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Hardy型不等式的研究数学
Hardy型不等式的研究
ResearchofHardyinequality
摘要:
本文首先利用下列权函数:
得到新的加权Hardy不等式:
.
下列是经典Hardy不等式的特殊形式:
我们所得的结果正是对上述经典Hardy不等式特殊形式的加强,
其中,
是p=8的Hardy不等式的最佳常数.
我们第二个工作是对下述经典积分型Hardy不等式进行推广:
其中,
.
获得了:
其中,
.
关键词:
Hardy不等式(离散型);Hardy积分不等式;Holder不等式;Bernolli不等式;权函数;权系数
ResearchofHardyInequality
Abstract:
Inthispaper,byusingthefollowingweightfunction:
.
WegetthenewHardyinequalityofweightcoefficient:
.
ThefollowingformulaisthespecialformofclassicHardyinequality:
.
And
istheHardyinequality’soptimalconstantofp=8.TheresultwegetisjustareinforcementofthisspecialformofclassicHardyinequality.
ThesecondjobwedoisapromotiontotheclassicintegraltypeofHardyinequality:
.
Assuming
.
Thenweobtain
.
Andwedefine
.
Keywords:
Hardyinequality;Hardyintegralinequality;Holderinequality;Bernolliinequality;weightfunction;weightcoefficient
Classification:
O178
目次
摘要I
目次IV
1Hardy离散型不等式1
1.1Hardy离散型不等式简介1
1.2加权Hardy离散型不等式研究动态2
2Hardy积分型不等式3
2.1Hardy积分型不等式简介4
2.2加权Hardy积分型不等式研究动态5
3Hardy不等式的一个加强改进9
3.1主要定理及其推论的称述9
3.2主要引理9
3.3主要定理及其推论的证明11
4Hardy积分型不等式的推广13
参考文献16
附录18
学位论文数据集19
1Hardy离散型不等式
1.1Hardy离散型不等式简介
著名的Hardy不等式表述为[1]:
…………………………..(1.1)
其中,
(
),
是最佳常数.
自从1920年Hardy首先证明这个不等式以来,已有大量的改进和推广工作[2]-[7].
1988年,杨必成、朱匀华[8]对P=2建立了(1.1)的加强的不等式
.
2000年,黄启亮[9]对P=3/2建立了(1.1)的加强不等式
.
2000年,罗健英[10]对P=3建立了(1.1)的加强不等式
.
2005年,隆建军[11]对P=5建立了(1.1)的加强不等式
.
2009年,赵利彬[12]关于P=7的Hardy不等式的一个加强不等式
1.2加权Hardy离散型不等式研究动态
设
则
...….……………….………....(1.2)
仅当
时等号成立.
………………….………………(1.3)
仅当
时等号成立,特别
时,得到Carleman不等式[13].
1998年,杨必成[14]在附加条件
下,将(1.3)式改进为:
………………….….(1.4)
令
然后将原其中k换成n,得到[15]:
……………….…(1.5)
.…………………(1.6)
特别地,
时
得到[16]:
………………..…………(1.7)
2000年,Rakotondratsimba,Y.[17]考虑了二维离散Hardy不等式:
其中
.
2005年,马雪雅[18]对离散形式的经典Hardy不等式
进行推广,其中
得出以下结论:
设
且
则下列两个命题等价:
第一,存在常数
使得对任何非负单调递减的数列
有下列不等式:
第二,存在常数
使得对任意
有
2006年,高明哲等[19]通过引入可变单位向量的概念并利用Gram矩阵建立了Holder不等式的一个改进,由此给出离散Hardy不等式的一个很强的结果:
设
且
.如果
那么
其中
是可变单位向量.
2Hardy积分型不等式
2.1Hardy积分型不等式简介
设
在
上非负可积,
则
等号成立当且仅当
时,其中
是最佳常数.
自从1920年Hardy首先证明这个不等式以来,已有大量的改进和推广工作,以下对目前已经得出的部分结论进行阐述.
1971年Boyd[20]利用Hardy不等式证明了下述结果:
设
在
上非负可测,
使得
则
.
其中
是最佳常数.
1979年,Kokilasvili,V.M.[21]证明了
成立的充要条件是
其中
.
