新浙教版九年级数学含答案二次函数培优练习 打印精品资料.docx
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新浙教版九年级数学二次函数培优练习课
(一)
一、重点分析:
知识点:
3.方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的符号与抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点的位置:
(△>0条件)
方程
函数
条件
ax2+bx+c=0(a≠0)
根的符号
y=ax2+bx+c(a≠0)
与x轴交点的位置
图象(以a>0为例)
x1+x2=0
两根互为相反数
与x轴交点位于原点两侧,且到原点等距离
x1x2=0
至少有一个零根
抛物线过原点
x1x2>0
两根同号
与x轴交点在y轴左侧或右侧
x1x2<0
两根异号
与x轴交点在y轴两侧
x1x2>0
x1+x2>0
两正根
与x轴交点在y轴右侧
x1x2>0
x1+x2<0
两负根
与x轴交点在y轴左侧
x1x2<0
x1+x2>0
两根异号且正根绝对值大
与x轴交点在y轴两侧,且在y轴右侧交点到原点距离较远
x1x2<0
x1+x2<0
两根异号且负根绝对值较大
与x轴交点在y轴两侧,且在y轴左侧交点到原点距离较远
4.直线y=kx+b(k≠0)与抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的交点的个数与
y=kx+b
方程组的解的个数.
y=ax2+bx+c
方程组
及函
条件数
y=kx+b
解的个数
y=ax2+bx+c
直线y=kx+b与抛物线y=ax2+bx+c
交点的个数
图象(以k>0a>0为例)
△>0
方程组有两个解
直线与抛物线有两个交点
△=0
方程组只有一个解
直线与抛物线只有一个交点
△<0
方程组没有解
直线与抛物线没有交点
二、典型例题
1.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当x=1时,此函数的最小值为-1,且方程ax2+bx+c=0的两根α、β,满足α2+β2=4,求此函数解析式.
说明:
本题将一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根α、β视为抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点的横坐标即(α、0)(β、0)利用根与系数关系求出y=ax2-2ax+a-1中的a.
2.已知抛物线y=x2-2px+p2+q与直线y=-x+1只有一个公共点,且其顶点在另一抛物线y=ax2(a≠0)上,试求a的取值范围.
说明:
本题关键是建立出方程
(1)和
(2),联立
(1)
(2)又建立方程4ap2+4p-5=0,此时视其为关于P的一元二次方程,则a是系数.由于P为任意实数,故△≥0.
3.已知抛物线y=x2+(1-m)x+m2-4与x轴交点在y轴两侧,且与x轴负半轴交点距原点较远,若抛物线解析式各项系数均为整数,求整数m.
分析:
依题意得关于x的方程x2+(1-m)x+m2-4=0的两根一正一负且负根绝对值较大.
说明:
本题在解不等式组时是难点.前面讲过,解一元二次不等式时,先将其化为标准式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0,再将不等式左边因式分解,转化为一元一次不等式组解之。
而本题中不等式
(1)3m2+2m-17<0,左边不可直接用十字相乘法因式分解,目前我们可先求出m1=-1,m2=0代入
(1)满足即为所求,否则舍去。
4.若矩形周长为6,设其一边长为x,面积为y,写出y与x之间的函数关系式及自变量取值范围,并求出当x为何值时,矩形面积最大或最小.
含x的代数式
分析:
求面积y与边长x的函数关系,就是根据已知条件建立用含x的代数式表达y的等式即y=
说明:
①求自变量x的取值范围应当考虑:
②利用二次函数求最值是常用方法之一。
二次函数练习课
(一)典型例题答案
1.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当x=1时,此函数的最小值为-1,且方程ax2+bx+c=0的两根α、β,满足α2+β2=4,求此函数解析式.
解:
∵当x=1时函数最小值为-1∴顶点坐标为(1,-1)
设所求函数解析式为:
y=a(x-1)2-1(a>0)
即y=ax2-2ax+a-1
依题意ax2-2ax+a-1=0的两根为α、β.
∴所求函数解析式为:
y=x2-2x
说明:
本题将一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根α、β视为抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点的横坐标即(α、0)(β、0)利用根与系数关系求出y=ax2-2ax+a-1中的a.
2.已知抛物线y=x2-2px+p2+q与直线y=-x+1只有一个公共点,且其顶点在另一抛物线y=ax2(a≠0)上,试求a的取值范围.
解:
∵y=x2-2px+p2+q与y=-x+1只有一个公共点.
∴△=0即(1-2p)2-4(p2+q-1)=0
即4p+4q-5=0
(1)
又y=x2-2px+p2+q=(x-p)2+q
∴顶点坐标为(p,q)且在y=ax2上
∴q=ap2
(2)
将
(2)代入
(1)4p+4ap2-5=0
即4ap2+4p-5=0∵p为任意实数
说明:
本题关键是建立出方程
(1)和
(2),联立
(1)
(2)又建立方程4ap2+4p-5=0,此时视其为关于P的一元二次方程,则a是系数.由于P为任意实数,故△≥0.
