椭圆知识点归纳总结和经典例题.docx
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椭圆知识点归纳总结和经典例题
椭圆的基本知识
1.椭圆的定义:
把平面内与两个定点
的距离之和等于常数(大于
)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做焦距(设为2c).
2.椭圆的标准方程:
(
>
>0)
(
>
>0)
焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形,为了计算简便,可设方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0)不必考虑焦点位置,求出方程
3.求轨迹方程的方法:
定义法、待定系数法、相关点法、直接法
解:
(相关点法)设点M(x,y),点P(x0,y0),
则x=x0,y=
得x0=x,y0=2y.
∵x02+y02=4,得x2+(2y)2=4,
即
所以点M的轨迹是一个椭圆.
4.范围.x2≤a2,y2≤b2,∴|x|≤a,|y|≤b.
椭圆位于直线x=±a和y=±b围成的矩形里.
5.椭圆的对称性
椭圆是关于y轴、x轴、原点都是对称的.坐标轴是椭圆的对称轴.
原点是椭圆的对称中心.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.
6.顶点只须令x=0,得y=±b,点B1(0,-b)、B2(0,b)是椭圆和y轴的两个交点;令y=0,得x=±a,点A1(-a,0)、A2(a,0)是椭圆和x轴的两个交点.椭圆有四个顶点:
A1(-a,0)、A2(a,0)、B1(0,-b)、B2(0,b).椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点.
线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴.
长轴的长等于2a.短轴的长等于2b.a叫做椭圆的
长半轴长.b叫做椭圆的短半轴长.
|B1F1|=|B1F2|=|B2F1|=|B2F2|=a.
在Rt△OB2F2中,|OF2|2=|B2F2|2-|OB2|2,
即c2=a2-b2.
7.椭圆的几何性质:
椭圆的几何性质可分为两类:
一类是与坐标系有关的性质,如顶点、焦点、中心坐标;一类是与坐标系无关的本身固有性质,如长、短轴长、焦距、离心率.对于第一类性质,只要
的有关性质中横坐标x和纵坐标y互换,就可以得出
的有关性质。
总结如下:
几点说明:
(1)长轴:
线段
,长为
;短轴:
线段
,长为
;焦点在长轴上。
(2)对于离心率e,因为a>c>0,所以0 由于 ,所以 越趋近于1, 越趋近于 ,椭圆越扁平; 越趋近于0, 越趋近于 ,椭圆越圆。 (3)观察下图, ,所以 ,所以椭圆的离心率e=cos∠OF2B2 8.直线与椭圆: 直线 : ( 、 不同时为0) 椭圆 : 那么如何来判断直线和椭圆的位置关系呢? 将两方程联立得方程组,通过方程组的解的个数来判断直线和椭圆交点的情况。 方法如下: 消去 得到关于 的一元二次方程,化简后形式如下 , (1)当 时,方程组有两组解,故直线与椭圆有两个交点; (2)当 时,方程组有一解,直线与椭圆有一个公共点(相切); (3)当 时,方程组无解,直线和椭圆没有公共点。 注: 当直线与椭圆有两个公共点时,设其坐标为 ,那么线段 的长度(即弦长)为 ,设直线的斜率为 , 可得: ,然后我们可通过求出方程的根或用韦达定理求出。 椭圆典型例题 例1已知椭圆 的一个焦点为(0,2)求 的值. 分析: 把椭圆的方程化为标准方程,由 ,根据关系 可求出 的值. 解: 方程变形为 .因为焦点在 轴上,所以 ,解得 . 又 ,所以 , 适合.故 . 例2已知椭圆的中心在原点,且经过点 , ,求椭圆的标准方程. 分析: 因椭圆的中心在原点,故其标准方程有两种情况.根据题设条件,运用待定系数法, 求出参数 和 (或 和 )的值,即可求得椭圆的标准方程. 解: 当焦点在 轴上时,设其方程为 . 由椭圆过点 ,知 .又 ,代入得 , ,故椭圆的方程为 . 当焦点在 轴上时,设其方程为 . 由椭圆过点 ,知 .又 ,联立解得 , ,故椭圆的方程为 . 例3 的底边 , 和 两边上中线长之和为30,求此三角形重心 的轨迹和顶点 的轨迹. 分析: (1)由已知可得 ,再利用椭圆定义求解. (2)由 的轨迹方程 、 坐标的关系,利用代入法求 的轨迹方程. 解: (1)以 所在的直线为 轴, 中点为原点建立直角坐标系.设 点坐标为 ,由 ,知 点的轨迹是以 、 为焦点的椭圆,且除去轴上两点.因 , ,有 , 故其方程为 . (2)设 , ,则 .① 由题意有 代入①,得 的轨迹方程为 ,其轨迹是椭圆(除去 轴上两点). 例4已知 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点 到两焦点的距离分别为 和 ,过 点作焦点所在轴的垂线,它恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆方程. 解: 设两焦点为 、 ,且 , .从椭圆定义知 .即 . 从 知 垂直焦点所在的对称轴,所以在 中, , 可求出 , ,从而 . ∴所求椭圆方程为 或 . 例5已知椭圆方程 ,长轴端点为 , ,焦点为 , , 是椭圆上一点, , .求: 的面积(用 、 、 表示). 分析: 求面积要结合余弦定理及定义求角 的两邻边,从而利用 求面积. 解: 如图,设 ,由椭圆的对称性,不妨设 ,由椭圆的对称性,不妨设 在第一象限.由余弦定理知: · .① 由椭圆定义知: ②,则 得 . 故 . 例6已知动圆 过定点 ,且在定圆 的内部与其相内切,求动圆圆心 的轨迹方程. 分析: 关键是根据题意,列出点P满足的关系式. 