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1充分条件与必要条件
1.2.1 充分条件与必要条件
明目标、知重点
1.结合具体实例,理解充分条件、必要条件的意义.2.会求(判定)某些简单命题的条件关系.3.通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用,培养分析、判断和归纳的逻辑思维能力.
充分条件与必要条件
命题真假
“若p,则q”是真命题
“若p,则q”是假命题
推出关系
p⇒q
pD/⇒q
条件关系
p是q的充分条件
q是p的必要条件
p不是q的充分条件
q不是p的必要条件
探究点一 充分条件、必要条件
思考1 判断下列两个命题的真假,并思考命题
(1)中条件和结论之间的关系:
(1)若x>a2+b2,则x>2ab;
(2)若|x|=1,则x=1.
答
(1)为真命题,
(2)为假命题.
命题
(1)中,有x>a2+b2,必有x>2ab,即x>a2+b2⇒x>2ab,所以“x>a2+b2”是“x>2ab”的充分条件,“x>2ab”是“x>a2+b2”的必要条件.命题
(2)中,|x|=1,x=1或-1.
小结 一般地,“若p,则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q.这时,我们就说,由p可推出q,记作p⇒q,并且说p是q的充分条件,q是p的必要条件.
思考2 结合充分条件、必要条件的定义,说说你对充分条件与必要条件的理解.
答 充分条件是使某一结论成立应该具备的条件,当具备此条件就可得此结论.或要使此结论成立,只要具备此条件就足够了.
必要条件可从命题等价性理解:
p⇒q等价于綈q⇒綈p,q是p的必要条件意味着若q不成立,则p不成立,即q是p成立的必不可少的条件.
思考3 判断命题“若x=1,则|x|=1”中条件和结论的关系,并请你从集合的角度来解释.
答 “x=1”是“|x|=1”的充分条件,“|x|=1”是“x=1”的必要条件.
两个条件“x=1”和“|x|=1”都是变量的取值,和集合有关.将“x=1”对应集合记作A,“|x|=1”对应集合记作B.显然A⊆B.
思考4 结合以上分析,请你归纳判断充分条件,必要条件有哪些方法?
答 一般地,关于充分、必要条件的判断主要有以下几种方法:
(1)定义法:
直接利用定义进行判断.
(2)等价法:
“p⇔q”表示p等价于q,等价命题可以进行转换,当我们要证明p成立时,就可以去证明q成立.这里要注意“原命题⇔逆否命题”、“否命题⇔逆命题”只是等价形式之一,对于条件或结论是不等式关系(否定式)的命题一般应用等价法.
(3)利用集合间的包含关系进行判断:
如果条件p和结论q都是集合,那么若p⊆q,则p是q的充分条件;若p⊇q,则p是q的必要条件;若p=q,则p既是q的充分条件,又是q的必要条件.
例1 下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的什么条件?
(充分不必要条件,必要不充分条件,既是充分条件也是必要条件,既不充分也不必要条件)
(1)若x=1,则x2-4x+3=0;
(2)若f(x)=x,则f(x)为增函数;
(3)若x为无理数,则x2为无理数;
(4)若x=y,则x2=y2;
(5)若两个三角形全等,则这两个三角形的面积相等;
(6)若a>b,则ac>bc.
解
(1)因为命题“若x=1,则x2-4x+3=0”是真命题,而命题“若x2-4x+3=0,则x=1”是假命题,所以p是q的充分条件,但不是必要条件,即p是q的充分不必要条件;
(2)∵p⇒q,而qD/⇒p,∴p是q的充分不必要条件.
(3)∵pD/⇒q,而q⇒p,∴p是q的必要不充分条件.
(4)∵p⇒q,而qD/⇒p,∴p是q的充分不必要条件.
(5)∵p⇒q,而qD/⇒p,∴p是q的充分不必要条件.
(6)∵pD/⇒q,而qD/⇒p,∴p是q的既不充分也不必要条件.
反思与感悟 本例六个小题分别体现了定义法、集合法、等价法.一般地,定义法主要用于较简单的命题判断,集合法一般需对命题进行化简,等价法主要用于否定性命题.要判断p是否是q的充分条件,就要看p能否推出q,要判断p是否是q的必要条件,就要看q能否推出p.
跟踪训练1 指出下列命题中,p是q的什么条件?
(1)p:
x2=2x+1,q:
x=
;
(2)p:
a2+b2=0,q:
a+b=0;
(3)p:
x=1或x=2,q:
x-1=
;
(4)p:
sinα>sinβ,q:
α>β.
解
(1)∵x2=2x+1D⇒/x=
,
x=
⇒x2=2x+1,
∴p是q的必要不充分条件.
(2)∵a2+b2=0⇒a=b=0⇒a+b=0,
a+b=0D⇒/a2+b2=0,∴p是q的充分不必要条件.
(3)∵当x=1或x=2成立时,可得x-1=
成立,反过来,当x-1=
成立时,可以推出x=1或x=2,
∴p既是q的充分条件也是q的必要条件.
(4)由sinα>sinβ不能推出α>β,反过来由α>β也不能推出sinα>sinβ,∴p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件.
探究点二 充分条件、必要条件与集合的关系
思考 设集合A={x|x满足条件p},集合B={x|x满足条件q},若A⊆B,则p是q的什么条件?
q是p的什么条件?
