完整版高考导数题型归纳.docx
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完整版高考导数题型归纳
高考压轴题:
导数题型及解题方法
(自己总结供参考)
一.切线问题
题型1求曲线yf(x)在xxo处的切线方程。
方法:
f(Xo)为在xXo处的切线的斜率。
题型2过点(a,b)的直线与曲线yf(x)的相切问题。
方法:
设曲线yf(x)的切点(xo,f(xo)),由(xoa)f(xo)f(xo)b求出xo,进而解决相关问题。
注意:
曲线在某点处的切线若有则只有一,曲线过某点的切线往往不止一条。
3
例已知函数f(x)=x3-3x.
(1)求曲线y=f(x)在点x=2处的切线方程;(答案:
9xy160)
(2)若过点AA(1,m)(m2)可作曲线yf(x)的三条切线,求实数m的取值范围、
(提示:
设曲线yf(x)上的切点(X。
,f(xo));建立xo,f(xo)的等式关系。
将问题转化为关
于xo,m的方程有三个不同实数根问题。
(答案:
m的范围是3,2)
练习1.已知曲线yx33x
(3xyo或15x4y27o)
3x相切的直线方程。
答案:
x33x相切的直线有三条。
2.若直线e12xye2
1o与曲线y1aex相切,求a的值.
答案:
1)
题型3求两个曲线y
f(x)、yg(x)的公切线。
方法:
设曲线yf(x)、yg(x)的切点分别为(x1,f(x-i))o(x2,f(x2));
建立Xi,X2的等式关系,(X2Xi)f(Xi)yyi,(X2Xi)f(X2)yyi;求出,
进而求出切线方程。
解决问题的方法是设切点,用导数求斜率,建立等式关系。
例求曲线yX2与曲线y2elnx的公切线方程。
(答案2.、exye0)
练习1.求曲线yx2与曲线y(x1)2的公切线方程。
(答案2xy10或y0)
12
2•设函数f(x)p(x)2lnx,g(x)X2,直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切,且与函数x
f(x)的图象相切于(1,0),求实数p的值。
(答案p1或3)
2.单调性问题
题型1求函数的单调区间。
求含参函数的单调区间的关键是确定分类标准。
分类的方法有:
(1)在求极值点的过程中,未知
数的系数与0的关系不定而引起的分类;
(2)在求极值点的过程中,有无极值点引起的分类(涉及到二次方程问题时,△与0的关系不定);(3)在求极值点的过程中,极值点的大小关系不定而引起的分
类;(4)在求极值点的过程中,极值点与区间的关系不定而引起分类等。
注意分类时必须从同一标准出发,做到不重复,不遗漏。
12
例已知函数f(x)alnx-x2(a1)x
2
(1)求函数f(x)的单调区间。
(利用极值点的大小关系分类)
(2)若x2,e,求函数f(x)的单调区间。
(利用极值点与区间的关系分类)
1
练习已知函数f(x)exx(k1)ex-x2kx1,若x1,2,求函数f(x)的单调区间。
(利
用极值点的大小关系、及极值点与区间的关系分类)
题型2已知函数在某区间是单调,求参数的范围问题。
方法1:
研究导函数讨论。
方法2:
转化为f'(x)0或f'(x)0在给定区间上恒成立问题,
方法3:
利用子区间(即子集思想);首先求出函数的单调增区间或减区间,然后让所给区间是求的增或减区间的子集。
注意:
“函数f(x)在m,n上是减函数”与“函数f(x)的单调减区间是a,b”的区别是前者是后者的子集。
例已知函数f(x)x2alnx+?
在1,上是单调函数,求实数a的取值范围.
x
(答案0,)
练习已知函数f(x)1x3(k1)x2,且f(x)在区间(2,)上为增函数
32
(答案:
k1,3)
题型3已知函数在某区间的不单调,求参数的范围问题。
方法1:
正难则反,研究在某区间的不单调方法2:
研究导函数是零点问题,再检验。
方法3:
直接研究不单调,分情况讨论。
1
例设函数f(x)x3ax2x1,aR在区间,1内不单调,求实数
2
(答案:
a2,,3))
3.
求实数k的取值范围。
a的取值范围。
极值、最值问题。
题型1求函数极值、最值。
基本思路:
定义域T疑似极值点T单调区间T极值T最值。
1
已知函数f(x)exx(k1)ex-x2kx1,求在x2
(利用极值点的大小关系、及极值点与区间的关系分类)
1,2的极小值。
练习已知函数f(x)x3mx2nx2的图象过点(1,6),且函数g(x)f(x)6x的图象关于y轴对称.若a0,求函数yf(x)在区间(a1,a1)内的极值.
(答案:
当0a1时,f(x)有极大值2,无极小值;当1a3时,f(x)有极小值6,无极大值;当a1或a3时,f(x)无极值.)