3.已知抛物线y=x2+(1-m)x+m2-4与x轴交点在y轴两侧,且与x轴负半轴交点距原点较远,若抛物线解析式各项系数均为整数,求整数m.
分析:
依题意得关于x的方程x2+(1-m)x+m2-4=0的两根一正一负且负根绝对值较大.
解:
依题意得:
△>0
x1x2<0
x1+x2>0
由
(1)得:
3m2+2m-17<0
由
(2)得:
(m+2)(m-2)<0-2 由(3)得: m<1 综上所述-2 当m1=-1,m2=0时△>0 ∴当m1=-1,m2=0时y=x2+(1-m)x+m2-4与x轴交点在y轴两侧,且负半轴交点距原点远. 说明: 本题在解不等式组时是难点.前面讲过,解一元二次不等式时,先将其化为标准式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0,再将不等式左边因式分解,转化为一元一次不等式组解之。 而本题中不等式 (1)3m2+2m-17<0,左边不可直接用十字相乘法因式分解,目前我们可先求出m1=-1,m2=0代入 (1)满足即为所求,否则舍去。 4.若矩形周长为6,设其一边长为x,面积为y,写出y与x之间的函数关系式及自变量取值范围,并求出当x为何值时,矩形面积最大或最小. 含x的代数式 分析: 求面积y与边长x的函数关系,就是根据已知条件建立用含x的代数式表达y的等式即y= 解: ∵矩形一边长为x,周长为6, ∴另一边长为3-x ∴y=x(3-x)=-x2+3x 自变量取值范围: 0 又∵y=-x2+3xa=-1<0 说明: ①求自变量x的取值范围应当考虑: ②利用二次函数求最值是常用方法之一。 二次函数练习课 (二) 一、重点讲解 (一)熟练掌握基本知识和基本技能 1.二次函数表达式的三种形式: ①一般式: y=ax2+bx+c(a≠0) ②顶点式: y=a(x+m)2+k(a≠0) ③截距式: y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 说明: (1)能够根据已知条件选择最简便方法求解析式. (2)熟练掌握配方法化二次函数一般式为顶点式. 2.求y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标方法: ①配方法化为顶点式 ② 4.二次函数平移规律及注意问题: ① ②再平移、平移规律: 左加右减,上加下减. 5.会用五点法画y=ax2+bx+c的图: 7.当自变量给定范围时求二次函数的最值问题。 (二)培养“数形”结合考虑问题的好习惯 二次函数与一元二次方程及几何知识结合的题目很多,要注意运用方程思想,数形结合的思想,这一点在上一节的复习中做了详尽复习.这里要说明的是: 要善于将“几何语言”表示为“数学表达式,如: y=ax2+bx+c(a≠0)顶点为P(x,y),与x轴交于A(x1,0)B(x2,0)若: 顶点在x轴上方,yp>0;顶点在x轴下方,yp<0;顶点在y轴左侧,xp<0;顶点在y轴右侧,xp>0;与x轴交点在y轴左侧,△≥0(x1x2>0,x1+x2<0);与x轴交点在y轴右侧,△≥0(x1x2>0,x1+x2>0)等。 三、典型例题: 1.已知二次函数图象的顶点为(1,2),与直线y=2x+k相交于(2,-1),求: (1)二次函数的解析式; (2)求k值; (3)求二次函数与直线y=2x+k的另一个交点P及P点到原点距离. 2.二次函数y=x2+px+q的图象通过R(2,-1)点与x轴交于A(a,0),B(b,0),设图象顶点为M,求使△AMB面积最小时二次函数解析式. 分析: 不妨设N=S△AMB,本题是求N的最小值时y=x2+px+q.则应考虑建立N与P(或q)的二次函数关系求出P(或q)的值使N最小. (2)解二次函数的有关问题时,依题意画出示意图,使条件具体地描述出来,便于分析,求解. 分析: 说明: 由 (1) (2)(3)的公共部分可画图求解: 分析: 说明: 求两个变量建立一个方程,应考虑将变量移至等式左边使右边为零,再将方程左边变形为两个“非负数”和的形式,便可转化为两个方程,进而求出参数a、b. 5.已知抛物线y=x2-(m2+4)x-2m2-12,求: (1)求证: 不论m为何值,抛物线与x轴总有两个交点; (2)m为何值时,抛物线与x轴交点间距离为12; (3)m取何值时,抛物线与x轴交点间距离最小? 最小距离是多少? 分析: 说明: (2)当抛物线自变量取值范围为全体实数时,其最大(最小)值即为顶点纵坐标. 7.已知x1和x2是方程x2-(k-2)x+(k2+3k+5)=0(k为实数)的两个实数根,x12+x22的最大值是什么? 