答 p是q的充分条件,q是p的必要条件.
例2 是否存在实数p,使“4x+p<0”是“x2-x-2>0”的充分条件?
如果存在,求出p的取值范围;否则,说明理由.
解 由x2-x-2>0,解得x>2或x<-1.
令A={x|x>2或x<-1},
由4x+p<0,得B={x|x<-
}.
由题意得B⊆A,即-
≤-1,即p≥4,
此时x<-
≤-1⇒x2-x-2>0,
∴当p≥4时,“4x+p<0”是“x2-x-2>0”的充分条件.
反思与感悟
(1)设集合A={x|x满足p},B={x|x满足q},则p⇒q可得A⊆B;q⇒p可得B⊆A;p⇔q可得A=B,若p是q的充分不必要条件,则AB.
(2)利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系,要注意范围的临界值.
跟踪训练2 已知p:
3x+m<0,q:
x2-2x-3>0,若p是q的一个充分不必要条件,求m的取值范围.
解 由3x+m<0得,x<-
.∴p:
A={x|x<-
}.
由x2-2x-3>0得,x<-1或x>3.
∴q:
B={x|x<-1或x>3}.
∵p⇒q而qD⇒/p,∴AB,∴-
≤-1,
∴m≥3,即m的取值范围是[3,+∞).
1.a<0,b<0的一个必要条件为( )
A.a+b<0B.a-b>0C.
>1D.
<-1
答案 A
解析 a+b<0D⇒/a<0,b<0,而a<0,b<0⇒a+b<0.
2.“θ=0”是“sinθ=0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由于θ=0时,一定有sinθ=0成立,反之不成立,所以“θ=0”是“sinθ=0”的充分不必要条件.
3.“a>b”是“a>|b|”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由a>|b|⇒a>b,而a>b推不出a>|b|.
4.若“x
解 由(x-1)(x-2)>0可得x>2或x<1,
由已知条件,知{x|x
∴m≤1.
[呈重点、现规律]
1.充分条件、必要条件的判断方法:
(1)定义法:
直接利用定义进行判断.
(2)等价法:
“p⇔q”表示p等价于q,等价命题可以进行转换,当我们要证明p成立时,就可以去证明q成立.
(3)利用集合间的包含关系进行判断:
如果条件p和结论q相应的集合分别为A和B,那么若A⊆B,则p是q的充分条件;若A⊇B,则p是q的必要条件;若A=B,则p是q的充分必要条件.
2.根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时,主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系,将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系,然后建立关于参数的不等式(组)进行求解.
一、基础过关
1.“-2
A.充分条件但不是必要条件
B.必要条件但不是充分条件
C.既不是充分条件,也不是必要条件
D.既是充分条件,也是必要条件
答案 C
解析 ∵-2
2.“ab≠0”是“直线ax+by+c=0与两坐标轴都相交”的( )
A.充分条件但不是必要条件
B.必要条件但不是充分条件
C.既是充分条件,也是必要条件
D.既不是充分条件,也不是必要条件
答案 C
解析 ab≠0,即
,此时直线ax+by+c=0与两坐标轴都相交;又当ax+by+c=0与两坐标轴都相交时,a≠0且b≠0.
3.给定两个命题p,q,若綈p是q的必要而不充分条件,则p是綈q的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 q⇒綈p⇔p⇒綈q.
4.已知p:
α≠β,q:
cosα≠cosβ,则p是q的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 B
解析 q⇒p成立,但pD/⇒q,
∴p是q的必要不充分条件.
5.设a,b为实数,则“0 或b> ”的________条件. 答案 充分而不必要 解析 ∵0 ∴当a>0,b>0时,a< ;当a<0,b<0时,b> . ∴“0 或b> ”的充分条件. 而取a=-1,b=1,显然有a< ,但不能推出0 ∴“0 或b> ”的充分而不必要条件. 6.设0 ,则“xsin2x<1”是“xsinx<1”的________条件. 答案 必要而不充分 解析 因为0 ,所以0 ,而 >1,因此充分性不成立. 7.下列各题中,p是q的什么条件? 说明理由. (1)p: △ABC中,b2>a2+c2,q: △ABC为钝角三角形; (2)p: △ABC有两个角相等,q: △ABC是等边三角形. 解 (1)△ABC中,∵b2>a2+c2,∴cosB= <0,∴B为钝角,即△ABC为钝角三角形,反之,若△ABC为钝角三角形,B可能为锐角,这时b2 ∴p⇒q,qD/⇒p,故p是q的充分不必要条件. (2)有两个角相等不一定是等边三角形,反之一定成立, ∴pD/⇒q,q⇒p,故p是q的必要不充分条件. 二、能力提升 8.设x,y是两个实数,命题: “x,y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( ) A.x+y=2B.x+y>2 C.x2+y2>2D.xy>1 答案 B 解析 对于选项A,当x=1,y=1时,满足x+y=2,但命题不成立;对于选项C,D,当x=-2,y=-3时,满足x2+y2>2,xy>1,但命题不成立,也不符合题意. 9.设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 x2+y2≥4表示以原点为圆心,以2为半径的圆以及圆外的区域,即|x|≥2且|y|≥2,而x≥2且y≥2时,x2+y
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