 -1> 由上式可解得f在下的坐标为下的坐标为 10.继第9题1)求一非零向量§,它在基与耳胡2山3山4下有相同的坐标。 解设纟在两基下的坐标为(羽*2,屯.七),则 (£],$2,£3,£4) (、 X\ -V2 X3 /\ 州 X2 X3 宀丿 又因为 所以 f、 册 \ 西1 X x2 x2 =>(A-E) X2 =A X3 尤3 占丿 占丿 于是只要令七=一。 就有 X)+2x2+3牙3=6c <-X)+x2+x3=C, x}+x3=2c 解此方程组得 (xj,x2.x3x4)=(c,c,c-c)(c为任意非零常数), 取c为某个非零常数5,则所求歹为 11.证明: 实数域作为它自身的线性空间与第3题8)中的空间同构。 证因为它们都是实数域上的一维线性空间,故同构。 12•设Vp%都是线性空间V的子空间,且Xu%,证明: 如果%的维数与岭的维数相等,那么 证设dim(岭)二r,则由基的扩充定理,可找到叫的一组基5勺,••…因叫<=匕,且它们的唯数相等,故角卫2,••…。 八,也是匕的一组基,所以岭=叫。 13.恥严。 1)证明: 全体与可交换的矩阵组成的一个子空间,记做C(A); 2)当A二E时,求C(A); <1] 2 3)当A-时,求C(A)的维数和一组基。 ••••••••—•••••••••• 证1)设与A可交换的矩阵的集合记为C(A)O若B,D属于C(A),可得 A(B+D)二AB+AD二BA+DA二(B+D)A, 故B+DeC(A)o若k是一数,BeC(A),可得 A(kB)=k(AB)=k(BA)=(kB)A, 所以kBeC(A)o故C(A)构成P”x“子空间。 2)当A=E时,C(A)=PnXno 4)设与A可交换的矩阵为B=(btj),则B只能是对角矩阵,故维数为n,E,p£: 22,...Ezfn即为它的一组基。 14.设求中全体与可交换的矩阵所成的子空间的维数和一组基。 解若记 5 0 ol 0 0) A= 0 1 0 + 0 0 0 =E+S, 0 1」 1 1 abc 并设B二axbxc,与A可交换,即AB二BA,则SB二BS°且由 4Xc2> 5 该方程组的系数矩阵的秩为2,所以解空间的维数为5。 取自由未知量并 令b二1,其余为0,得c2=3ta=3; r0 0 0、 z a b c、 70 0 0 SB二 0 0 0 hx q = 0 0 0 、3 1 b 山2 C2) ^3a+a}+a2 3b+b}+b2 3c+c}+c2 令方]=1,其余为0,得c2=lfa=l; 令心二1,其余为0,得c,=0,a=-一;「•3 令b2=l9其余为0,得c2=lta=l; 则与A可交换的矩阵为 'ab0、 B=⑷b、0, "Xc2> 其中,a,c? 可经b9a}.a2.b[9h2表示,所求子空间的一组基为 且维数为5。 15.如果54+50+3=0,且心心工。 证明: L(a,0)=L(0』)。 证由c^hO,知qHO,所以a可0,卩经线性表岀,即Z0可经0』线性表出, 同理,0』也可经a,0线性表出。 故L@,0)=L(0』)。 16.在中,求由下面向量组生成的子空间的基与维数。 设 ci\=(2,1,3,1) 5=(120,1) =(-1,1-3,0) 5=(1J丄1) «i=(2丄3,-1) a丄=(—1,1,—3,1) c<3=(4,5,3,-1) «4=(1,5,-3,1) 解1)aXya2>a3,a4的一个极大线性无关组a},a2,a4,因此a},a2,a4为L(q,"2,6,"4)的一组基,且的维数是3。 2)绚,"2,"3,"4的一个极大线性无关组为故绚,。 2是L("],“2,"3,d4)的一组基,且维数为2。 17.在中,由齐次方程组 3Xj+2x2-5x3+4x4=0 <3xl-x2+3x3一3x4=0 3“+5x2一13x3+1lx4=0 确定的解空间的基与维数。 