高中数学极点极线及高中圆锥曲线必备公式.docx
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高中数学极点极线及高中圆锥曲线必备公式
极点极线
定义已知圆锥曲线С:
Ax+By+Cx+Dy+E=0与一点P(x0,y0)[其中A+Bx0+x
≠0,点.P.不.在.曲.线.中.心.和.渐.近.线.上.].则称点P和直线L:
A?
x0x+B?
y0y+C?
2+D?
y2+y+E=0是圆锥曲线С的一对极点和极线
x0+xy0+y
即在圆锥曲线方程中,以x0x替换x,以2替换x,以y0y替换y,以2替
换y则可得到极点P(x0,y0)的极线方程L.
特别地:
(1)对于圆(x-a)+(y-b)=r,与点P(x0,y0)对应的极线方程为
(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r;
xyx0xy0y
(2)对于椭圆+=1,与点P(x0,y0)对应的极线方程为0+0=1;
abab
xyx0xy0y
(3)对于双曲线a-b=1,与点P(x0,y0)对应的极线方程为a0-b0=1;
(4)对于抛物线y=2px,与点P(x0,y0)对应的极线方程为y0y=p(x0+x);性质一般地,有如下性质[焦.点.所.在.区.域.为.曲.线.内.部.]:
1若极点P在曲线С上,则极线L是曲线С在P点的切线;
2若极点P在曲线С外,则极线L是过极点P作曲线С的两条切线的切点连线;
3若极点P在曲线С内,则极线L在曲线С外且与以极点P为中点的弦平行[仅是斜率相等](若是圆,则此时中点弦的方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=
x0xy0yx0y0
;若是椭圆,则此时中点弦的方程为axx+byy=xa+yb
x0xy0yx0y0
双曲线,则此时中点弦的方程为ax0x-by0y=xa0-yb0;若是抛物线,则此时中点弦的
方程为y0y-p(x0+x)=y0-2px0);
4当P(x0,y0)为圆锥曲线的焦点F(c,0)时,极线恰为该圆锥曲线的准线..;
5极点极线的对偶性:
Ⅰ.已知点P和直线L是关于曲线С的一对极点和极线,则L上任一点Pn对应的极线Ln必过点P,反之亦然,任意过点P的直线Ln对应的极点Pn必在直线L上[图.
Ⅱ.过点P作曲线C的两条割线L1、L2,L1交曲线C于AB,L2交曲线C于MN,则直线AM、BN的交点T,直线AN、BM的交点S必都落在点P关于曲线C的极线L上[图.中.点.P.与.直.线.S..T是.一.对.极.点.极.线.;.点.T.与.直.线.S..P是.一.对.极.点.极.线.];
Ⅲ.点P是曲线C的极点,它对应的极线为L,则有:
1)若C为椭圆或双曲线,O是C的中心,直线OP交C与R,交L于Q,则OP?
OQ=OR
中学数学中极点与极线知识的现状与应用
虽然中学数学中没有提到极点极线,但事实上,它的身影随处可见,只是没有点破
而已.教材内改名换姓,“视”而不“见”.由④可知椭圆xa+yb=1的焦点的极
a
线方程为:
x=.焦点与准线是圆锥曲线一章中的核心内容,它揭示了圆锥曲线c
的统一定义,更是高考的必考知识点.正是因为它太常见了,反而往往使我们“视”而不“见”.
圆锥曲线基础必备
1、长轴短轴与焦距,形似勾股弦定理
长轴=2“,短轴=2b,焦距=2c.则:
a2=b2-^c2
1、准线方程准焦距.〃方、"方涂以r
又:
0=tan—
..&0
・刁2sm—cos—sm0_22
1+cos02cos—
1、切线平分焦周角,称为弦切角定理
弦切角定理:
切线平分椭圆焦周角的外角,平分双曲线的焦周角.
焦周角是焦点三角形中,焦距所对应的角.
