6703第四章三角函数提高测试题二.docx
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6703第四章三角函数提高测试题二
提高测试
(二)
(一)选择题(每题3分,共30分)
1.“a=1”是“函数y=cos2ax-sin2ax的最小正周期为π”的().
(A)充分而不必要条件
(B)必要而不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
【提示】
由于y=cos2ax-sin2ax=cos2ax,当a=1时,函数的最小正周期为π,当a=-1时,函数的最小正周期也是π,所以a=1是函数的最小正周期为π的充分而不必要条件.
【答案】(A).
【点评】本题考查倍角公式和三角函数的周期性以及充要条件的知识.
2.函数f(x)=Msin(ωx+ϕ)(ω>0)在区间[a,b]上是增函数,且f(a)=-M,
f(b)=M,则函数g(x)=Mcos(ωx+ϕ)在[a,b]上().
(A)是增函数
(B)是减函数
(C)可以取得最大值M
(D)可以取得最小值-M
【提示】
利用特殊值法,令M=ω=1,ϕ=0,则有f(x)=sinx,g(x)=cosx,同时a=-
,b=
,可见,g(x)在[a,b](即[-
,
])上既不是增函数,也不是减函数,但可以取得最大值1,故排除(A)、(B)、(D).本题也可以用作图法求解.
【答案】(C).
【点评】本题考查正弦函数、余弦函数的性质以及灵活运用这些知识解决问题的能力.
3.已知α、β是锐角三角形的两个内角,则下列各式中成立的是().
(A)cosα>sinβ,cosβ>sinα
(B)cosα<sinβ,cosβ<sinα
(C)cosα>sinβ,cosβ<sinα
(D)cosα<sinβ,cosβ>sinα
【提示】
α、β是锐角三角形的两个内角,所以α+β>90°,α>90°-β,故有
sinα>sin(90°-β),cosα<cos(90°-β),即sinα>cosβ,cosα<sinβ.
【答案】(B).
【点评】本题考查诱导公式以及正弦函数、余弦函数的单调性.
4.下列不等式中正确的是().
(A)ecos52°<ecos53°
(B)
>
(C)
>
(D)
<
【提示】利用函数的单调性.
【答案】(A).
【点评】
本题综合指数函数、对数函数的性质考查三角函数的单调性.由于cos52°>cos53°,得ecos52°>ecos53°,排除(A);由于tan200°=tan20°,tan199°=tan19°,有
tan20°>tan19°,而0<
<1,得
<
,排除(B);由于
<
,π>1,得
<
,排除(C);而sin115°>sin116°,且0<
<1,有
<
.故选(D).
5.设k是4的倍数加上1的自然数,若以cosx表示coskx时,有coskx=f(cosx),则sinkx等于().
(A)f(cosx)(B)f(sinx)(C)f(coskx)(D)f(sinkx)
【提示】
由于sinα=cos(
-α),设k=4n+1,(n=0,1,2,…),则有
f(sinx)=f(cos(
-α))=
=
=cos[2nπ+
-(4n+1)x]
=cos[
-(4n+1)x]
=sin[(4n+1)x]
=sinkx.
以上各步均可逆.
【提示二】
利用特殊值法,令k=5,则f(cosx)=cos5x
sin5x.排除(A),f(cos5x)=
cos(5×5x)=cos25x
sin5x,排除(C),f(sin5x)=f[cos(
-5x)]=
=cos(
-25x)=sin25x
sin5x,排除(D),而f(sinx)=f[cos(
-x)]=
=cos(
-5x)=sin5x.
【答案】(B).
【点评】本题考查函数的概念,诱导公式以及分析问题、解决问题的能力.
6.已知f(x)=
,则当θ
(
,
)时,式子f(sin2θ)的值是().
(A)2sinθ(B)2cosθ(C)-2sinθ(D)-2cosθ
【提示】
f(sin2θ)-f(-sin2θ)
=
-
=
-
=|sinθ-cosθ|-|sinθ+cosθ|,
因为θ
(
,
),得sinθ<cosθ<0,
所以,原式=cosθ-sinθ+sinθ+cosθ=2cosθ.
【答案】(B).
【点评】
本题考查函数的概念,三角函数值符号、二倍角公式以及三角函数恒等变形的能力.
7.已知sinα=
,α
(
,π),tan(π-β)=
,则tan(α-2β)的值等于().
(A)
(B)-
(C)
(D)-
【提示】
由sinα=
,α∈(
,π),得cosα=-
,tanα=-
.
又tan(π-β)=
,得tanβ=-
,tan2β=
=-
.
所以,tan(α-2β)=
=
.
【答案】(A).
【点评】
本题考查同角三角函数的关系,诱导公式、二倍角的正切公式,两角差的正切公式以及运算能力.
8.要得到函数y=cos(
-
),x∈R的图象,只需将函数y=
,x∈R的图象().
(A)向左平行移动
个单位长度
(B)向右平行移动
个单位长度
(C)向左平行移动
个单位长度
(D)向右平行移动
个单位长度
【提示】
由y=cos(
-
)=cos(
-
)=
=
=
【答案】(A).