解对系数矩阵作行初等变换,有 2 -5 4、 "3 2 -5 4「 2 -5 4 3 -1 3 -3 0 -3 8 -7 0 -3 8 -7 5 -13 I <0 3 一8 7丿 0 0 0 0 / 1&求由向生成的子空间与由向呈0,02生成的子空间的交的基与维数,设 =(1,2丄0)胡=(2,-1,0,1) 勺=(-1丄1」)[02=(1,-1,3,7)‘ “P,=(1JAO)=(0AU) //2=(1AU)102=(0」丄0)‘ 解1)设所求交向量 y=h%+焉a2=i{a+/2灼, 则有 匕a}+k2a2-/t0]+J02=0, k、——2/]—/、= 0 即 < 2k、++,1+? 2= 0 k、+k2-3/2=0 ^2-/,-7Z2=0 1 -1 -2-1 1-1-2 2 1 11 可算得D= =0, 且 211 HO, 1 1 0—3 110 0 1 -1-7 因此方程组的解空间维数为1,故交的维数也为1。 任取一非篆解(= (—1,4,—.3,1),得一组基y=—a、4-4tz2=(—5,2,3,4), 所以它们的交L(力是一维的,/就是其一组基。 2)设所求交向量了=匕+忍=厶01+厶02, «+匕=0 k.-L=0 则有彳-, —° 為-/产0 因方程组的系数行列式不等于0,故方程组只有零解,即=k2=/,=/2=0,从而 交的维数为0。 3)设所求交向量为卩=匕©+他冬二人0|+厶02, kx+3k2一£3—2人+厶=0 2匕+他-5厶-2厶=0 刃5*9 —k]+k]+為+6/]+7/? =0 —2k、+—k、+5/]—3/、—0 13-11 工0知解空间是一维的,因此交的维数是1。 令厶=1,,可 210-2 -1117 -21-1-3 得/2=0,因此交向量/=/,/? +i2p2=px就是一组基。 19.设岭与分别是齐次方程组山+X2+...4-xn=0,=x2=...=X„_]=xn的解空间, 证明: Pn=v}㊉匕 证由于勿+七+•••+%“=0的解空间是你n—l维的,其基为al=(-1,1,0,...,0),a2=(一1,0丄=(一1,0,0,...,1)而由x}=x2=...=xn_,=xn知其解空间是1维的,令兀=1,则其基为0=(1,1,...1).且內心? ...,即为P"的一组基,从而Pn=Vl+V2.Xdin 20.证明: 如果V=V1+V2,V1|㊉%? 那么V=Vt]㊉%2㊉匕。 证由题设知v=VH+vi2+v2,因为V=V]㊉匕,所以 diin(V)=din dinXV,)=din 故dim(V)=dim(VJj)+dim(V12)+dim(V2),即证V=Vl|©V12®V20 21.证明: 每一个n维线性空间都可以表示成n个一维子空间的直和。 证设勺,/,…,匕是n维线性空间V的一组基。 显然厶(? ),厶(02),•••,厶(乙)都是V的一维子空间,且^(6? ! )+L(a2)+...+L(a/Z)=L(a^a2,...,a„)=V,又因为din<厶(a】))+dim(L(a2y)+...+dim(L{an))=din 故V=L(a{)®L{a2)©...©L(an)<> 22.证明: 和是直和的充分必要条件是={0}(/=2,...,5)o i-lj-l J—I 证必要性是显然的。 这是因为u%n工匕•={0},所以 片1 皿壬匕={0}。 J-1 充分性设不是直和,那么0向量还有一个分解0=冬+6/2+“・+0『, 1-1 其中勺已匕(j=l,2,...,s)。 在零分解式中,设最后一个不为0的向量是(k<5),则0=勺+a? +…++Qr,即a}+a2+...+ak_{=-ak, 因此乙已£匕,匕已匕,这与匕门£匕={0}矛盾,充分性得证。 j-ij-i 23.再给定了空间直角坐标系的三维空间中,所有自原点引出的向量天添上零向量构成一个三维线性空间R’。 1)问所有终点都在一个平面上的向量是否为子空间? 2)设有过原点的三条直线,这三条直线上的全部向量分别成为三个子空间厶,厶2,厶,问厶+厶2,厶+厶2+厶能构成哪些类型的子空间,试全部列举出来; 3)就用该三维空间的例子来说明,若U.V.X.V是子空间,满足U+V=X,XnY,是否一定有Y=YC\U+YC\V. 解1)终点所在的平面是过原点的平面,那么所有这些向量构成二维子空间;但终点在不过原点的平面上的向量不构成子空间,因为对加法不封闭。 2)厶+厶2
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