数论基础六讲.docx
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数论基础六讲
第一讲因数和倍数
(一)
【知识要点】
1.因数和倍数
整数
乘整数
得到整数C,那么
和
叫做C的因数,C叫做
的倍数。
2.倍数的特征
2的倍数的特征:
个位上是0、2,4、6、8的数都是2的倍数。
5的倍数的特征:
个位上是0或5的数都是5的倍数。
3的倍数的特征:
一个数各位上的数的和是3的倍数,这个数就是3的倍数。
3.奇数、偶数的意义
自然数中,是2的倍数的数叫做偶数;不是2的倍数的数叫做奇数。
【例题讲解】
例1、48的全部因数有哪几个?
20以内3的倍数有哪几个?
例2、一个数既是40的因数,又是5的倍数。
这个数可能是几?
例3、在方框里填上适当的数字,使它是2和3的倍数.
(1)38□
(2)945□
例4、观察下面各数:
1645506396191120
432115841307579966
2的倍数有
既有因数2,又有因数3的数有
既有因数3,又有因数5的数有
同时是2,3,5的倍数的数是
例5、在下面方格内填上适当的数字。
(1)26□4能被2整除,又能被3整除。
(2)412□能被3整除,又能被5整除。
(3)61□□能同时被2、3、5整除。
【巩固练习】
A组
1、写出下面各数的倍数或因数。
因数
倍数(写出5个)
12
5
18
9
30
10
45
12
2、填一填。
(1)32的因数有()共()个,其中最小因数是(),最大因数是()。
(2)一个数的倍数的个数是()的,其中最小倍数是()。
(3)24的全部因数从小到大依次为()。
(4)一个数既是15的倍数,又是15的因数,这个数是()。
(5)如果数a能被数b整除(b:
*0)a就叫做b的(),b就叫做a的()。
3、连一连。
4、猜数。
(1)它是24的最大因数,这个数是
。
(2)它的最小倍数是45,这个数是
。
(3)它是l2的倍数,又是24的因数,这个数可能是
。
B组
一、填空。
1.自然数按是不是2的倍数,可分为()和()。
2.在30、47、28、51、36、41、135、102中是2的倍数的数有(),是3的倍数的数有(),是5的倍数的数有()。
3.23□,□里填()时,这个数就是2的倍数;□里填()时,这个数就是3的倍数;□里填()时,这个数就是5的倍数。
4.是2的倍数的最大两位数是(),是5的倍数的最小两位数是()。
5.1234至少加上()就是3的倍数。
6.用2、9、4三个数字排一个最小的是2的倍数的三位数是(),排成一个最大的是3的倍数的三位数是()。
7.在下面的□里填上适当的数,使这个数既是3的倍数,又是5的倍数。
4□536□43□
8.100以内既是3的倍数又是5的倍数的最大奇数是(),最小偶数是()。
二、仔细观察下面各数特点,按要求填空。
14304075120204123205315、
1.是2的倍数的是()
2.是3的倍数的是()
3.是5的倍数的是()
4.同时是2、3的倍数的是()
5.同时是3、5的倍数的是()
6.同时是2、3、5的倍数的是()
三、奇数×奇数=(),奇数十偶数=(),奇数一奇数=()。
四、在5□6□7□3这个七位数的□中填上一个相同的数字,使这个七位数能成为9的
倍数。
五、一个两位数加上3是5的倍数,减去l是2的倍数,这个两位数最小是()。
六、从0、4、5、3四个数字中选出三张组成一个三位数,使组成的数是2和5的倍数,也是3的倍数。
第二讲因数和倍数
(二)
【知识要点】
1、质数:
一个数,如果只有1和它本身的两个因数,这样的数叫做质数(或素数)。
2、合数:
一个数,如果除了1和它本身还有别的因数,这样的数叫做合数。
3、判断一个数是合数还是质数的方法
先找出这个数的因数,再根据质数和合数的定义去判断。
【课前准备】
1.找出下面每组数中的质数。
(1)19、29、39、49;
(2)5、15、25、35。
2.用“O”圈出表中所有的质数,用“△”圈出表中所有的偶数。
21
22
23
24
25
26
37
38
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
所有的质数都是奇数吗?
所有的偶数都是合数吗?
【例题讲解】
例1、两个质数的和是40,求这两个质数的最大乘积是多少?
例2、你知道[它们各是多少吗?
