全国高中数学优质课教学设计函数的单调性与导数.docx
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全国高中数学优质课教学设计函数的单调性与导数
全国高中数学优质课
普通高中课程标准实验教科书《数学》选修1-1
(人教A版)
函数的单调性与导数
(第一课时)
教材分析:
函数的单调性与导数是人教A版选修1-1第三章第三课第一节的内容.
《数学课程标准》中与本节课相关的要求是:
结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间.
函数的单调性是函数的重要性质之一.在必修一中学习了利用函数单调性的定义、函数的图象来研究函数的单调性,学习了导数以后,利用导数来研究函数的单调性,是导数在研究处理函数性质问题中的一个重要应用.
在前几节课中,学生学习了平均变化率,瞬时变化率,导数的定义和几何意义等内容,在本节课中,学生将要在此基础上学习通过导数来研究函数的单调性,掌握研究函数单调性的更一般方法,进而为后面学习函数的极值,最值等作出知识铺垫,打下能力基础,进行方法指导,因此,本节课可以起到承上启下,完善建构,拓展提升的作用.
学生学情分析:
课堂学生为高二年级的学生,学生基础普遍比较好,但是学习单调性的概念是在高一第一学期学过,因此对于单调性概念的理解不够准确,同时导数是高中学生新接触的概念,如何将导数与函数的单调性联系起来是一个难点.
在本节课之前学生已经学习了导数的概念、导数的几何意义和导数的四则运算,初步接触了导数在几何中的简单应用,但对导数的应用还仅停留在表面上.本节课应着重让学生通过探究来研究利用导数判定函数的单调性.
教学目标:
结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系:
能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间.
重点:
利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间.
难点:
探索并了解函数的单调性与导数的关系.
借助几何直观,通过实例探索并了解函数的单调性与导数的关系;理解并掌握利用导数判断函数单调性的方法,会用导数求函数的单调区间;体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性,同时感受和体会数学发展的一般规律.
教学策略分析:
根据新课程标准的要求,本节课的知识目标定位在以下三个方面:
一是能探索函数的单调性与导数的关系;二是掌握判断函数单调性的方法;三是能由导数信息绘制函数大致图象.
本节课的教学设计也是围绕这些目标,让学生自主探究,充分参与课堂,并从中体会学习的成功和快乐.
本节课时学习过导数的概念和运算后,首次运用导数解决函数相关问题的一节课,如何激发学生的兴趣,使其探索和运用新的工具即导数解决单调性问题是本节课的关键,利用手边胡工具,更好的分析这个过程,运用信息技术确认加深理解.
充分利用学生已有的基础,分析原函数的单调性与导数正负之间的关系,本着由形到数,由数到形,数形结合的思想.
(一)创设情境,引发冲突.
师:
在北方,进入十月,就能感觉到阵阵寒意,今天我们就从一个气温的实际问题开始数学之旅.
师:
我市气象站对冬季某一天气温变化的数据统计显示,从2时到5时的气温与时间可近似的用函数拟合,问:
这段气温随时间的变化趋势如何?
回答这个问题,我们需要了解这个函数的什么性质?
生:
函数的单调性.
师:
如何判断这个函数的单调性呢?
生:
画图象,用定义.
师:
有的同学说画图象,有的说用单调性的定义,我们动手来做一下吧
生:
动手操作.
师:
选择画图的同学们,可以画出图象么?
生:
不可以.
师:
哪位同学来说一下如何用单调性的定义来解决.
生:
在区间2到5上,任意选取
且,我们需要判断的符号,
师:
可以判断么?
生:
不可以.
师:
好,请坐,也就是我们已有的方法都遇到了困难,如何解决这个单调性问题呢?
设计意图:
通过学生熟悉的生活情景,激发学生迫切知晓函数单调性的欲望,尝试运用所学知识解决非初等函数的单调性,引发学生的认知冲突,思考如何将未知化为已知,激发了学生主动学习新知识的热情.
(二)回归定义,寻求方法.
师:
追本溯源,我们重新回到定义.请一位同学回答单调性的定义.
