考前3个月文科数学通用版知识方法专题训练第18练 解三角形问题.docx
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考前3个月文科数学通用版知识方法专题训练第18练解三角形问题
第18练 解三角形问题
[题型分析·高考展望] 正弦定理和余弦定理是解三角形的工具,而解三角形问题是高考每年必考的热点问题之一.命题的重点主要有三个方面:
一是以斜三角形为背景求三角形的基本量、求三角形的面积、周长、判断三角形形状等;二是以实际生活为背景,考查解三角形问题;三是与其他知识的交汇性问题,此类试题一直是命题的重点和热点.
体验高考
1.(2016·天津)在△ABC中,若AB=,BC=3,∠C=120°,则AC等于( )
A.1B.2C.3D.4
答案 A
解析 由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cosC,即13=AC2+9-2AC×3×cos120°,化简得AC2+3AC-4=0,解得AC=1或AC=-4(舍去).故选A.
2.(2016·课标全国丙)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cosA等于( )
A.B.C.-D.-
答案 C
解析 设BC边上的高线AD交BC于点D,由题意B=,BD=BC,DC=BC,tan∠BAD=1,tan∠CAD=2,tanA==-3,所以cosA=-.
3.(2015·天津)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为3,b-c=2,cosA=-,则a的值为________.
答案 8
解析 ∵cosA=-,0<A<π,∴sinA=.
S△ABC=bcsinA=bc×=3,∴bc=24.
又b-c=2,∴b2-2bc+c2=4,b2+c2=52.
由余弦定理得,a2=b2+c2-2bccosA
=52-2×24×=64,
∴a=8.
4.(2015·广东)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,sinB=,C=,则b=________.
答案 1
解析 因为sinB=且B∈(0,π),所以B=或B=.又C=,所以B=,A=π-B-C=.又a=,由正弦定理得=,即=,解得b=1.
5.(2016·北京)在△ABC中,a2+c2=b2+ac.
(1)求∠B的大小;
(2)求cosA+cosC的最大值.
解
(1)由a2+c2=b2+ac得a2+c2-b2=ac.
由余弦定理得cosB===.
又0<B<π,所以B=.
(2)A+C=π-B=π-=,
所以C=-A,0<A<.
所以cosA+cosC=cosA+cos
=cosA+coscosA+sinsinA
=cosA-cosA+sinA
=sinA+cosA=sin.
因为0<A<,所以<A+<π,
故当A+=,即A=时,
cosA+cosC取得最大值1.
高考必会题型
题型一 活用正弦、余弦定理求解三角形问题
例1
(1)(2015·广东)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2,cosA=且b A.3B.2C.2D. 答案 C 解析 由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得4=b2+12-2×b×2×,即b2-6b+8=0,∴b=4或b=2,又b (2)(2016·课标全国乙)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c. ①求C; ②若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长. 解 ①由已知及正弦定理得,2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,2cosCsin(A+B)=sinC, 故2sinCcosC=sinC.可得cosC=,所以C=. ②由已知,得absinC=,又C=,所以ab=6,由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcosC=7,故a2+b2=13,从而(a+b)2=25.所以△ABC的周长为5+. 点评 在根据正弦、余弦定理解三角形问题中,要结合大边对大角进行判断.一般地,斜三角形中,用正弦定理求角时,若已知小角求大角,有两解;已知大角求小角有一解.在解三角形问题中,三角形内角和定理起着重要作用,在解题中要注意根据这个定理确定角的范围,确定三角函数值的符号,防止增解等扩大范围的现象发生. 变式训练1 设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsinA=acosB. (1)求角B的大小; (2)若b=3,sinC=2sinA,求a,c的值. 解 (1)∵bsinA=acosB, 由正弦定理得sinBsinA=sinAcosB. 在△ABC中,sinA≠0, 即得tanB=. ∵B∈(0,π),∴B=. (2)∵sinC=2sinA,由正弦定理得c=2a, 由余弦定理b2=a2+c2-2accosB, 即9=a2+4a2-2a·2acos, 解得a=,∴c=2a=2. 