弦切角是指椭圆的弦与其切线相交于椭圆上时它们的夹角,当弦为焦点弦时(过焦点的弦),那么切线是两个焦点弦的角平分线.
第6页
2.切点连线求方程,圾线定理须牢记
若旳(X05)在椭圆卡+$=1外,则过昨作椭圆的两条切线,切点、为P』,巧,则点耳和切点弦马•勺分别称为椭圆的极点和极线.
切点弦耳乃的直线方程即极线方程是
(称为极线定理)
笫?
页
3、弦与中线斜■率积.准线去涂准焦距|
弦指椭圆内的一弦•中线指弦AB的中点M与原点O的连线,即2AB得中线•这两条直线的斜率的
VY-Q2於
乘积,等于准线距离去除准焦^p=—.其
kk_p
结杲是:
0M=T=~V
第8页
4、细看中点弦方程,恰似弦中点、轨迹|
中点、弦AB的方程:
在椭圆中,若弦的中点、为
弦仙称为中点弦,则中点弦的方程就是
是直线方程.
弦中点M的轨迹方程:
在椭圆中,过椭圆内点p皿、m的弦AB,其中点、M的方程就是S.yoy„/(y2.一
7*+矿二正+歹,仍为椭圆.
这两个方程有些相似,要擦亮眼睛,千万不要搞混了.
第9页
圆锥曲线必背口诀(红字为口诀)-双曲线
一、双曲线定义
双曲线有四定义.差比交线反比何
1、定义1:
(差)平面内,到两个定点唇码的距离之差的绝对值为定值2“(小于这两个定点间的距离冈砂)的点的轨迹称为双曲线。
定点、F”巧叫双曲线的|焦点、。
即:
\PF1-PF2\=2a
2、定义2:
(比)平面内,到给定一点及一直线的距离之比为定值^>1的点的轨迹称为双曲线。
定点叫双曲线的焦点,定直线叫双曲线的准线|。
3、定义3:
(交线)一平面裁一圆锥面,当载面与圆锥面的母线不平行,且与圆锥面的两个圆锥都相交时,交线称为|双曲线。
第io页
4■定义4:
(反比例)在平面直角坐标系中,反比例函
k
数.^=-的图象称为双曲线
证明:
反比例函数图象是双曲线轨迹经过旋转得到.证明:
因为X)^=k的对称轴是y=X,y=-X,而
7-的对称轴是"轴,丁轴,所以应该旋转45°.
设旋转的角度为ala*o、顺时针)(Q为双曲线渐进线的倾斜角)
则有:
X=xcosa+ysina,Y=-xsina+ycosa
=f[(工+$)=E
而=k,所以,X2-Y2=2xy=2k
由此证得.反比例函数其实就是双曲线的一种形式,只
不过是双曲线在平面直角坐标系内的另一种摆放形式.
笫II页
二.双曲线的性质定理
展本同椭圆,有所区别:
长轴短轴与焦距,形似勾股弦定理①准线方程准焦距.〃方、"方涂以C②通径等于2ep.切线方程用代替③焦三角形计面积.半角余切连乘"④第12页
注解:
1.长轴短轴与焦距:
形似勾股弦定理
长轴=2“,短轴=2b,焦距=2c,则:
a2+b2=c2
2.准线方程准焦距.〃方、"方涂以£
a2
准线方程:
x=±—(。
方除以。
)
护
准焦距":
焦点到准线的距离:
P=—(D方除以c)C
3.通径等于2y切线方程用代替
双曲线的通径":
过焦点垂直于长轴的直线与双曲线的两交点之间的距离成为双曲线的通径.(通径,,rb22b2
a=2ep=Z9)
aca
过双曲线上P0[x0,y0)点的切线方程,用打)等效代替双曲线方程得到,等效代替后的是切线方程是:
syQy_T
7一歹"
第13页
4、焦三角形计面积,半角余切连乘"
焦三角形:
以双曲线的两个焦蛊、甘2为顶点,另一个顶点P在椭圖上的三角形称为焦三角形•半角是指"ZFf巧的一半.