分析: 设M=x12+x22,欲求x12+x22的最大值,不妨建立x12+x22与k的函数关系,而x1,x2存在着: x1+x2=k-2x1x2=k2+3k+5,显然很易建立x12+x22与k的函数关系。 说明: (1)当二次函数自变量取值范围为某一区间时,函数的最大(最小)值不仅与顶点纵坐标有关还与自变量所取区间的端点的函数值有关.本题M=x12+x22的最大值是当k=-5时 (2)可借助于图来观察更直观: ∵: M=x12+x22=-k2-10k-6=-(k+5)2+19. 二次函数 (二)典型例题答案 1.已知二次函数图象的顶点为(1,2),与直线y=2x+k相交于(2,-1),求: (1)二次函数的解析式; (2)求k值; (3)求二次函数与直线y=2x+k的另一个交点P及P点到原点距离. 解: (1)∵顶点为(1,2) ∴设所求抛物线为y=a(x-1)2+2 ∵y=a(x-1)2+2过(2,-1) ∴-1=a(2-1)2+2∴a=-3 ∴所求抛物线为: y=-3(x-1)2+2即y=-3x2+6x-1 (2)∵y=2x+k过(2,-1) ∴-1=4+k∴k=-5∴y=2x-5 2.二次函数y=x2+px+q的图象通过R(2,-1)点与x轴交于A(a,0),B(b,0),设图象顶点为M,求使△AMB面积最小时二次函数解析式. 分析: 不妨设N=S△AMB,本题是求N的最小值时y=x2+px+q.则应考虑建立N与P(或q)的二次函数关系求出P(或q)的值使N最小. 解: 依题意画出示意图. ∵抛物线y=x2+px+q与x轴交于A(a;0)B(b,0) ∴a、b是对应方程x2+px+q=0的二根. ∴a+b=-p.ab=q. ∵抛物线y=x2+px+q过R(2,-1) ∴4+2p+q=-1即q=-2p-5 (2) 将 (2)代入 (1)得: ∴当p=-4时q=-[2×(-4)+5]=+3 ∴当△AMB面积最小且过R(2,-1)的抛物线y=x2+px+q应为: y=x2-4x+3 说明: (2)解二次函数的有关问题时,依题意画出示意图,使条件具体地描述出来,便于分析,求解. 分析: 解: 说明: 由 (1) (2)(3)的公共部分可画图求解: 分析: 解: 设y=-x2+ax+b-b2的顶点为C(x,y) 说明: 求两个变量建立一个方程,应考虑将变量移至等式左边使右边为零,再将方程左边变形为两个“非负数”和的形式,便可转化为两个方程,进而求出参数a、b. 5.已知抛物线y=x2-(m2+4)x-2m2-12,求: (1)求证: 不论m为何值,抛物线与x轴总有两个交点; (2)m为何值时,抛物线与x轴交点间距离为12; (3)m取何值时,抛物线与x轴交点间距离最小? 最小距离是多少? 解: (1)∵△=[-(m2+4)]2-4(-2m2-12) ∴△=m4+8m2+16+8m2+48 =m4+16m2+64=(m2+8)2 ∵不论m为任何实数,m2≥0 ∴(m2+8)2>0∴△>0 ∴不论m为任何实数,抛物线y=x2-(m2+4)x-2m2-12总与x轴有两个交点. (2)设抛物线y=x2-(m2+4)x-2m2-12与x轴交于A、B两点 (3)依题意得: M=AB=m2+8 答: 略. 分析: 解: ∴2a2-16a+32 说明: (2)当抛物线自变量取值范围为全体实数时,其最大(最小)值即为顶点纵坐标. 7.已知x1和x2是方程x2-(k-2)x+(k2+3k+5)=0(k为实数)的两个实数根,x12+x22的最大值是什么? 分析: 设M=x12+x22,欲求x12+x22的最大值,不妨建立x12+x22与k的函数关系,而x1,x2存在着: x1+x2=k-2x1x2=k2+3k+5,显然很易建立x12+x22与k的函数关系。 解: ∵x1,x2是x2-(k-2)x+(k2+3k+5)=0的二根 ∴x1+x2=k-2x1x2=k2+3k+5 设M=x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2 ∴M=x12+x22=(k-2)2-2(k2+3k+5) =k2-4k+4-2k2-6k-10 =-k2-10k-6 又△=(k-2)2-4(k2+3k+5)>0 ∴3k2+16k+16≤0 ∴(k+4)(3k+4)≤0 ∴ ∴综上可述: 当k=-4时,x12+x22最大值为18. 说明: (1)当二次函数自变量取值范围为某一区间时,函数的最大(最小)值不仅与顶点纵坐标有关还与自变量所取区间的端点的函数值有关.本题M=x12+x22的最大值是当k=-5时 (2)可借助于图来观察更直观: ∵: M=x12+x22=-k2-10k-6=-(k+5)2+19.
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