例3、把21,26,34,35,39,85六个数分成两组,使每组三个数的乘积相等。
例4、说出下面数各是由哪几个质数相乘得到的?
33=□×□28=□×□×□
52=□×□×□63=□×□×□
例5、四个连续奇数,它们的积为19305,这四个连续奇数分别是多少?
例6、一个正方形的面积是121平方厘米,这个正方形的边长是多少厘米?
【巩固练习】
1、先找出I1一20各数的所有因数,再把1l一20分别填入圈里。
11的因数有;12的因数有;
13的因数有;14的因数有;
15的因数有;16的因数有;
17的因数有;18的因数有;
19的因数有;20的因数有.
质数合数
2、从2至50的数中先划掉2的倍数.再依次划掉3、5、7的倍数(但2、3、5、7本身不划掉)。
剩下的数都是什么数?
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
49
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
3、下面各数哪些是质数?
哪些是合数?
4、你会在括号里填上合适的质数吗?
8=()+()10=()+()
12=()+()14=()+()
30=()+()=()+()
5、猜一猜。
(1)两个质数的和是18,积是77,这两个数是。
(2)两个质数的和是30,积是161,这两个数是。
(3)一个数是最大的两位质数,这个数是。
【综合练习】
一、选择。
1、13和17都是()
①质数②合数③偶数
2、如果a和b是两个不相同的质数,那么下列数值中一定不是奇数的是()
①2a+2b+1②ab③2a+2b④a+b+1
3、a是质数,a()
①只有2个因数②不是2的倍数③只有因数
4、如果A=BC,则B和C都是A的()
①因数②倍数③质因数
二、解答题。
1、8的因数有4个,9的因数有3个,那么,72的因数有几个?
2、李伟今年的年龄是他4年后的年龄的4倍减去4年前的年龄的4倍,李伟今年几岁?
3、已知甲数是乙数的4倍,这两个数之和是135,求这两个数的最大公因数。
三、思考题。
1、有5个连续自然数的和是135,这5个连续自然数是()。
2、有5个连续奇数的和是135,这5个连续奇数是()。
3、有5个连续偶数的和是130,这5个连续偶数是()。
4、8的因数有1、2、4、8共4个,9的因数有1,3,9共3个。
那么72的因数共有多少个?
第三讲质数、合数与分解质因数
【知识要点】
一个自然数,如果只有1和它本身两个约数,这样的数叫做质数(或素数)。
一个自然数,如果除了1和它本身还有别的约数,这样的数叫做合数。
1既不是质数,也不是合数。
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式,其中每个质数都是这个合数的因数,叫做这个合数的质因数。
24=2×2×2×3
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。
【例题讲解】
例1、把18个苹果平均分成若干份,每份大于1个,小于18个。
共有多少种不同分法?
例2、写出若干个连续自然数,使它的积是15120。
例3、将下面八个数分成两组,使这两组数的乘积相等。
2、5、14、27、55、56、99
例4、老师带领一班同学去植树,学生恰好分成4组,如果老师和学生每人植树一样多,那么他们一共植了539棵。
这个班有多少个学生?
每人植树多少棵?
例5、下面算式中,()里数字各不相同,求这四个数字的和。
()()×()()=1995
【巩固练习】
1、有60个同学分成人数相等的小组去慰问解放军叔叔,每组不少于6人,不多于15人,有哪几种分法?
2、195个同学排成长方形队伍做早操,行数和列数都大于1,共有几种排法?
3、有一个长方体,它的长、宽、高是三个连续的自然数,且体积是39270立方厘米,求这个长方体的表面积。
4、有4个孩子,恰好一个比一个大1岁,4人的年龄积是3024,问这4个孩子中最大的几岁?
5、把40、44、45、63、65、78、99、105这八个数平均分成两组,使两组四个数的乘积相等。
6、小青去看电影,他买的票的排数与座位号数的积是391,而且排数比座位号数大6,青买的电影票是几排几座?
7、学校商店出售每支5角的铅笔,没有人买,但降价后,一下子把全部铅笔都卖光了,共计卖得31.93元,问每支降价多少元?
共卖了多少支铅笔?
8、4410和924各有多少个约数?
9、有四个数相乘,225×1965×292×()要想使四个数的乘积末尾有5个0,括号中的数最少是多少?