【点评】本题考查三角函数的图象和性质.注意:
当由函数y=
的图象得到函数y=
的图象时,需将函数y=
的图象上的所有点沿x轴平移
个单位长度(当
<0时向左移,当
>0时向右移).
9.适合tan(2x+
)=
,x∈
的x值的个数是().
(A)2(B)3(C)4(D)5
【提示】
由tan(2x+
)=
,得2x+
=kπ+
(k∈Z),即x=
kπ-
(k∈Z),满足x∈
时,k可取1,2,3,4,故x的值为
,
,
,
共4个值.
【答案】(C).
【点评】本题考查反正切函数的定义.
10.若0<α<
,则arcsin[cos(
+α)]+arccos[sin(π+α)]等于().
(A)
(B)-
(C)
-2α(D)-
-2α
【提示】用特殊值法,由0<α<
,取α=
,
则原式=arcsin(-
)+arccos(-
)=-
+
=
.
【答案】(A).
【点评】本题主要考查反正弦、反余弦的定义及解决问题的能力.
(二)填空题(每题4分,共20分)
1.若角α的顶点与原点重合,其始边与x轴的非负半轴重合,角α的平分线过点(-π,π),那么sinα=________,cosα=___________.
【提示】角α的终边与y轴的非正半轴重合,即α=
+2kπ(k∈R).
【答案】-1,0
【点评】本题考查三角函数的定义.
2.函数y=
的值域为__________.
【提示一】化原函数为sinx=
,由|sinx|
1,得-1
1,解之得-
y
1.
【提示二】运用“分离常数法”.y=
=-1+
,当sinx=-1时,函数的最小值为-
;当x=1时,最大值为1.
【答案】[-
,1].
【点评】本题考查三角函数的值域及其应用.
3.对于正整数n,f(n)=sinnα+cosnα,若已知f
(1)=a(|sinα+cosα|),
则f(3)=____________.
【提示】
f
(1)=sinα+cosα=a,于是,得sinαcosα=
,
从而f(3)=sin3α+cos3α=a(1-
)=
.
【答案】
.
4.已知
<β<α<
,cos(α-β)=
,sin(α+β)=-
,则sin2α的值为____.
【提示】
由
<β<α<
,得0<α-β<
,π<α+β<
,根据cos(α-β)=
,有sin(α-β)=
;根据sin(α+β)=-
,有cos(α+β)=-
,
所以,sin2α=sin[(α-β)+(α+β)]
=sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β)
=
×(-
)+(
)×(-
)=-
.
【答案】-
.
【点评】
本题考查三角函数的和角公式、同角三角函数关系及运算能力.解题中运用了角的变换,注意到(α+β)+(α-β)=2α,得sin2α=sin[(α+β)+(α-β)],用两角和的正弦公式就可以得出sin2α的值,变换的思想是数学的基本思想.
5.函数y=
是减函数的区间为__________.
【提示】由y=
=
=1+
.
利用对数函数的定义域,知sin2x>0,得x∈(kπ,kπ+
)(k∈Z).又y=sin2x的递增区间为[-
+kπ,
+kπ](k∈Z),而y=sin2x的递增区间即为原函数的递减区间.
所以,原函数的递减区间为(kπ,kπ+
)(k∈Z).
【答案】(kπ,kπ+
)(k∈Z).
【点评】
本题考查三角函数、对数函数的单调性及复合函数的单调性判断方法.
(三)解答题(每题10分,共50分)
1.求值
.
【提示】“切化弦”后,利用三角函数基础知识,可解.
【答案】
原式=
=
=
=
=-
【点评】本题考查灵活运用同角三角函数关系、两角差的正弦、二倍角公式及运算能力.
2.已知0<β<
,
<α<
,cos(
-α)=
,sin(
+β)=
,
求sin(α+β)的值.
【提示】
用已知角表示所求角,注意到(
+β)-(
-α)=
+(α+β),
于是sin(α+β)=-cos[
+(α+β)]=-cos[(
+β)-(
-α)],
只要求出sin(
-α),cos(
+β)就可以了.
【答案】
∵0<β<
,
<α<
,
∴-
<
-α<0,
<
+β<π.
由cos(
-α)=
,得sin(
-α)=-
.
由sin(
+β)=
,得cos(
+β)=-
.
∴sin(α+β)=-cos[
+(α+β)]
=-cos[(
+β)-(
-α)]
=-cos(
+β)cos(
-α)-sin(
+β)sin(
-α)
=―(―
)×
―
×(―
)
=
【点评】本题考查同角三角函数关系,诱导公式、两角差的余弦公式的灵活运用,考查计算推理能力以及变换的思想.
3.已知△ABC的三个内角A、B、C满足A+C=2B,且
=
,
求
的值.
【提示】由题设A+C=2B,可得B=60°,考虑把
当作未知数,通过三角函数式的恒等变形,得到关于
的一元二次方程解出
即可.
【答案】
∵在△ABC中,A+C=2B,
∴B=60°,A+C=12
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- 6703 第四 三角函数 提高 测试