1984年,Kufner,A.[22]证明了如下结论:
设
在
上非负可测函数,
则
其中,
若
.
1992年,匡昌继证明了
其中
.
当
时,
当
时,
.
1999年,Pachpatte,B,G还利用Fubini定理其多元形式.
2.2加权Hardy积分型不等式研究动态
令
.
则
Oguntuase等[23]-[24]就
分别为
的共轭指数,求出
.
设
在
上非负递增,
为非负权函数,
.
则
成立的充要条件是
其中
.
1972年,MuckenhouptB[25]得出定理:
设
是
上的非负局部可积函数,则对所有可测函数
不等式
成立的充分必要条件是:
存在常数
使得对任意
有
或者
1990年,Arino—Muckenhoup[26]在研究Hardy-Littlewood极大算子在Lorentz空间中的加权有界性时,将问题转化为加权Hardy不等式对所有非增函数成立时权函数
的特征刻划,得出定理:
设
是
上的非局部可积权函数,
则对所有非负非增可测函数
不等式成立,当且仅当存在常数
使得对
有
.
1989年,丁勇证明了加权弱型Hardy不等式:
设
.
在
上非负可测,
记
.
1997年,Burenkov,V.I.等[27]证明了差分型加权Hardy不等式:
设
是
上非负权函数,使得
.
若存在
使得
在
上可测,
则
常数
使得
1999年,Peter,W.等[28]证明了三维加权混合范数Hardy不等式:
则
.
2004年,杨必成[29]应用权函数的方法,建立一个Hardy型积分不等的若干推广:
设
.若
则有
进一步还有
2006年,高明哲等[30]通过引入可变单位向量的概念并利用Gram矩阵建立了Holder不等式的一个改进,由此给出积分型Hardy不等式的一个很强的结果:
设
且
如果
那么
其中
是可变单位向量.
2009年,王文杰,何乐平[31]通过引入参数并利用Holder不等式进行加强,从而建立了一些新的不等式:
设
使
则有
其中,
而
.
3Hardy不等式的一个加强改
3.1主要定理及其推论的称述
对于p=8的情形,目前还没有(1.1)式加强结果,本文对P=8建立(1.1)式的加强不等式,获得了:
定理3.1.1如果
且
那么
.
推论3.1.1如果
且
那么
其中,
是p=8的Hardy不等式的最佳常数.
3.2主要引理
引理3.2.1(Bernoulli不等式)设
:
(1)如果
;…………………….…..(3.1)
(2)如果
.…………………….…….(3.2)
引理3.2.2
…..……………….…(3.3)
其中,
.
证明:
令r=8/7,s=8,则
再令
则由Holder不等式得
………..……(3.4)
其中,
=
又由于
.……………………….………(3.5)
引理3.2.3
……………………………(3.6)
当且仅当n=1等号成立.
证明:
由
及Bernoulli不等式知,当
时有
………(3.7)
于是,当
时
……(3.8)
当
时(3.8)中的
.
Bernolli不等式及
得
……………(3.9)
引理3.2.4设
……(3.10)
则当
时有
………………………….…..(3.11)
证明:
先证
所以
在
其次,由Lagrange微分中值定理,
使
.
3.3主要定理及其推论的证明
定理3.1.1的证明由引理3.2.2、引理3.2.3、引理3.2.4得
.................................................................(3.12)
故有(3.12)及引理3.2.1得
定理获证.
推论3.1.1的证明易知
为单调递增函数,且有上确界
即
故
从而
.
4Hardy积分型不等式的推广
Hardy积分型不等式[32]的表述:
设
在
上非负可积,
则
……………………(4.1)
仅当
时等号成立,其中
是最佳常数.
下面的目的是将不等式(4.1),推广到两个变量的情况,即:
定理4.1设
是
上的非负可积函数,
为常数,令
……………………………(4.2)
则
……………….…(4.3)
证明:
设
定义
……………..………….…(4.4)
则当
时,
.
分部积分产生:
..………….…(4.5)
其中
故由(4.4)和(4.5),得到
..……………….…(4.6)
对指数
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- Hardy型不等式的研究 数学 Hardy 不等式 研究