第四讲最大公因数和最小公倍数
【例题讲解】
例1、求下列各组数的最大公因数。
14和3580和4824和3624和12
例2、求下列各组数的最小公倍数。
21和718和1225和3012、8和20
例3、现有图书320本,铅笔240枝,笔记本200本,将这些物品装成数量相同的礼品袋,送给儿童福利院的小朋友,袋数要最多,可装多少袋?
每袋中三种物品各有多少?
例4、用长6厘米,宽5厘米,高4厘米的小长方体,拼成一个正方体,最少需要多少个长方体?
例5、一个数被3除余2,被5除余2,被7除正好能整除,求此数最小是多少?
例6、已知某数与24的最大公约数为4,最小公倍数为168,求此数。
【巩固练习】
A、最大公因数练习
一、填空。
1、36的因数有(),48的因数有(),36和48的公因数有(),其
中最大的一个是()。
2、8和9是()数,它们的公因数是()。
3、任何两个自然数都有公因数是〔)。
4、如果a是b的倍数,那么a、b两个自然数的最大公因数是()。
5、如果a和b是互质数,那么a和b的最大公因数是()。
二、判断题。
1、如果两个数是互质数,那么这两个数必定都是质数。
()
2、相邻的两个自然数一定是互质数。
()
3、互质的两个数没有最大公因数。
()
4、1和任何自然数都是互质数。
()
5、两个合数一定不是互质数。
()
三、写出下列各组勃最大公因数。
8和16()24和25()5和60()
7和12()48和16()49和16()
四、1、126的全部因数的和是多少?
2、两个数的和是125,它们的最大公因数是25,求这两个数。
五、应用题。
1、有两根绳子,一根长12米,另一根长15米,现在要把它们都截成相等的小段,每根不能有剩余,每一段长多少米?
2、用96朵红花和72朵黄花做花束,如果每个花束里的红花与黄花的朵数分别相等,那
么最多可以做几束这样的花束?
B、最小公倍数练习
一、填空。
1、6的倍数有(),8的倍数有(),它们的公倍数有(),其中最小的公倍数是()。
2、36分解质因数写成()。
48分解质因数写成()。
36和48公有的质因数有()。
36独有的质因数有(),48独有的质因数有()。
36和48的最小公倍数是(),它们的最大公因数是()。
3、因为A和B是互质数,所以A和B的最大公因数是(),最小公倍数是()。
4、因为A是B的约数,所以A和B的最小公倍数是(),最大公因数是()。
二、求下面每组数的最小公倍数。
3.5和726.39和136.12和83.5和104.15和108.25和60
三、解决问题。
1、有一种长方形砖,长42厘米,宽26厘米,用这种砖铺成一块正方形地,至少需要多少块砖?
2、某车间人数在90~100之何,每12人分为一组或者每16人分为一组,都正好分完,这个车间有多少工人?
3、三个人读英语书,甲读10分钟休息一次,乙读12分钟休息一次,丙读15分钟休息一次,三人若要同时休息,至少要隔多少分钟?
第五讲巩固练习
一、填空题:
1、所有的偶数都能被()和()整除。
2、最小的质数是(),最小的合数是()。
()是任何自然数的约数,()是任何不是0的自然数的倍数。
一个非0自然数最小的约数是(),最大的约数是(),最小的倍数是(),约数的个数是(),倍数的个数是()。
3、用5、7、8、0拼成一个四位数,使它有约数2,这个数最小是()。
4、4321至少加上()才能被3整除,至少加上()才能被5整除。
5、从0-9这十个数字任意取出3个数字,最多能组成()个能被5整除的数。
6、246至少加上()或至少减去(),所得的数才能既有约数2,又能被3整除,又是5的倍数。
7、100以内能同时被3和5整除的最小偶数是(),最大奇数是()。
8、a和b的最大公约数是6,最小公倍数是36,a和b可能是()和()或()和()。
9、48分解质因数是(),60分解质因数是(),它们的公有质因数有(),最大公约数是(),最小公倍数是()。
10、两个数的最大公约数是1,最小公倍数是72,这两个数是()和()。
11、A=2×2×3×5,B=2×3×7,A和B的最大公约数是(),最小公倍数是()。
12、两个数的最小公倍数是240,最大公约数是20,其中一个数是80,另一个数是()。
13、把两个自然数A和B分解质因数得:
A=2×5×M,B=5×7×M,如果A和B的最小公倍数是210,那么M是(),最大公约数是()。
14、五位数20□92能被11整除,□=()。
15、用最小的偶数,最小的合数,最小的非0自然数组成的最小三位数是(),最大三位数是()。
16、要使24×45×35×()的末尾有4个0,括号里最小填()。
17、将25、26、39、45、65、66、77、91八个数平均分成两组,使每组四个数的乘积相等,可以是()和()。
二、最大公约数应用题。
1、有两根铁丝,一根长54米,一根长36米,现在要把它截成同样长的小段,每段最长是多少米?