题型2已知函数极值,求系数值或范围。
方法:
1.利用导函数零点问题转化为方程解问题,求出参数,再检验。
方法2.转化为函数单调性问题。
11
例函数f(x)^X4-(1
43
(答案:
1)
312
p)xpxp(1p)x1。
0是函数
2
f(x)的极值点。
求实数p值。
练习已知函数f(x)
2
axxInx,aR.若函数f(x)存在极值,且所有极值之和大
5In1,求a的取值范围。
(答案:
4,)
2
题型3已知最值,求系数值或范围。
方法:
1.求直接求最值;2.转化恒成立,求出范围,再检验。
例设aR,函数f(x)ax33x2.若函数g(x)f(x)f(x),x[0,2],在x0处取得最大
4.不等式恒成立(或存在性)问题。
一些方法
1.若函数f(x)值域m,n,a>f(x)恒成立,,则an
2.对任意xim,n,x2m,n,f(Xi)g(X2)恒成立。
则f(xjming(X2)max
3.对xim,n,x2m,n,f(Xi)g(X2)成立。
则f(Xi)max9&2几山。
4.对xim,n,,恒成立f(xi)g(xi)。
转化f(xi)g(xi)0恒成立
4.对xim,n,x2m,n,f(Xi)g(X2)成立。
则f(Xi)ming&2)min。
5•对X1m,n,x2m,n,f(Xi)g(X2)成立。
则f(Xi)maxg(X2)max
6.对x1m,n,x2m,n,一f(X2)a成立。
则构造函数t(x)f(x)ax。
转化证明t(x)
XiX2
在m,n是增函数。
题型1已知不等式恒成立,求系数范围。
方法:
(1)分离法:
求最值时,可能用罗比达法则;研究单调性时,或多次求导。
(2)讨论法:
有的需构造函数。
关键确定讨论标准。
分类的方法:
在求极值点的过程中,未知数的系数与0的关系不定而引起的分类;有无极值点引起的分类(涉及到二次方程问题时,△与0的关系不定);极值点的大小关系不定而而引起的分类;极值点与区间的关系不定而引起分类。
分类必
须从同一标准出发,做到不重复,不遗漏。
(3)数形结合:
(4)变更主元
解题思路1•代特值缩小范围。
2.化简不等式。
3.选方法(用讨论法时,或构造新函数)。
方法一:
分离法。
求最值时,可能用罗比达法则;研究单调性时,或多次求导。
例函数f(x)eX(x2inx)a。
在x1,ef(x)e恒成立,求实数a取值范围。
(方法:
分离法,多次求导答案:
0,)
练习设函数f(x)用罗比达法则答案:
x(eX1)ax2,若当x>0时f(x)>0,求a的取值范围。
(方法:
分离法,,1)
方法二:
讨论法。
有的需构造函数。
关键确定讨论标准。
分类的方法:
在求极值点的过程中,未知数的系数与0的
关系不定而引起的分类;有无极值点引起的分类(涉及到二次方程问题时,△与0的关系不定);极值
点的大小关系不定而而引起的分类;极值点与区间的关系不定而引起分类。
分类必须从同一标准出发,做到不重复,不遗漏。
例设函数f(x)=ex1xax2.若当x>0时f(x)>0,求a的取值范围.
1
(答案:
a的取值范围为,丄)
2
练习1
.设函数f(x)1ex
x0时,f(x)
x
,求实数a的取值范围
ax1
(答案:
2.函数
i
f(x)alnx,当a
x
0.对x>0,ax(2
lnx)1,求实数a取值范围。
(多种方法求解。
(答案:
0,e
方法三:
变更主元例:
设函数y
0恒成立,则称函数yf(x)在区间
3o2
mx3x
f(x)在区间
D上的导数为f(X),
上,g(x)x4f(x)
f(x)在区间D上的导数为g(x),若在区间DD上为“凸函数”,已知实数m是常数,
数”,求b
,若对满足m2的任何一个实数m,函数f(x)在区间a,b上都为“凸函
62
a的最大值.(答案:
2)
练习设函数f(x)xlnx。
证明:
当a>3时,对任意x0,f(ax)f(a)ex成立。
5.函数零点问题
题型1:
判断函数零点的个数。
方法:
方程法;函数图象法;转化法;存在性定理
…一13
例•设aR,f(x)xax(1a)lnx.若函数yf(x)有零点,求a的取值范围.
3
一1
(提示:
当a1时,f
(1)0,f(■-3a)0,所以成立,答案,)
3
练习•求过点(1,0)作函数yxInx图象的切线的个数。
(答案:
两条)
题型2:
已知函数零点,求系数。
方法:
图象法(研究函数图象与x轴交点的个数);方程法;转化法(由函数转化方程,再转化函数,研究函数的单调性。
)
31例•函数f(x)Inxx1a(x1)在(1,3)有极值,求实数a的取值范围。
(答案,
18
12
练习:
1•证明:
函数f(x)Inx的图象与函数g(x)x的图象无公共点。
exex
6.不等式证明问题
方法1:
构造函数,研究单调性,最值,得出不等关系,有的涉及不等式放缩。
方法2:
讨论法。
方法2.研究两个函数的最值。
如证f(x)g(x),需证f(x)的最小值大于g(x)的最大值即可。
方法一:
讨论法
例:
已知函数f(x)旦皿b,曲线yf(x)在点(1,f
(1))处的切线方程为x2y30。
证明:
x1x
方法三:
构造函数,不等式放缩
2
例.已知函数f(x)Inxmx(mR)
(I);若m=0A(a,f(a))、B(b,f(b))是函数f(x)图象上不同的两点.且a>b>0,f(x)为f(x)的
导函数,求证:
f(?
b)丄回型f(b)
2ab
2222111
(II)求证:
...ln(n1)1...(nN*)
3572n123n
1)求过点(1,-3)与曲线yx3
2)证明:
过点(-2,5)与曲线y
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