X2y2
双曲线p--p-=2的左右焦点、分别
其面积为;SAF:
PF}=〔Gt:
第14页
在AFf玛中,由余弦定理得:
P巧『+|丹J-2『巧||刃讣0$“|巧杓
即:
in2+n2—Znui•cosy=4c2=4a2+4b2=(jn—n)2+4b2
即:
2〔/=nni(l—cosy)
2b2
丁/f2
即.mn即.
"•7-cos7、叶•
那么,焦点三角形的面积为:
故:
SAF:
PF:
=於
£
同时:
saf3pf3=T巧砂•叽|="4"|,
£
b2y
故:
.rr=±—cot-
U曲线的焦点三角形的面积为:
S卧p*=b2eot^
第1$页
三、双曲线的相关公式
切线平分焦周角,称为弦切角定理①切皮连线求方程,拔线定理须牢记②弦与中线斜率积.准线去除准焦距③细看中点弦方程.恰似弦中点轨迹④第16页
1、切线平分焦周角,称为弦切甬定理
弦切角定理:
切线平分双曲线焦周角的外角,平分双曲线的焦周角.
焦周角是焦点三角形中,焦距所对应的角.
弦切角是指双曲线的弦与其切线相交于
双曲线上时它们的夹角,当弦为焦点弦时
(过焦点的弦),那么切线是两个焦、点弦的角平分线.
如图,^FjPF2是焦点三角形,牛PF?
为焦周角,PT为双曲线的切线.则刃平分今啓・
第I?
页
1、切点连线求方程.极线定理须牢记
若曲(叼.力)在双曲线刍冷=1外,以包含焦点的区域为内,不
包含焦点的区域为外,则过必作双曲选的两条切线,切点为丹、鸟,则点马和切点、弦丹七分别称为双曲线的极点、和极线,切点弦丹鸟的直线方程即极线方程是迸一驾7(称为圾线定理)
A2M
第18页
3、弦与中线斜■率积,准线去涂准焦距
弦指双曲线内的一弦曲・中线指弦曲的中点M与原点。
的连线,即KOAB得中线.这两条直线的斜率的乘积,等于准线距器
第19页
4、细看中点弦方程.恰似弦中点轨迹
中点弦.JB的方程:
在双曲线中,若弦曲的中点为M(kjo),称弦为中点弦、则中点、弦的方程就是:
它是直线方程.
弦中点M的轨迹方程:
在双曲线中,过双曲线外一点&(叽“)的弦AB,其.JB中点M的方程就是:
xoxyoyx2y2
7=7一戸,仍为双曲线.
这两个方程有些相似,要擦亮眼睛,千万不妾搞混了.
第2D页
圖锥曲线必背口诀(红字为口诀)-抛物线
一.抛物线定义
抛物线,有定义,定点定线等距离
1、到一个定点和一条定直线距离相等得点、的轨迹称为迪鱼送
2、二次函数的图象是|抛物线|・
第21页
二、抛物线性质
焦点准线极点线①,两臂相乘积不变②
第22页
注解:
1、I焦点准线极点线I
抛物线的焦点和准线是一对极点和极线.
抛物线方程:
X2=2px.焦点F
(2),准线"=-刍
抛物线的顶点0(0.0)到定点,◎和定直线卩=_吕距离相等.
焦弦:
过焦点的直线与拋物线相交于两点.4和B,则称为焦弦.
弦中点,•畑),XM=A°",y'M=匕牛^
焦弦方程:
严心-£),*为斜率.
第23页
2、|两臂相乘积不变
焦点三角形两边和|OB|的乘积为定值,且夹角是钝角.
证明:
焦弦满足的条件
[y2=饷
p=>以叶分=2声
,=W)2
=>k2x2-(k2+2)px+^—=0
由韦达定理得:
XAXB=.