解: 如图所示,设动圆 和定圆 内切于点 .动点 到两定点, 即定点 和定圆圆心 距离之和恰好等于定圆半径, 即 .∴点 的轨迹是以 , 为两焦点, 半长轴为4,半短轴长为 的椭圆的方程: . 说明: 本题是先根据椭圆的定义,判定轨迹是椭圆,然后根据椭圆的标准方程,求轨迹的方程.这是求轨迹方程的一种重要思想方法. 例7已知椭圆 (1)求过点 且被 平分的弦所在直线的方程; (2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程; (3)过 引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程; (4)椭圆上有两点 、 , 为原点,且有直线 、 斜率满足 , 求线段 中点 的轨迹方程. 分析: 此题中四问都跟弦中点有关,因此可考虑设弦端坐标的方法. 解: 设弦两端点分别为 , ,线段 的中点 ,则 ①-②得 . 由题意知 ,则上式两端同除以 ,有 , 将③④代入得 .⑤ (1)将 , 代入⑤,得 ,故所求直线方程为: .⑥ 将⑥代入椭圆方程 得 , 符合题意, 为所求. (2)将 代入⑤得所求轨迹方程为: .(椭圆内部分) (3)将 代入⑤得所求轨迹方程为: .(椭圆内部分) (4)由①+②得: ,⑦,将③④平方并整理得 ,⑧, ,⑨ 将⑧⑨代入⑦得: ,⑩ 再将 代入⑩式得: ,即 . 此即为所求轨迹方程.当然,此题除了设弦端坐标的方法,还可用其它方法解决. 例8已知椭圆 及直线 . (1)当 为何值时,直线与椭圆有公共点? (2)若直线被椭圆截得的弦长为 ,求直线的方程. 解: (1)把直线方程 代入椭圆方程 得 , 即 . ,解得 . (2)设直线与椭圆的两个交点的横坐标为 , ,由 (1)得 , . 根据弦长公式得: .解得 .方程为 . 说明: 处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题,采用的方法与处理直线和圆的有所区别. 这里解决直线与椭圆的交点问题,一般考虑判别式 ;解决弦长问题,一般应用弦长公式. 用弦长公式,若能合理运用韦达定理(即根与系数的关系),可大大简化运算过程. 例9以椭圆 的焦点为焦点,过直线 上一点 作椭圆,要使所作椭圆的长轴最短,点 应在何处? 并求出此时的椭圆方程. 分析: 椭圆的焦点容易求出,按照椭圆的定义,本题实际上就是要在已知直线上找一点,使该点到直线同侧的两已知点(即两焦点)的距离之和最小,只须利用对称就可解决. 解: 如图所示,椭圆 的焦点为 , . 点 关于直线 的对称点 的坐标为(-9,6),直线 的方程为 . 解方程组 得交点 的坐标为(-5,4).此时 最小. 所求椭圆的长轴: ,∴ ,又 , ∴ .因此,所求椭圆的方程为 . 例10已知方程 表示椭圆,求 的取值范围. 解: 由 得 ,且 . ∴满足条件的 的取值范围是 ,且 . 说明: 本题易出现如下错解: 由 得 ,故 的取值范围是 . 出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中 这个条件,当 时,并不表示椭圆. 例11已知 表示焦点在 轴上的椭圆,求 的取值范围. 分析: 依据已知条件确定 的三角函数的大小关系.再根据三角函数的单调性,求出 的取值范围. 解: 方程可化为 .因为焦点在 轴上,所以 . 因此 且 从而 . 说明: (1)由椭圆的标准方程知 , ,这是容易忽视的地方. (2)由焦点在 轴上,知 , .(3)求 的取值范围时,应注意题目中的条件 . 例12 求中心在原点,对称轴为坐标轴,且经过 和 两点的椭圆方程 分析: 由题设条件焦点在哪个轴上不明确,椭圆标准方程有两种情形,为了计算简便起见, 可设其方程为 ( , ),且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上,直接可求出方程. 解: 设所求椭圆方程为 ( , ).由 和 两点在椭圆上可得 即 所以 , .故所求的椭圆方程为 . 例13已知长轴为12,短轴长为6,焦点在 轴上的椭圆,过它对的左焦点 作倾斜解为 的直线交椭圆于 , 两点,求弦 的长. 分析: 可以利用弦长公式 求得, 也可以利用椭圆定义及余弦定理,还可以利用焦点半径来求. 解: (法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解. .因为 , ,所以 .因为焦点在 轴上, 所以椭圆方程为 ,左焦点 ,从而直线方程为 . 由直线方程与椭圆方程联立得: .设 , 为方程两根,所以 , , ,从而 . (法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解. 由题意可知椭圆方程为 ,设 , ,则 , . 在 中, ,即 ; 所以 .同理在 中,用余弦定理得 ,所以 . (法3)利用焦半径求解. 先根据直线与椭圆联立的方程 求出方程的两根 , ,它们分别是 , 的横坐标. 再根据焦半径 , ,从而求出 . 例14 椭圆 上的点 到焦点 的距离为2, 为 的中点,则 ( 为坐标原点)的值为A.4 B.2 C.8 D. 解: 如图所示,设椭圆的另一个焦点为 ,由椭圆第一定义得 ,所以 , 又因为 为 的中位线,所以 ,故答案为A. 说明: (1)椭圆定义: 平面内与两定点的距离之和等于常数(大于 )的点的轨迹叫做椭圆. (2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义,即 ,利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离. 例15已知椭圆 ,试确定 的取值范围,使得对于直线 ,椭圆 上有不同的两点关于该直线对称. 分析: 若设椭圆上 , 两点
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