一共可以截多少段?
2、学校将40支彩色笔和45本笔记本平均将给优秀学生,结果彩色笔多出4支,笔记本少3本。
求评出的优秀学生最多有几人?
3、一张长方形纸,长60厘米,宽36厘米,把它切成同样大的正方形,并使面积尽可能大,且没有剩余,正方形的边长最长是多少厘米?
能截多少个?
4、用96朵红玫瑰和72朵白玫瑰做花束,要求每把花束里红玫瑰一样多,白玫瑰一样多,最多可以做多少束花?
每束花有多少朵?
5、有12分米长的铁丝12根,18分米长的铁丝9根,24分米长的铁丝10根,现在要把它们截成一样长的铁丝,不能浪费,截下的铁丝要尽可能长,最长多少分米?
一共可以截成多少段?
三、最小公倍数应用题。
1、一种长方形的砖,长45厘米,宽27厘米,用这种砖铺成一块正方形砖地,至少要用多少块?
2、公共汽车站有三路汽车通往不同的地方,第一路车每隔5分钟发车一次,第二路车每隔10分钟发车一次,第三路车每隔6分钟发车一次。
三路汽车在同一时间发车后,最少过多少分钟再同时发车?
3、学校运用队分别按4人、5人、6人分组,结果都多出2人,运动员至少有多少人?
4、某工厂加工一种零件经过三道工序。
第一道工序每个工人每小时可以完成3个,第二道工序每个工人每小时可以完成12个,第三道工序每个工人每小时可以完成5个,要使流水线正常生产,各道工序至少安排几个工人最合理?
5、一个数除193余4,除1089余9,这个数最大是多少?
四、应用题练习(综合)。
1、两个自然数的最大公约数是12,最小公倍数是144,其中一个数是48,另一个数是多少?
2、有一筐苹果,三个三个地数,四个四个地数,五个五个地数,都正好数完。
这篮苹果至少有多少个?
3、阳光小学五年级人数既是36的倍数,又是48的倍数。
五年级至少有多少人?
4、一块长方形玻璃,长120cm,宽90cm。
要把它切成同样大的正方形,而且没有剩余。
这种正方形的边长最长是多少cm?
5、一块三角形的地,三条边分别长15米、18米和27米,要在三条边上种树(三个顶点也要种),且每棵树间距相等,最少需要种多少棵树?
第六讲最大公约数与最小公倍数的应用比较
在整除的应用当中,最大公约数和最小公倍数的应用最为广泛,也是最重要的部分。
一道应用题,到底是用最大公约数解题还是用最小公倍数解题,学生最容易混乱。
不妨试用下面这种土方法判断下,问题就会迎刃而解了。
判断法则:
如果题目已知总体,求部分,一般用最大公约数解题,先求出总体的最大公约数,再依题意解答;如果题目已知部分,求总体,一般用最小公倍数解题,先求出部分的最小公倍数,再依题意解答。
对比例子
(一)
1.把一张长60厘米,宽40厘米的长方形纸板剪成边长是整数厘米数的小正方形,且无剩余,最少可以剪成多少块?
2.用长5CM,宽3CM的长方形硬纸片摆成一个正方形(中间无空隙),至少要用几个长方形硬纸片?
对比例子
(二)
1.一长方体木块,长56CM,宽40CM,高24CM,把它锯成尽可能大,且大小相同的正方体,且无剩余,能锯成多少块?
2.一种长方体积木,长16CM,宽10CM,高8CM,用这样的长方体积木堆成一个正方体,至少需要多少块?
对比例子(三)
1.五
(1)班有学生50人,五
(2)班有学生45人参加校外活动,要把他们分别分成人数相等的若干小组,每组最多有多少人?
一共可以分成多少组?