题型二 正弦、余弦定理的实际应用 例2 某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由. 解 (1)设相遇时小艇航行的距离为S海里,则 S= ==. 故当t=时,Smin=10,v==30. 即小艇以30海里/小时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小. (2) 设小艇与轮船在B处相遇. 则v2t2=400+900t2-2·20·30t·cos(90°-30°), 故v2=900-+. ∵0 ∴900-+≤900,即-≤0,解得t≥. 又t=时,v=30, 故v=30时,t取得最小值,且最小值等于. 此时,在△OAB中,有OA=OB=AB=20. 故可设计航行方案如下: 航行方向为北偏东30°,航行速度为30海里/小时. 点评 解三角形中的实际问题四步骤 (1)分析题意,准确理解题意,分清已知与所求,尤其要理解题中的有关名词、术语,如坡度、仰角、俯角、方位角等; (2)根据题意画出示意图,并将已知条件在图形中标出; (3)将所求解的问题归结到一个或几个三角形中,通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解; (4)检验解出的结果是否具有实际意义,对结果进行取舍,得出正确答案. 变式训练2 为测得河对岸塔AB的高,先在河岸上选一点C,使C在塔底B的正东方向上,测得点A的仰角为60°,再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D,测得∠BDC=45°,则塔AB的高是________米. 答案 10 解析 由题意可得,∠BCD=90°+15°=105°,CD=10,∠BDC=45°,∴∠CBD=30°.在△BCD中,由正弦定理, 得=,解得BC=10米, ∴在Rt△ABC中,塔AB的高是10米. 题型三 解三角形与其他知识的交汇 例3 (2016·奉贤区高三上学期期末)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足cos=,A·A=3. (1)求△ABC的面积; (2)求a的最小值. 解 (1)因为cos=, 所以cosA=2cos2-1=,sinA=, 又因为A·A=3, 得bccosA=3⇒bc=5⇒S△ABC=bcsinA=2. (2)∵bc=5, ∴a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-2×5×, ∴a2=b2+c2-6, ∴a2=b2+c2-6⇒b2+c2=6+a2≥2bc=10. ∴amin=2. 当且仅当b=c=时,a有最小值2. 点评 解三角形问题与三角函数性质、向量、不等式、立体几何、数列等知识结合交汇,是近年来高考的新题型,对于这种问题要细心读题,弄清问题实质,一般都以其他知识为载体,主体还是利用正弦、余弦定理解三角形,所以将问题转化为解三角形是关键. 变式训练3 (2015·陕西)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,b)与n=(cosA,sinB)平行. (1)求A; (2)若a=,b=2,求△ABC的面积. 解 (1)因为m∥n,所以asinB-bcosA=0, 由正弦定理,得sinAsinB-sinBcosA=0, 又sinB≠0,从而tanA=. 由于0<A<π,所以A=. (2)方法一 由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA, 而由a=,b=2,A=, 得7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0, 因为c>0,所以c=3, 故△ABC的面积为S=bcsinA=. 方法二 由正弦定理,得=, 从而sinB=. 又由a>b,知A>B,所以cosB=, 故sinC=sin(A+B)=sin =sinBcos+cosBsin=. 所以△ABC的面积为S=absinC=. 高考题型精练 1.(2015·北京改编)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则等于( ) A.B.2 C.1D. 答案 C 解析 由余弦定理,得 cosA===, ∴sinA=,cosC===, ∴sinC=,∴==1. 2.(2015·重庆改编)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cosC=-,3sinA=2sinB,则c等于( ) A.2B.3 C.D.4 答案 D 解析 由3sinA=2sinB,得3a=2b,∴b=a=×2=3,在△ABC中,由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC=22+32-2×2×3×=16,解得c=4. 3.在三角形ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,且a>b>c,a2<b2+c2,则角A的取值范围是( ) A.B. C.D. 