XaXb=-Q疋T.』2py:
B=-2pjs=-2p・£=_p'
厶
p22
即:
XAXB=^-)\4)3=~1^①
32
且:
OA-OB=(xA,yA)-(xB,yB)=xAxB^yAyB=~~P.
4
故:
焦点三角形两边之乘积为定值.
第24页
3、焦弦切线成直角,切点就是两端点即:
焦弦两端点的切线互相垂直.
证明:
如图,由拋物线方程:
y2=2Px,得到导数:
yy1=p
将①式XaXb=~1)2代入上式得:
^AE•“BE——1
即:
4E丄BE,故焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直角三角形.
第25页
4.|端点投影在准线,连结焦点垂直线即:
焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直角三角形.
证明:
坐标。
(-弓,ys),Q(-~
则:
CF=(p.-ys),DF=(p-yA)
于是:
CFDF=p2-yAyB将①式J/打代入上式得:
CF~DF=O,故:
CFLDF
即:
焦弦端点丄B在准线的投影点D.C,则市丄莎,即:
焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直角三角形.
第26页
5.焦弦垂直极焦线
若焦弦丄B对应的极点则EF为极焦线,于是EF丄AB
用向量方法可证.
由于M是的中点,^4EB为直角三角形,计算可得E是DC的中点,
故:
|妙|=|眄=冈
由向量法可证丽•乔=〃
即:
焦弦口创与极焦线|EF|互相垂直.
笫2?
页
6、|切线是角平分线
即:
切线平分焦弦的倾角(或倾角的外角)
如图:
因为2DE和\AFE都是直角三角形,
且由定义知:
\AF\=\AD\.\AE\=\AE\故AADE竺MFE、则对应角相等.
即:
AE是ZDAF的角平分线同理,EE是ZCEF的角平分线
第28页
7、|直角梯形对角线,焦点就是本原点即:
直角梯形对角线相交于原点即:
A.O.C三点共线;BOD三点共线.
用向量法证明:
OA//CO.OB//DO
证明:
坐标出令,儿),B(晋,片),
Q(-吕'J8)、D(-£,片)
▲石
向量:
如=(器,Jl),CO=(£‘-JS)
各分量之比:
_Z_
(£ik=2£=d?
f)y二厂二必
(COh£P2'(cd)y-yB-yAyB
将①式XaXb=-P:
代入上式得:
(CO),-MSP2
»(OA)x(OA)yOA——一
故:
芮忌'即:
OAco
同理:
OB//DO.直角梯形/BCD对角线相交于原点.
第29页
8、|焦弦三角计面积,半个"方除正弦即:
焦弦三角形的面积为:
SbAOB=
(a为焦弦的倾角)
证明:
\AB\=[4F\+\BF
第30页
附:
圆锥曲线必背极坐标
一.极坐标通式
圆锥曲线的极坐标以准焦距"和离心率e来表示常量,以极径P和极角&来表示变量.
P"、&曰〃,36〃°)
以焦点F(o、e)为极点(原点o),以椭圆长轴、拋物线对称轴、双曲线的实轴为极轴的建立极坐标系.故准线是到极点距离为准焦距"且垂直于极轴的直线「
极坐标系与直角坐标系的换算关系是:
V
0=aictan—
或者:
x=pcos0,y=sin0
特别注意:
极坐标系中,以焦点为极点(原点),而直角坐标系中以对称点为原点得到标准方程.
如图,O为极点,Z为准线,则依据定5G到定点(极点)和到定直线(准线)的距离之比为定值(定值e)的点的轨迹为圆锥曲线.所以,对极坐标系,请记住:
(1)极坐标系的极点O是楠圆的左焦点、抛扬线的焦点、双曲线的右焦点;
(2)曲线上的点P(p®到焦点F的距离是P,到准线的距离是p+pros0
根据定义:
Q云加即:
ep+apcosQ=p
即:
《"=p-epcQsO
对双曲线、只是右边的
即:
p=7^6①
这就是极坐标下,圆锥曲线的通式.