生:
在函数
的定义域内的某区内,满足对于任意的
且,都有,是增函数.
师:
很好,也就是我们要需要判断的符号,我们把这个形式变形,判断
的符号,结果为:
生:
大于0.
师:
即函数值的改变量与自变量改变量的比值:
生:
大于0
师:
函数
在区间内是减函数,满足对于任意的
且,都有,也就是
生:
小于0.
即函数值的改变量与自变量改变量的比值:
生:
小于0.
师:
我们发现,函数的单调性与这样一个比值的符号相关,在本章的学习中,我们知道这叫做----
生:
函数的平均变化率.
师:
我们运用无限趋近于的方式,可以由平均变化率得到瞬时变化率,反过来,瞬时变化率可以刻画函数在该点附近的变化情况,我们知道瞬时变化率,即----
生:
导数.
师:
非常棒!
我们这节课就试着用导数来研究函数的单调性.
板书:
3.3.1函数的单调性与导数.
设计意图:
注意到知识的联系,尝试在学生原有认知的基础上建立新知,通过回顾函数单调性的定义,将其形式改变,联想平均变化率,运用无限趋近于的方式,得到瞬时变化率,即导数,引发学生思考导数与单调性的关系,这个过程由浅入深,层层深入,合乎学生的逻辑思维.
(三)观察发现,探索规律.
师:
要研究函数的单调性与导数的关系,我们来观察,函数单调递增时,平均变化率大于0,函数单调递减时,平均变化率小于0,那么,导数的符号是否与函数的单调性有关呢?
师:
我们从最熟悉的函数开始研究,我们都学过哪些基本初等函数呢?
生:
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数.
师:
对于这些函数,我们都是通过函数的形,也就画出图像的方式来研究,同样的,导数的形,也就是导数的几何意义是什么呢?
生:
函数的图像在该点处切线的斜率.
师:
根据导数的几何意义,我们一起来看研究的方法.
师:
给出函数的图像,指出其单调区间,用牙签靠近图像,使其作为该点处的切线,移动牙签,观察斜率即导数的正负情况.
师:
拿出坐标纸,作出你研究的函数图像,利用牙签,得出结论,并填写下面的表格.
师:
可以进行讨论,到前面展示你的结果.
师:
我们一起来看同学们的展示,可以得到什么结论呢?
生:
导数为负数时函数单调递减,导数为正数时单调递增.
师:
熟悉的初等函数,得到这样的结论,数学来源于生活,我们再来看生活中的例子:
给出高台跳水运动员的高随时间变化的函数,来研究运动员运动状态的变化情况.
生:
可以画出这个二次函数的图像,得到高度的变化情况,从
时刻,高度上升,
时刻高度下降.
师:
也就是高度函数先单调递增,而后单调递减,运动状态除了高度,还有速度,我们进一步研究.
师:
给出导函数即速度函数的图像,有什么结论?
生:
导函数即速度图像在
轴的上方时高度函数单调递增,导函数图像在
轴下方时函数单调递减.
设计意图:
从基本初等函数入手,让学生动手操作,通过观察、归纳,提炼,激发学生的自主探究欲望.让学生发现导数的符号与函数的单调性之间的联系.培养学生共同解决问题、探讨问题的能力和合作意识,从而培养学生的探究意识和探究能力.引导学生从形的角度来验证,降低了学生的思维难度,又能体会导数研究单调性的一般性.生活实例高台跳水是我们从导数概念就开始使用,把抽象的概念与物理背景结合,能迅速的突破难点,高度函数的单调性与速度函数的关系,再次确认了结论.
(四)结论总结,揭示本质.
师:
我们一起来总结一下函数的单调性与导数的关系.
一般地,函数
在某个区间
内
1)如果恒有
>0,
那么
在这个区间
内单调递增;
2)如果恒有
<0,
那么
在这个区间
内单调递减.
导函数值的正负与单调性之间存在这样的关系,这个结论也印证了我们本节课一开始的思考和分析.
若恒有
=0呢?
思考一下
板书:
结论内容
师:
有结果了么?