答案 C 解析 因为a2<b2+c2, 所以cosA=>0,所以A为锐角, 又因为a>b>c,所以A为最大角, 所以角A的取值范围是. 4.在△ABC中,角A,B,C所对的边的长分别为a,b,c,若asinA+bsinB<csinC,则△ABC的形状是( ) A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形D.不确定 答案 C 解析 根据正弦定理可得a2+b2<c2. 由余弦定理得cosC=<0, 故C是钝角. 5.在△ABC中,·=|-|=3,则△ABC的面积的最大值为( ) A.B. C.D.3 答案 B 解析 设角A,B,C所对的边分别为a,b,c, ∵·=|-|=3, 又cosA=≥1-=1-, ∴cosA≥,∴0<sinA≤, ∴△ABC的面积S=bcsinA=tanA≤× =, 故△ABC面积的最大值为. 6.已知锐角A是△ABC的一个内角,a,b,c是三角形中各角的对应边,若sin2A-cos2A=,则下列各式正确的是( ) A.b+c=2aB.b+c<2a C.b+c≤2aD.b+c≥2a 答案 C 解析 ∵sin2A-cos2A=, ∴cos2A=-. ∵0<A<,∴0<2A<π, ∴2A=,∴A=. 由余弦定理得,a2=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc≥(b+c)2-(b+c)2=, ∴4a2≥(b+c)2,∴2a≥b+c. 7.(2016·课标全国甲)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=,cosC=,a=1,则b=________. 答案 解析 在△ABC中由cosA=,cosC=,可得sinA=,sinC=,sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosA·sinC=,由正弦定理得b==. 8.(2015·重庆)在△ABC中,B=120°,AB=,A的角平分线AD=,则AC=________. 答案 解析 在△ABD中,由正弦定理得=, 即=, 解得sin∠ADB=,∠ADB=45°, 从而∠BAD=15°=∠DAC, 所以C=180°-120°-30°=30°,AC=2ABcos30°=. 9.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=a,2sinB=3sinC,则cosA的值为________. 答案 - 解析 由2sinB=3sinC及正弦定理得2b=3c, 即b=c.又b-c=a,∴c=a,即a=2c. 由余弦定理得cosA== ==-. 10.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A=,a=,则b2+c2的取值范围为________. 答案 (3,6] 解析 由正弦定理,得===2, b=2sinB,c=2sinC, 所以b2+c2=4(sin2B+sin2C) =2(1-cos2B+1-cos2C) =4-2cos2B-2cos2(-B) =4+sin2B-cos2B =4+2sin(2B-). 又0<B<, 所以-<2B-<,所以-1<2sin(2B-)≤2. 所以3<b2+c2≤6. 11.(2016·山东)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2(tanA+tanB)=+. (1)证明: a+b=2c; (2)求cosC的最小值. (1)证明 由题意知, 2=+. 化简得2(sinAcosB+sinBcosA)=sinA+sinB, 即2sin(A+B)=sinA+sinB,因为A+B+C=π, 所以sin(A+B)=sin(π-C)=sinC, 从而sinA+sinB=2sinC,由正弦定理得a+b=2c. (2)解 由 (1)知c=,所以cosC===-≥,当且仅当a=b时,等号成立,故cosC的最小值为. 12.(2016·四川)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且+=. (1)证明: sinAsinB=sinC; (2)若b2+c2-a2=bc,求tanB. (1)证明 根据正弦定理,可设 ===k(k>0), 则a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC. 代入+=中,有 +=,变形可得 sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B). 在△ABC中,由A+B+C=π, 有sin(A+B)=sin(π-C)=sinC. 所以sinAsinB=sinC. (2)解 由已知,b2+c2-a2=bc,根据余弦定理,有 cosA==. 所以sinA==. 由 (1),知sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB, 所以sinB=cosB+sinB, 故tanB==4.
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