(3)对应不同的匕,呈现不同的曲线.—殳;对抛物线,开口向右.
二、极轴旋转"0。
将极轴旋转180°,a和0分别对应变换前后的极角,即转角为e=Eso°,则极坐标方程变换前方程
ep
为.p=
J•7-^cosa
变换后方程为:
ep
p-②
1+0COS0
此时的极坐标系下,
有:
(1)极坐标系的极点o是椭圆的右焦点、抛物线的焦点、双曲线的左焦点;
(2)对应不同的幺,呈现不同的曲线.对双曲线,只是左边的一支;对抛物线,开口向左.
第33页
物线的焦点.
对双曲线,只是丁轴上边的一支;对抛物线,开口向上.
笫34页
⑵如果将极轴逆时针旋转,即:
&=a—90。
,则情况如图.
圆锥曲线的方程为:
ep—
p=③
1+^siiia7此时的极坐标系下:
对应于直角坐标系下,焦点在y轴的情况,且对应于椭圆上方的焦点,双曲线下方的焦点,抛物线的焦点.
对双曲线,只是j•轴下边的一支;对抛物线,开口向下・
第35页
四.坐标变换
⑴在极坐标系中,圆锥曲线的通式为:
l-ecos0
即:
p-epcosff=ep,即:
/?
=ep+epcos0
即:
/=(印+=e2p2^-e2(pcos0)2+2e2pipcqsO)②
将p2=X2+y2,Pcos0=X代入②式得:
当心7时:
d-e2)[^-2-^-x+(-^-)2]+/=e2p2+(』_/)(空V
1-e1-e1-e
即:
(』一/)(乂一上2)2十尹2之22(”厶_)=兰q.
1-e21-e^1-e2
(1-e2)21-e2
⑴当0V』时:
(x-c)y■
代入④式得:
—^—+万=⑤
这是标准的橢圆方程.
(2)当F>Z时:
(a+Dr*
代入④式得:
一p#=丄⑥
这是标准的双曲线方程.
⑶当0=7时、由③式得:
-2px+y即:
y2=2px+『=2]心+y)
■
即:
•宀如+些⑦
这是标准的抛物线方程.
五.圆锥曲线性质的极坐标的表示
⑴准线方程
点到准线的距离0,就是极点(原点)到准线的距离.于是在极坐标下的准线方程为:
pcosO=-p②
⑵长轴(实轴)短轴(虚轴)焦距
对于椭圆和双曲线,在四、I坐标变换I一节中已经提到.
1>当时,即是椭圖
"P
焦距为:
~~2
1-e
2>当时、即是双曲线
则长轴为:
2“=芒
短轴为:
2b=2a&2_l=&2_1
3>当“z时,即是抛物线.
抛物线的焦距定义为焦点到顶点的距离.
很据定义,抛物线的顶点到焦点和准线的距离是相等的,故其焦距为:
f=\OF\=^~
2
切线平分焦周角Z$7近、的外角ZZ7迟
极点极线例题
Oale
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"乐域.灣夕必轴须拿才勻血%%次區知加仏£:
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心当卫玮勺4B冃星时.彖沁cf-oS为吏位.二
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一血念⑴细療越缶灶:
些弋二|.
玄-「•沒仏QG仇和俣联,“强細1a以P关率肉a!
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仆-I,幷
邑&力U用\育1\刁,冲贰二沐二I虢位f一址二:
总我•径久易主31曲閔(
谟/旳:
Ml••沪心1血独归土()二*峠,0)沒C厲思).D0少•和心护施建他儁绪
濮2)才十偸-!
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沒4角邂胡二韵M)即心&1胪当oh)眾细鬲攵I銭锂昭才转莘一錯.me曲,二貂勻弟椚细一蠱虫一2-2垃・厲疋二里辿血三尸徼扌谨一(才)「施百?
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妙聲曾沁礬•爲;杀F呷別X^N:
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