生:
常函数.
设计意图:
由观察、猜想到归纳、总结,让学生体会知识的发现的过程,使学生的思维、行动积极主动地参与课堂教学.从猜想到验证的发现过程,使自主探究成为学生的一种学习习惯.
(五)自主分析,多维验证.
师:
这里我们分析了我们熟悉的函数,其他的函数呢?
我们不妨来分析一下我们遇到困难的函数
.
师:
运用我们探究出的结论,求出函数
的单调区间,如何运用导数知识来解决呢?
生:
先给出定义域,求出导函数,导函数大于0的部分为增区间,小于0的部分为减区间.
师:
非常好!
我们把完整的过程展示出来,发现利用导数这个工具,可以便捷的解决这个单调性问题.
借助于作图工具,我们来看.
师:
做出函数的图像,在图像上任意选取一点,移动该点,我们可以观察到什么?
生:
函数单调递减然后单调递增.
师:
这个函数的单调性与导数之间有我们刚才得到的关系么?
利用导数的几何意义,做出该点处的切线,显示其斜率即导数值,让点运动起来.
师:
有什么发现?
生:
导数值为正数时函数单调递增,函数值为负数时函数单调递减.
师:
我们可以做出导数点,动态生成导函数图像,再次印证了我们的结论
作出该点出的切线,观察斜率即导数值得变化.
作出导数点,观察导函数的形成过程.
对比函数和导函数的图像,得出函数的单调性和导数正负的关系.
设计意图:
让学生见证导数在研究函数单调性问题上的威力,感受数学来源于生活又服务于生活.教师使用GGB来动态演示,引导学生从“形”的角度验证,实现多维验证,降低学生思维的难度,体现了导数方法在研究单调性问题中的一般性和优越性.
(六)数学应用,体会价值.
例:
求函数
的单调区间,并画出函数的大致图像.
师:
一起解决,并进行板书.展示学生的绘图.
生:
共同回答.
练习:
求函数
的单调区间.
师:
用GGB展示结果.
设计意图:
开放函数系数,激发学生自我挑战的学习欲望,为学生创设“应用导数研究函数单调性”的自由平台,感受到书法的通用性和优越性,充分展现导数在研究函数问题中的强大工具作用,同时高效重温二次不等式的解法,避免因解不等式的障碍冲淡核心知识的学习,起到一题多用的效果.
(七)方法小结,课堂提升.
师:
通过本节课的学习,思考下面的问题
生:
学习了函数的单调性与导数的关系,能够用利用导数求函数的单调区间,研究中体现了数形结合的思想.
师:
我们从一个无法解决的实际问题出发,回归定义寻求方法,从熟悉的函数到实际生活,得出结论,并能运用到陌生的函数中,探究过程中体现了数形结合的思想.
设计意图:
作为本节课的总结,从知识、方法、思想三个角度进行总结,对整节课探究过程进行回顾,体会数学研究问题的方式和其中的数学思想.尝试学生回顾本节的学习,培养“学习-总结-反思”的良好习惯.
(八)回归生活,感悟数学.
师:
最后我们放松一下,一起来坐过山车
生:
过山车时视线向上时高度上升,视线向下时高度下降.
师:
这如同函数的单调性与切线斜率即导数正负的关系.
师:
人生犹如过山车,站在人生的每个瞬间的点上,我们都能向上看,人生轨迹就会是持续上升趋势;相反,如果我们被负面情绪萦绕,我们就会走下坡路.只要饱含正能量,脚踏实地走好每一步,相信同学们的前途会一片光明!
设计意图:
体会数学可以回归生活.再次加深对本节课的感性认识,体会数学的人文精神.
(九)分层作业,因材施教.
必做题:
教材98页,习题3.3A组1、2题.
选做题:
结合所学知识,举几个函数实例,比较定义法、图像法、导数法求单调区间的特点.
设计意图:
学生巩固所学知识,为学有余力的同学留进一步探索、发展的空间.
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- 全国 高中数学 优质课 教学 设计 函数 调性 导数