2.五
(1)班同学参加校广播操比赛,如果按16人一排或12人一排都正好分完,全班至少有多少学生。
变形题:
大家仔细看以上的每一道题,题目中都会有这样的词:
“最多”、“至少”等,如果题目中没有类似的词语,这时我们只需把上面的法则中的“最大公约数”改成“公约数”,“最小公倍数”改成“公倍数”即可,思路不变。
对比例子:
1.把420个苹果和252个桔子分别平均分配到若干只水果篮里,水果篮的只数在30---50之间,正好分完。
问有多少只篮子?
2.幼儿园买来一些糖果,如果每个小朋友分4个或者分6个,都正好分完。
这些糖果的个数在130—140间,幼儿园买来多少个糖果?
例2.用某数去除600余5,去除818余13,去除871少4。
求某数最大是多少?
例3.把450个苹果和250个橘子平均分配在若干只水果篮子里,水果篮的只数在30—50之间。
分到最后苹果余30个,橘子少2个,问有多少只水果篮?
例4.有一袋水果糖,4块4块地数多3块,6块6块数多5块,15块15块数多14块,这袋糖在150—200块之间,问有多少块?
例5.五年级学生去春游,他们乘船过河,如果5人一船则多2人,如果6人一船则少4人,如果7人一船则少5人,问五年级至少多少名学生?
例7、一次会餐共提供三种饮料,会餐后发现,平均每两人饮用一瓶椰汁,平均每3人饮用一瓶果汁,平均每4人饮用一瓶可乐,这次会餐共饮用这三种饮料65瓶,参加这次会餐的有多少人?
附:
快速求最小公倍数的方法
一、两数相乘法。
如果两个数是互质数。
那么它们的最小公倍数就是这两个数的乘积。
例如:
4和7的最小公倍数就是4×7=28。
二、找大数法。
如果两个数有倍数关系。
那么较大的数就是这两个数的最小公倍数。
例如:
3和15的最小公倍数就是较大数15。
三、扩大法
如果两数不是互质,也没有倍数关系时,可以把较大数依次扩大2倍、3倍、……看扩大到哪个数时最先成为较小数的倍数时,这个数就是这两个数的最小公倍数。
例如:
18和30的最小公倍数,就是把30扩大2倍得60,60不是18的倍数;再把30扩大3倍得90,90是18的倍数,那么90就是18和30的最小公倍数。
四、两数的乘积再除以两数的最大公约数法。
这个方法虽然比较复杂,但是使用范围很广。
因为两个数的乘积等于这两个数的最大公约数和最小公倍数的乘积。
例如:
4和6的最大公约数是2,最小公倍数是12,那么,4×6=2×12。
为了便于口算,我们可以把两个数中的任意一个数先除以它们的最大公约数,然后再和另一个数相乘。
例如:
18和30的最大公约数是6,要求18和30的最小公倍数时,可以先用18除以6得3,再用3和30相乘得90;或者先用30除以6得5,再用5和18相乘得90。
这90就是18和30的最小公倍数。
练习:
1、求12,15,18的最小公倍数。
2、求65,42,120的最小公倍数。
练习:
1、两个自然数的最大公约数是12,最小公倍数是144,其中一个数是48,另一个数是多少?
2、有一筐苹果,三个三个地数,四个四个地数,五个五个地数,都正好数完。
这篮苹果至少有多少个?
3、阳光小学五年级人数既是36的倍数,又是48的倍数。
五年级至少有多少人?
4、一块长方形玻璃,长120cm,宽90cm。
要把它切成同样大的正方形,而且没有剩余。
这种正方形的边长最长是多少cm?
5、一块三角形的地,三条边分别长15米、18米和27米,要在三条边上种树(三个顶点也要种),且每棵树间距相等,最少需要种多少棵树?
6、某车间人数在90~100之何,每12人分为一组或者每16人分为一组,都正好分完,这个车间有多少工人?
7、用长6厘米,宽5厘米,高4厘米的小长方体,拼成一个正方体,最少需要多少个长方体?
8、现有图书320本,铅笔240枝,笔记本200本,将这些物品装成数量相同的礼品袋,送给儿童福利院的小朋友,袋数要最多,可装多少袋?
每袋中三种物品各有多少?
9、一个数被3除余2,被5除余2,被7除正好能整除,求此数最小是多少?
10、有4个孩子,恰好一个比一个大1岁,4人的年龄积是3024,问这4个孩子中最大的几岁?
11、小青去看电影,他买的票的排数与座位号数的积是391,而且排数比座位号数大6,青买的电影票是几排几座?
12、学校将40支彩色笔和
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