拉格朗日中值定理教育教学设计.docx
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拉格朗日中值定理教育教学设计
拉格朗日中值定理教学设计
作者:
日期:
教学段计
第六章微分中值定理及其应用
§1拉格朗日定理和函数的单调性
题目:
罗尔定理与拉格朗日定理
一、教学目的:
1.知识目标:
分别掌握罗尔定理和拉格朗日定理及对应的几何意义,掌握三个推论。
2・能力目标:
首先让同学们知道微分中值定理包括四大定理(罗尔定理、拉格朗F1定理、柯西定理、泰勒定理),然后通过学习罗尔定理,类比学习理解拉格朗H定理,培养学生分析、抽象、概括和迁移的学习能力。
3.情感目标:
在教学过程中,让学生发现数学知识的融会贯通,培养敎形结合的思想,以及严密的思维方法,从而亲近数学,爱上数学。
二、教学重点与难点:
1.重点:
罗尔定理和拉格朗日定理,定理是基石,只有基石牢周,大厦才能建的高。
2.难点:
罗尔定理和拉格朗F)定理的应用与推广,以及这两个定理之间的区别与联系。
三、教学方法:
教师启发讲授和学生探究学习的教学方法
四、教学手段:
板书与课件相结合
五、教学基本流程:
►升华、理解新知►课堂小结作业
六、教学情境设计(1学对):
1v知识回顾
费马定理:
设函数/(X)在心的某领域内有定义,且在兀可导。
若兀为/的极值点,则必有/(x0y=Oo它的几何意义在于:
若函数/(M在J=xo可导,那么在该点的切线平行于X轴。
2、引出定理,探究案例
微分中值定理是微分学的重要组成部分,在导数的应用中起着桥梁作用,它包括四大定理,分别是罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒定理,先学习拉格朗日定理的预备定理——罗尔定理。
定理6.1(罗尔(心川小中值定理)若函数f满足如下条件:
(i)/在闭区间[“上]上连续;
(ii)/在开区间仏方)内可导;
(ii!
)/(«)=/(/.),
则在(a,Z?
)内至少存在一点使得
厂(沪0•
(1)
罗尔定理的几何意狡是说:
在每一点都可字的一段连续曲线上,如呆曲线的两端点高度相等,则至少存在一条水平切线(图6—1).
证因为/在[“上]上连续,所以有最大值与最小值,分别用M与加表示,现分两种情况来讨论:
⑴若m=M,则,/在[“,闰上必为常数,从而结论显然成立.
(2)若m 某点纟处取得,从而§是/的极值点.由条件(ii),/在点§处可导,故由费马定理推知 /W=o- 注定理中的三个条件缺少任何一个,结论将不一定成立(图6—2)o ffl6—2 设/为R上可导函数,证明: 若方程广(0=0没有实根,则方程 /W=o至多有一个实根. 证这可反证如下: 倘若f(x)=0有两个实根旺和勺(设Al 3、类比学习,理解定理 定理6.2(拉格朗日(Sgwge)中值定理)若函数满足如下条件: (彷在闭区间[("]上连续; (〃”在开区间仏b)内可导, 则在(sb)内至少存在一点纟,使得 显然,特别当f(a)=f(b)时,本定理的结论 (2)即为罗尔定理的结论 (1).这表明罗尔定理是拉格朗日定理的一个特殊情形. 证作辅助函数 F(x)=f(x)~/⑷一少匕儿"(X-a). 显然,F(a)=/0X=0),且F在[d,b]上满足罗尔定理的另两个条件.故存在§e@,b),使 化)=广(纟)一/气)7⑺)=o b-a 移项后即得到所要证明的 (2)式。 拉格郎日中值定理的几何意义是: 在满足定理条件的曲线y=/(x)上至少存在一点 该曲线在该点出的切线平行于曲线两端点的连线AB,(如图6—3所示)o 定理的结论称为拉格朗日公式。 4、升华、理解新知 •注解 Note1.定理的几何意义: 在y=f(x)±至少存在一点,该曲线在该点出的切线平行于曲线两端点的连线AB。 Note2.定理只论证了§的存在性,不知道纟的准确数值,但并不妨碍它的应用. Note3.拉格朗日公式还有下而几种等价表示形式: /0)=-a\a<^ f⑹_f(a)=f\a+0{b-a))(b-a),o<0<1;(4) f(a+/? )-f(a)=f\a+6T? )/? 0<&v1;(5) 值得注意的是,拉格朗日公式无论对于a •例题讲解 例2证明对一切〃>-1,力h0成立不等式 ) 1+/1 证设f(x)=ln(l+x),则 ln(l+/? )=ln(l+/? )-In1=—-—.0<^<1. 1+品 当力>0时,由0<6><1可推知 1<1+/7<1+/l—<—^—? ・ 1+力1+创 当一1? <0时,由0<^<1可推得 1>1+0? >1+力>0,—^―<—-— l+/i1+处从而得到所要证明的结论。 •推论 推论1若函数/在区间/上可导,且广(x)H0,xeZ,则/为/上一个常量 函数. 证任取两点X,,x2eI(设Xj ^e(xpx2)c/,使得 f(x2)-/(%))=化)匕2-^)=0. 这就证得/在区间/上任何两点之值相等. 由推论1又可进一步得到如下结论: 推论2若函数/和g均在区间/上可导,且广(X)三g,(x),,xw/,则在区间 /上/(X)与g(x)只相差某一常数,即 f(x)=g(x)+C(C为某一常数). 推论3(导数极限定理)设函数/在点筍的某邻域UC")内连续,在 U°(x0)内可导,且极限lim/\a)存在,则/在点%可导,且 广(勺)=limf\x). XT” ■i正分别按左右导数来证明(6)式成立. (1)任取xeU;(x0),/心)在[心‘]上满足拉格朗日定理条件,则存在 ^e(x0,x),使得 由于人V《vx,因此当XTX;时,随之有对(7)式两边取极限,得到 (2)同理可得/工5)=广(兀。 _0)・ 因为Umf\x)=k存在,所以广(心+0)=广(兀0-0)=匕从而f: g=f: M=k,即f(X。 )=k. 导数极限定理适合于用来求分段函数的导数 •例题讲解 例3求分段函数 的导数。 解首先易得 1+2xcosx2x<0, 进一步考虑/在x=0处的导数・在此之前,我们只能依赖导数定义来处理,现在则可以利用导数极限定理・由于 lim/(x)=limln(l+x)=0=/(0), limf(xO=lim(x+sinx2)=0=f(0), 因此/在%=0处连续,又因 厂(0-0)=lim(1+2xcosx2)=1,X-MJ" 广(0+0)=lim丄=1, •k)T+x 所以lim广0)=1.依据导数极限定理推知/在x=0处可导,且770)=1..V-M) 5、课堂小结与作业 K罗尔中值定理的条件及几何意艾。 2、拉格朗日中值定理的条件及几何意义。 3、加深定理理解的几个注解。 4、三个推论。 5、预习函数的单调性。 作业: 习题2,4
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